Structural and Multidisciplinary Optimization manuscript

(authorsrsquo; post-print)

Automated Optimal Design of a Two-Stage Helical Gear Reducer

Tudose, L. · Buiga, O. · Scedil;tefanache, C. · Sacute;obester, A.

Received: date / Accepted: date

Abstract The design space of multi-stage transmis- sions is usually very large and heavily constrained. This places significant demands on the algorithm employed to search it, but successful optimization has the poten- tial to yield considerably better designs than conven- tional heuristics, at the same time enabling a better understanding of the trade-offs between various objec- tives (such as service life and overall weight). Here we tackle a two-stage helical gear transmission design prob- lem (complete with the sizing and selection of shafts, bearings, housing, etc.) using a two-phase evolutionary algorithm in a formulation that can be extended to in- clude additional stages or different layouts.

Keywords Evolutionary optimization · Gear train design · Spur gear sets · punctuated equilibria · Multi-objective optimization

Introduction

The complexity of the design of multi-stage reducers lies in the strong and often intractable connections between the design variables defining its sub-systems. In other words, an optimal reducer is generally not an assembly of components optimized in isolation, a fact overlooked

Tudose, L., Buiga, O. and Scedil;tefanache, C. Technical University of Cluj-Napoca

Faculty of Machine Building, Dept. of Machine Elements and Tribology, Bd. Muncii 103-105, 400641, Cluj-Napoca, Romania Tel.: 40 745 640 604

E-mail: Lucian.Tudose@omt.utcluj.ro Ovidiu.Buiga@omt.utcluj.ro

Sacute;obester, A.

University of Southampton, School of Engineering Sciences Southampton, SO17 1BJ, United Kingdom

Tel.: 44 23 8059 2350

E-mail: a.sobester@soton.ac.uk

by many conventional design heuristics. For instance, the impact of a certain choice of gear width and cen- ter distance may yield a minimum mass gearing, but the selection of this gearing may cascade through sub- sequent steps of the design process (sizing of shafts, fur- ther stages, bearings, housing, etc.) to ultimately lead to a heavier reducer than if a slight compromise had been made on the choice of that first gearing.

A typical example might be that selecting a smaller than optimal gear diameter (and a correspondingly grea- ter contact width) could yield a somewhat heavier gear- ing, but a more compact layout and therefore a much lighter housing; it is worth mentioning though that in reality the impact on the overall objective tends to be much less direct and therefore much more obscure than in this example.

Of course, in all but a few trivial cases, it is impossi- ble to tell what that first compromise should have been, let alone what any subsequent choices should have been made with the overall goal in mind, instead of concen- trating on the subsystem in hand. The chief reasons im- peding a truly lsquo;holisticrsquo; reasoning at every step of the design heuristic are the sheer number and the highly non-linear nature of the constraints and the objectives, the large number of design variables and the complexity of the interactions between them. Additionally, analyt- ical models may not be available for these interactions and constraints, precluding higher level analytical cal- culations that could predict the global effect of local design decisions.

The last two decades have seen an increasing aware- ness amongst the power transmission design community of the shortfalls of simple trial and error type methods conventionally used to tackle this highly constrained class of design problems and potential replacements have begun to emerge in the shape of expert systems

(Ferguson et al. [6], Abersek et al. [3]), synthesis tools based on spatial grammars (see the Simulated Annealing- driven, grammar based topological

gearbox design tool described by Lin et al. [10]), par- ticle swarm searches (Ray and Saini, 2001 [13]), algo- rithms based on the modeling of civilizations and so- cieties (Ray and Liew, 2003 [12]), constrained quasi- Newton local searches (see the study by Thompson et al.[15] into the fatigue life versus gearing volume trade- off) and evolutionary algorithms (the work of Li et al. [9] on the application of a fuzzy-controlled genetic search to the optimization of a simple reducer model and the study by Gologlu and Zeyveli [7] for recent examples). In fact, the latter category – headlined by genetic algorithms (GAs) – appears to be the direction of choice at present and there are two key reasons for this.

Firstly, GAs can handle the highly discretised design spaces of transmission systems. Standardisation and the favouring of off-the-shelf (as opposed to purpose-designed) subcomponents are the main reasons for most design variables only being permitted a pre-determined set of discrete values (as we shall see, this is the case with our own application too). Secondly, the full description of

a class of reducers (say, that of the two-stage, helical gear family) generally requires a large number of de- sign variables – typically, well over ten – and GAs have a fine track record in the global search of very large design spaces, especially when the computation of the goal function and the constraints is comparatively in- expensive.

