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导体的示意模型讨论

到随机电势下的粒子运动的绝缘体转变*

W. Gotze¹和C. Narcisi

德国联邦德国慕尼黑技术大学物理系

1989年6月26日收到

本文主要讨论了随机环境中粒子运动的动力学模型，其中后者被认为会引起正常散射，并且随着时间反演对称性破坏而散射。当第二种机制将指数单位改变为接近渗滤阈值的时候，电导率将会消失的一半。除此之外，它也将会把临界电导率谱的指数从1/2改变为1/3。 包括所有交叉现象在内的过渡附近的动力学通常有效的介质理论结果都是由双参数标定法来描述的。

1. 简介

理想的玻璃转换的模式耦合理论，为结构或是自旋玻璃转换附近的系统的动力学提供了各种各样结果。该理论主要可以处理密度或自旋密度波动的相关因子为波矢量。我们发现，可以通过中子散射来测量所引用问题的这种量度，并且迄今已知的实验结果与理论的结果是合理相关的。很好理解的是，在玻璃化转变的附近，可以将相关器的方程组简化为单个相关器的一个非线性方程后者的运动方程通常被我们称为玻璃转变的示意模型。如果想要获得有关的详细信息，读者可以参考Sjouml;gren的评论[1]。在本文中，主要应该分析无序半导体中的导体到绝缘体相变的示意模式耦合模型。当忽略电子 - 电子相互作用和电子声子相互作用的时候，过渡被认为是随机电位移动粒子的渗流转变。模式耦合理论在这种情况下的应用存在一些问题，因为在微观方程中出现了红外分歧。但是，目前已知的模式耦合理论不能适当地处理这些差异。但人们可以认为，该理论为特定的渗流问题提供了类似于分子场理论为普通相变提供了依据。事实上，在下面要考虑的一个特例中，关键是动力学与有效介质理论中的渗流相同[2]。关于后一个问题，模式耦合理论是在微观上开发出来的，并且应用于Lor-entz模型，它在20％的准确度水平上再现了已经获得的数据[3]。

我们刚刚所提到的渗流理论在临界指数s = 1时带出了扩散率或电导率的幂律将会消失。这里表示来自转换的分离参数，举个例子，就像与载体的临界密度和密度的差异。但是，我们仅仅是在一些实验中观察到这种行为，而在其他实验中我们发现s = 1/2 [4]. 在后一种情况发生的条件下，我们通过实验也观测到磁异常，所以，有一些人指出了，与s = 1相反，s = 1/2应与事实有关，换句话来说，就是散射机制打破了时间反演对称性[5]。就像前面我们描述的那样，模式耦合理论反映了正态随机电位运动与具有时间反演对称性断裂的随机场运动之间的巨大差异。并且，更重要的是，需要考虑由于时间反演对称性破坏较弱，而导致的各种各样的交叉现象。

2. 模型的定义

我们要研究的示意模型，需要处理复杂频率的密度相关器或其拉普拉斯变换相关器展现出了标准的性质[7]。我们举个例子，比如， 是真实的且有界的。而频谱empty; #39;#39;（omega;）是实际频率的傅立叶变换，他是非负的。它作为 empty;（z）的虚部得到：。而函数是正解，因此它可以写成分数[8]：

( 1 a )

这里为了便于表示，假定归一化 。K（z）是电流相关器; 它也是一个正的分析函数。 短时间扩展，大z行为和谱矩之间的联系[7]意味着：

( 1 b )

电流相关器具有动态电导率的物理意义，直到微不足道的因素。 它与进入介电函数的动态极化率有关：

= K ( z ) / z. ( 1 c )

扩散系数D与原理模型中的直流电导率并没有区别，是零频电流频谱：

( 1 d )

当导体相D gt; 0的时候，那么静态极化率将会不存在。我们发现，绝缘体相是有限的：

( 1 e )

如果极限是有限的，那么函数K (z)也可以写成分数的形式:

. ( 2 a )

而当前的松弛核又是一个正的分析函数。因此，我们可以得到：

( 2 b )