The motivation behind the work described here is that evolutionary computing technology has now reached the level where, we believe, it is computationally feasi- ble to consider the automated optimal design of com- p

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二级斜齿轮减速器的自动优化设计

摘 要

多级变速器的设计空间通常受到很大很多的约束。这对用于它的算法提出了很高的要求，但使其优化成功有可能同时产生比传统启发式设计更好的设计，从而更好的理解各种目标之间的权衡(如使用寿命和整体重量比)。这里我们在一种提法中利用两相演化算法解决一个二级斜齿轮传动设计问题(包括轴、轴承、壳体相关的尺寸和选择)该算法可以扩展到包含其他阶段或不同布局的公式中。

关键词 进化优化设计;齿轮系;强调平衡;多目标优化

1 简介

多级减速器设计的复杂性在于定义其子系统设计变量之间强大且难以处理的关系。换句话说,通常一个最优的减速器并不是将各部件优化装配起来，这是一个被忽略的事实。例如，齿轮宽度和中心的特定选择可能会产生最小质量传动装置，但这种传动装置的选择可能会通过设计过程的后续步骤(轴的尺寸、进一步的阶段、轴承、壳体等)进行级联，最终，如果在第一个传动装置的选择上做出了小小的妥协，那么减速机会变得更重。

一个典型的例子，可能是选择了一条小而非最佳直径比(以及相应的齿轮大接触宽度)可能会引起重齿轮传动，但会产生一个更为紧凑的布置和一个更为小的空间。值得一提的是，在现实中，对总体目标的影响往往远不如本例中那么直接，因此更为模糊。

当然，除了一些琐碎的情况外，它是不可能告诉你最先屈服的会是什么，更不用说什么后续应该选择什么作为考虑的总体目标，也不会专注于手中的子系统。在设计启发式的每一步都需要进行真正的“整体”推理的主要原因是，制约因素和目标的绝对数量和高度非线性、大量的设计变量以及它们之间相互作用的复杂性。另外，模型分析对这些相互作用和约束条件是不适用的，因此无法进行更高级别的分析计算，以预测局部设计决策的整体影响。

在过去的二十年里，输电设计界越来越意识到，传统上用于解决这类高度受限的设计问题的简单试错式方法存在不足，而潜在的替代方法已开始以专家系统的形式出现（弗格森，1999，艾布瑟克，1996）、基于空间技术原理的合成工具（模拟驱动退火、变速箱设计工具基础拓展，2009），局部微粒群的搜索（瑞和瑟尼，2001），算法的文明与社会建模、牛顿局部约束（见汤普森在齿轮疲劳寿命相对于体积平衡进化算法中的研究，2000）和进化算法（2008年，李关于模糊控制谱系调查的成果，这个调查内容是减速器模型优化以及苟露露和易维利2009年在几个实例中的研究结果）。事实上，后一种类型——用遗传算法做标题——表露出目前选择的方向和造成这种状况的两个主要原因。

首先，遗传算法可以处理传动系统中的高度离散化空间。标准化和对现成（相对于为特定目的设计）子组件的青睐是大多数设计变量只允许预先设定一组离散值的主要原因（正如我们应该看到的，这种情况是我们自己应用的一个实例）。其次，全面的描述一类减速器一般需要大量的设计变量，遗传算法在全球搜索超大设计空间方面有良好的记录，尤其是当目标函数和约束的计算话费相对廉价时。

这里描述工作的目的是演化计算技术已经达到了我们认为可行并且可应用到自动优化设计完整减速机的水平。参考上面所有的实验与使用在传动设计中凸显现代全局优化技术的重要性（与传统的算法，实验和错误类型设计算法相反）即使考虑到一定的问题——提出延长技术更广泛的设计空间的二级的减速器，在优化设计的整个过程中其每个元素(轴承、密封、轴等)都有可能被迫改变。

通过斟酌在实践中所遇到的大部分设计约束以确保了该实践的工业相关性——我们将设计空间中总共的77个约束分为24组。在第三和第四节我们详细讨论这个阐述，以及第五章包含一个其部署数量的结果。但是，首先，我们需要引入进化计算方法的一个关键元素，必须以有效的方式处理如此大量的约束。

2 演化的一个范例

那些的的化石的匮乏，使得很难估计任何特定谱系的进化变化率。不过，几乎可以确定的是进化过程有不同的速度。然而这些速度的变化在生物界引起了一场激烈的辩论。从尼欧——达尔文的推理中清楚的知道大的变化（剧变）几乎总是有害的，而且这是一个进化上层速度限制因素。根据胚胎繁殖的论文艾德基和哲克劳德（1972）的学术思想了解，下限值实际上为零。也就是说，他们建议提出种群进化论，在没有变化的情况下，爆发会打破长期的平衡（停滞）。

从这个进化算法设计角度来看，强调平衡发展理论究竟正确与否几乎是无关紧要的。毕竟，由于现在了解到拉莫科斯进化论是错误的，但这一事实并没有降低拉莫科斯学习的成功率。同样的，剧变通常在优化进化中时受益的，那提醒从业者，进化计算并不是对自然的精确模拟（也不是刻意的）。因此，在过去几年里尽管生物界围绕其争论不休，间断平衡的概念已经被逐步暴露出来，这并不奇怪，这种接触与智力探索的两条主线有关。

首先,许多进化优化的从业者已经注意到多模态拟合景观的停滞期。从这种较为熟悉的模式可以了解到在一个局部最优的城市聚集的人口的数量，在这里，长时间的停滞发生在有益突变之前，这就迫使人们进入另一个更具吸引力的生活地方。(例如,尹恩惠1998在一个一维双稳适应度环境中详细介绍了动力学这一现象,)。

其次，这是我们感兴趣的方面，一些成功实例已经有报道说在过去的几年里实际上已在尝试了解在遗传规律方面的工程亚稳定状态，这之后是快速聚集性高发期。无独有偶，却为设计这样的启发式教学定义了明确的模板，文献包含了相当广泛的基于强调平衡发展概念的模型。

这方面的大部分工作都是基于多人口体系结构的。一个例子是科夫集成电路设计应用（1991）。在那里每一个程序（环境）是允许为几层数（时代）独立演化的，之后，这一个“自然灾害”产生的资源在其之间移动，接着又出现另一个孤立演进时代等等。多个被灾难时期分割的时期是可以在外来人口补充的时候看到的，以海迈达的遗传算法为例，在算法中，一个陡峭增加的变异速度代表了这场灾难。

事实上，外来人口以及多时代框架阐述了我们所提出的搜索策略结构。我们被划分开，然而，用这种方法，我们用从之前提到的的启发式算法在两种不同类型的时代中控制人口的演化。首先，人口的数量只受自然选择压力的限制。这个时代包括适宜数量个体的产生，这是启发式算法中一个运行的参数。通常这个临界值设置在人口数量的40%左右，显然，这个数值控制可行性与多样性之间的平衡。于是看到下一个时代面临很多的摈弃自身本能控制选择的的压力。在这个算法中，传统的方式强化了限制条件。在注册一个正在下降的低于临界值的人口的数量时，该算法再次转变为以限制器主导作用的运作模式，所以它会一直发展下去直到遇到终止的条件出现预定值为止。

如前所述，这种新的约束处理机制是我们努力去解决受大量约束条件问题所得到的结果。我们可以短暂的浏览一下我们的减速器设计中的约束条件。不过，首先，我们考虑一下其原型，或者设计变量的设置，那可以对二级减速器有一定的阐述。

3 二级减速器的原型

这里我们考虑的减速器是就其轮齿和承载力以及设计布局方面都是高度标准化的。18种明确定义减速器的设计变量以各种不连续的设置变量的标准反映了这样的方面。

然而，最终设计空间仍然很大。假定将一些连续变量离散化成25个小部分，我们可以获得4x1026个数量级的一系列减速器可能的设计方案。众所周知，对这种数字很难获得一个直观的“感觉”，但是值得考虑的是，这与大约8公斤的C12中的原子数相当。

在这里可以得出两种结论。首先，很显然，评价一个给定的目标函数和约束条件的计算成本虽然很很低，但是要对其设计空间作一个彻底的探索是不可行的。其次，在所有的搜索启发式算法中，人们可以考虑使用，基于种群的进化算法似乎是最合适的，加强了我们先前在传输设计文献中对这种方法的普及的观察。

4 一个高度约束的设计空间

这是我们将注意力转移到设计中约束问题的一个极好时期。正如之前所述，这是这类问题的主要挑战，尤其是优化图1所示减速器的结构元件。很明显，它们都是不均等的类型，主要涉及几何或结构的考虑。总共有77组约束条件，我们将这77组约束编为24组（例如，应用在所有的四齿轮机构上的相同约束构成一组，尽管它们明确的作为四种独立的约束）。

简明扼要的讲，我们不会在计算机过程中的某一个小细节上停顿（感兴趣的读者可能会在相关的行业标准文献中以及目录及用于负载的计算方法和在SKF网上目录中的用于密封的方式中发现所有的齿轮计算的细节情况）。由于我们在结合查表和简单模型的基础上做了许多了解，所以它们的计算成本才会变得更少。

另外，值得注意的是，为使一些约束条件（例如要提供的一些几何不平等,以及涉及到的润滑操作温度）的计算成为可能，一旦实物二级齿轮的传动装置设计出来，那么它的底座和端盖也应相应的自动化设计出来。