当频率指定短时间运动或二次频率的时候，我们将（ 2 a ）代入（ 1 a ），并且利用动力学的压缩性和相关器之间的关系，我们很容易将会发现：

. ( 2 c )

所以该模型可以看作是具有特征频率f ₂和摩擦核M ( z )的振荡器。内核M ( z ) 现在应该分解成两部分，如下面所示 ：

( 3 a )

下面，我们将对第二部分将在下面详细说明，而第一部分再次表示为分数，如下所示：

( 3 b )

内核我们将会在下面指定。我们将归一化常数gt; 0定义另一个特征频率 ，从而来确定相关器的第四个频率矩。我们通过常数gt; 0，来模拟随机阻尼项。可以通过分数等形式来进行。虽然如此，但是结果表明，在指定方案内使用进一步的分数表示并不会改变下面的结果。超出（3 b）范围之内的行为只会影响到对规模法则的修正。从这个意义上讲，我们所构建的模型是原理框架中最为通用的模型。 该模型由内核的模式耦合ansatz完成的：

( 4 )

这里的0 是理论上的耦合常数。对于 = 0，扩散系数将会由下式给出:

( 5 )

由于我们对与模型的大频率特性没有真正的兴趣，所以可以通过将自己限制为来简化讨论。 然后通过（3b）获得表格：

( 6 )

如果我们使用（6）来替换（3b），那么模型将会由两个频率和指定。当它处理一个频率为Omega;的时候，阻尼常数通常为的谐振子。后者将会由（3 a，6）指定的两个模式耦合内核而修改。 很明显的是，我们可以通过将频率限制为来进一步简化。然后（2 a）将被替换为下式：

K ( z ) = -1/m ( z ) , ( 7 a )

( 7 b)

考虑到（1,5-7）作为模型的定义，我们正在讨论一个放松器。对于 ，相关器读取]。我们可以看出等式（2 b）是无效的，这是因为短时渐近式读取，模式耦合内核将会按照指示将修改为m ( z ) 。

关于（4）的动机的一个侧面评论可能是按顺序的。在Zwanzig - Mori形式中，像这样的松弛内核可以被识别为波动变量的相关器[7]。波动力由冻结声子密度的乘积组成，这代表了随机电位和粒子变量。冻结的声子可以吸收动量，但是并不能吸收能量。因此，因式分解可以近似将颗粒相关器的核函数降低为线性函数。随机电位决定了常数。进入的脉动变量甚至将会具有时间反演的对称性，进入的变量有奇数个。这是因为通过三个时间导数与密度相关的两个时间导数和。如果动力学表现出时间反演的对称性，那么在到 (t)的力的耦合是不可能的，并且。这些力量无法与关键变量相结合;在这种情况下它们被视为白噪声项。耦合是可能的，如果时间反演对称性被破坏，耦合是可能的，这可以在微观计算中明确地显示出来[9]。因此，是时间反演对称破缺效率的量度; 而是衡量由于密度激发引起的动量松弛总效率的量度。

3. 绝缘体过渡导体

由于从实验的观点来看电导率是最有趣的量，所以运动方程应该重写为K ( z )。 对于低频率，方程可以简化为弛豫模型的方程。参数仅仅定义了尺度：

。 为了简化符号，我们也写作：

( 8 )

然后自我一致性方程式读取为：

( 9 )

导体相的特征是。 所以可以写成 ，并且必须求解（9）。 结果如下所示：

( 1 0 a )

( 10 b )

因此，导体相位可以仅存在lt; 0。D的消失指定的转变点由给出。它与第二偶合常数无关。扩散率连续下降到零：

D/ = . ( 11 a )

增加，电导率将会变大。D对曲线是具有限制行为的双曲线，就像下式所表示的：

( 11 b )

对于eta;= 0，电导率的指数为1。但是时间反演对称性破坏会在接近过渡时改变1/2。

该模型的流体力学状况通常被定义为要求校正运输核的极限值较小[7]。 如果，那么我们将可以忽略K ( z )的频率变化。正因如此，对于，从（10 b）中乐意得到小的流体动力学，其中