在参考图纸1中列出了下列约束。

第一组约束：在这两个阶段设计要求和实际齿轮的成型率的相对变化范围必须在（minus;2.5%、2.5%）之间。

第二组约束：齿轮在两接触面间的压力不得超过额定值。

第三组约束：所有四个齿轮的轮齿弯曲应力不得超过额定值。

第四组约束：所有四个齿轮的轮齿不能发生根切现象。

第五组约束：所有四个齿轮齿顶不能发生腐蚀。

第六组约束：在两个相互接触面上的啮合率必须必额定值大。

第七组约束：在两接触面的正常约束系数范围应该在（minus;0.5,1）之间。

第八组约束：所有四个齿轮的约束是可测量的。

第九组约束：齿轮上的轮齿数量必须是相对最优的。

第十组约束：2号齿轮不能与输出轴相干涉。

第十一组约束：允许的最大和最小边缘之间的润滑层的厚度应大于等于10毫米。

第十二组约束：输入轴与输出轴之间必须有足够的直径宽度以保证带轮的安装。

第十三组约束：锥形滚子轴承内径必须比密封安装直径小。

第十四组约束：输入输出轴上的圆锥滚子轴承的外圈在设计空间上有一定的几何约束。

第十五组约束：在所有的齿轮上的可设置约束。

第十六组约束：输入输出轴以及中间轴的应力约束（齿轮径向和轴向产生的）。

第十七组约束：三根传动轴上的疲劳寿命安全系数必须等于额定值低。

第十八组约束：三根传动轴在关键部位的弯曲应力必须在一定的极限值之内以使轮齿和轴正常运转。

第十九组约束：三根传动轴上的扭矩必须低于极限值。

第二十组约束：圆锥滚子轴承的寿命必须高于额定值。

第二十一组约束：在输入和输出轴上的主要键和键槽上的剪切应力不得超过额定值。

第二十二组约束：相邻滚子轴承之间的最小距离应大于15毫米。

第二十三组约束：用于连接齿轮的主要键及键槽的剪力和压力不得超过额定值。

第二十四组约束：减速器的工作温度不能超过额定值。

5 大量最小化问题

现在让我们考虑以下的设计问题。一个2.9千瓦减速器设计为重量最小和8000小时的使用寿命，给出了925转每分钟的输入转速和7.6的传动比。齿轮应基于ISO 53基本齿条轮廓，小齿轮和车轮分别由淬火和回火42CrMo4和41Cr4制成。

运用该算法设计出了一个传动比分别为2.8和2.7并且第一部分和第二部分的轴向距离分别为80mm和100mm，重量为44.3公斤的减速器。该解在第二传输级赫兹接触压力约束的边界上找到。这在图2 中做了更好的介绍。

与总体优化的成功决策（这个决策是在约束边界定义下的一本叫“重难点”的页角发现的）相反的是，这充分考虑了一些基本实验的结果。当然用于比较的基础就是建立在多时期的启发式算法之上的标准遗传算法。这个可比性与结构特征正在转变的重要时期同步运行。多次运行此算法也未能达到44.3公斤并有300000次评估的预算目标值。实际上，在300000次评估中任意选择一点来看，这个标准值也未能达到45.8公斤的客观极限值。相比之下，多期算法在每50个独立运行的（随机的选取的始于不同的种群）高达300000次的评估中能够达到这个值。图3是一系列评估中的一个直方图（平均不到75000的评估，标准偏差超过54000）。也许更有趣的是在少于50000个评估中每50个中就有17个通过了极限值。

作为一个额外的基准，我们也测试了模拟退火优化(泰比2009年实现了最近的版本的启发式算法的补充)作为解决减速器问题的方法。用五种不同类型的冷却时间表（线性分布、指数分布、抛物线、双曲线和幂级数）实验运行10000000次的估计目标功能也没有成功实现极限值重量，因为用的是简单的遗传算法。这再次强调了这个混合变量问题的困难性。

除了解决基本的设计问题，本文展示的优化能力类型还为及时评估设计概要要素的目标函数敏感性提供了可能性。例如，考虑减速机所需的使用寿命对质量的影响（在这项研究中是我们的目标）。这是一个高层次的关系，这个关系被设计变量和约束之间的许多低层次的联系所笼罩，而这种设计变量和约束的分析计算对所有的实践方案以及比较棘手的问题都是可以考虑使用的。但是我们可以通过对不同的使用寿命做优化以在这一关系上获得离散点——这样的研究结果如图4所示。

这里有一些从这个研究中得出的经典结论，如下所示，如果我们把目标定为2000小时，那么我们将要为了减小4公斤的重量而牺牲75%的使用寿命。使用寿命减小一半，其重量只能减小1公斤多点。同时，如果我们只关心重量，就谈不上以牺牲使用寿命做代价，如果我们不能让它下降到2000小时以下，将使重量无法减轻。

6 结论以及发展趋势

与许多其它工业产品相比，某些特定类型的机械变速器（在此讨论如减速器）具有有限设计空间的吸引力（由于其布置以及大多数的设计变量的标准化），这将使全局优化相当容易。

同时，作为“维数既定”

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