. ( 12 )

流体动力学状态在接近过渡时将会发生收缩。对于，它随着的减小而收缩得更快，，非常接近过渡。在后者中，。

绝缘体相由 来表征。因此，我们必须通过使用来求解（9）。结果发现：

由此我们可以获得εgt; 0的绝缘体。在静态极化率表现出了居里-韦斯（ Curie – Weiss ）定律：

具有时间反演对称性破坏的散射机制并不会影响均衡量.。 人们再次发现，水动力决定。 低频电流频谱受将会受到强烈的影响。关于这一点，我们可以从（13 b）中找到

对于，频谱如 [2 , 3] 那样下降。但是新的散射机制产生了与成比例的更强的抑制。相应的差异出现在密度相关器中，读取频率较低：

( 16)

第一项意味着密度谱中的弹性线，这是绝缘体密度动力学的非遍历性的标志。 对于，连续谱显示从伪间隙到白噪声的交叉:

在导体中。 因此，如果，那么绝缘体和导体的低频密度谱对于相同的分离参数是相同的。效应破坏了这种对称性。

在转换过程中，流体力学描述是不可能的，因为相关器对于z = 0表现出分支点。 临界相关器，即的相关器，从（9）用.的ansatz评估。 一个人得到等式:

对于非常小的频率，可以找到频谱。 如果对称性破坏机制的影响可以忽略不计，它会跨越到的行为：

在指定的范围内，可以写出。 因此可以得到一个临界的低频密度频谱。对于它交叉到。 这意味着幂律随着时间衰减相关关系：

(18c)

对于短时间，相关器表现出一些瞬态行为，如（2b），其取决于.的详细相对大小。对于，相关性按指数规律衰减，因为的所有奇异性都位于 低频半平面。

图1.模型参数时的密度谱（∓）。 虚线和点划线分别是斜率为1/3和1/2的直线。是流体动力学频率，

该图说明了密度谱的上述结果。 对于，人们认识到显微背景光谱。 交叉频率位于约。 因此，对于较小的频率，临界频谱表现出对于-的定律和定律。频率约为。 对于 ，导体谱εlt;0平衡到一个常数，而绝缘体谱εgt; 0表现出伪间隙。

4. 缩放法则

为了计算转换附近的完整校正子，应该用不等式隐式地定义了一个小频率状态。 然后运动方程（9）简化。

让我们考虑两个特例。 如果

方程（19）进一步简化为.

显然，这意味着缩放法则

这里是主功能与ε和eta;无关，必须从标定方程中确定

这个方程在前面讨论过与Anderson转变的微观模式耦合理论有关[10]。 让我们注意到，（20b）在下面的缩放限制中是一个精确的渐近解：

在这个极限和内,遵守（19）和（20a）中的不等式。 在这个极限（9）导致（20c）。 在相反的情况下是

方程（19）简化为. 这意味着缩放法则

主函数服从比例方程

这与洛伦兹问题的渗透过渡有关[3]。 （19）的解决方案可以写成

功能表现出同质性

这是一个双参数标定法则。 如果在变量的三维空间中在阵列()上移动，函数phi;仅仅重新缩放因子。明显地，不依赖于三个变量，但仅取决于两个比率。很明显，如果选择例如.结果（22）对于以下渐近意义下的模型具有确切的含义。 如果明确指出电流相关器对所有三个相关变量的依赖关系，则可得到固定的 :

在极限范围 内（9）减少到（19）。

如果选择了，人们发现极化率（1c）

这里的主功能取决于两个无量纲频率和;但它与和无关。 控制参数和的变化仅仅作为两个频率尺度 和 的变化以及作为变化的变化以及作为极化率尺度的变化而出现。这是当时候的方程式

从（19）可以找到主函数的标度方程

从这里可以很容易地重新获得上一节的结果。 这两个提到的普通比例定律在这两个限制中被重新采用:

参考

1. Sjouml;gren, L.: Phys. Scr. (待出版)

2. Odagaki, T., Lax, M.: Phys. Rev. B24, 5284 (1981)

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