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基于联合参数化的7R拟人上肢
的闭式逆运动学建模
Bertrand Tondu
LESIA-Electrical Engineering Department, Institut National de Sciences Appliquees
Campus Scientifique de Rangueil, 31000 Toulouse cedex 4, France
Bertrand-tonduginsa-toulouse.fr
摘要：寻找7R拟人臂冗余控制的问题是通过寻找增强手腕位置的反向运动学模型来解决的。 研究了“臂角”作为特权附加标量参数的经典概念：它的直接表达式是在零偏移7R拟人臂的情况下给出的，但其闭式中的逆表达式似乎太难获得。 为了克服这个困难，我们建议使用角度变量作为冗余参数，并且我们表明，外展臂角度的选择允许间接但有效地控制“臂角”。 然后可以展示一个典型的7R拟人机器人手臂的简单而完整的闭式逆运动学模型。 模拟显示了方法的相关性，以简单的方式控制手和肘部的位置。
关键词：七自由度拟人机械臂、臂角、柔顺控制，冗余度控制。
1 简介
以一种与工业机器人手臂不同的方式，人形机器人的上肢通常不能满足于六自由度运动结构。除了奇点问题之外，原因在于外侧躯干的存在，这需要冗余结构让手到达机器人腰部前方的位置。因此，至少需要七自由度运动结构才能模仿人类手势的要素。在这种情况下，右手笛卡儿运动可以通过差分方法来控制。虽然有效，但众所周知的是，这种方法存在缺陷：伪逆的非保守特性，增广雅可比矩阵的算法奇异性;并且更一般地说，让我们回顾一下，使用微分方法来计算期望的关节轨迹会在机器人末端执行器的定位中产生越来越大的不准确性。由于这些原因，我们希望在本文中分析七自由度类人机器人上肢的闭式逆运动学模型的可能性。在第一段中指定问题位置后，我们将在第二章和第三章中分析应用于类人动物七自由度机器人手臂的可能性，这是Seraji等人开发的用于控制其“灵巧手臂”的方法，其解决了七自由度冗余问题通过控制所谓的“手臂角度”[1] - [5]。我们强调在搜索封闭表单解决方案时应用这种方法的困难。 为了克服这个困难，在第四部分我们分析了使用关节角度作为冗余参数的相关性。 最终将呈现仿真以显示与经典伪逆方法相比该方法的相关性。
2 问题关键
我们自愿将我们的分析限制在带有球形手腕的自由度上肢模型中。我们会注意到作为腕中心—其相应的位置矢量—是要被控制的手点—其相应的位置矢量—以及相关的同质转换，指的是位于机器人肩部的基架。直接运动学模型可以通过应用众所周知的手“定位”角度变量和手“定向”角度变量的分离来建立。让我们注意这个 机器人手臂矩阵最终由一个初始常量矩阵和最后一个矩阵完成，分别被记为和，因此，手臂的经典运动学模型将被编写如下：
如果矩阵被记为是给定的—对应于最终的结构—由于手腕的球形性质，手腕位置可以计算为矩阵的第四列，然后可以将逆运动学模型的问题分解为由下式表示的第一冗余定位问题：
其中是是基准，是未知的，而第二个非冗余问题是定位手的方向被表达为：
其中是已知数据，是未知的。我们将采用这个问题的位置，它完全在手腕位置上设置冗余问题。搜索冗余机器人手臂的闭式逆运动学模型的原则是基于考虑附加的标量参数，从而允许在关节空间和“增大的”任务空间之间进行映射。在我们的例子中，有必要完成向量的笛卡尔坐标，通过一个附加参数。在对七自由度工业机器人手臂分析Kreutz-Delgado的运动学分析中，Longamp; Seraji记为额外的参数，并且他们指定“可以是任何独立于末端执行器框架的额外标量参数”。—需要注意的是，此处的末端执行器框架意味着腕部框架。但是，立即补充说：“我们定义并使用臂角来解决操纵器冗余”。确实清楚的是，围绕连接肩关节和腕关节的轴的臂的旋转角度看起来是对问题的明显解决方案。然而，我们认为可以打开使用这个特权冗余参数的讨论。首先，Seraji及其同事在微分方法的框架下开发了他们的“配置控制方法”，但没有表明闭式逆运动学模型的可能性。其次，我们不认为建立附加标量参数的“任务空间”性质是显而易见的。在其他地方，我们强调了[6]Roth的证明[7]的重要性，这个证明是表明串行操纵器的关节空间是向量空间。这是由关节运动的交换性引起的，尽管空间旋转是不可交换的。此外，如果末端执行器位置由移动框架中定义的三个笛卡尔坐标和三个欧拉角的组合定义，则任务空间似乎是向量空间：实际上，任务空间看起来等同于笛卡尔机器人与关节对应于所选欧拉角序列的球形腕关节的关节空间。关节和任务空间的双向矢量性质是非冗余串行操纵器的一个特点。 在串联冗余臂的情况下，角度空间总是一个向量空间，但问题出现在“增大的”任务空间的向量性质中。尽管Seraji将此任务空间的元素定义为“配置向量”[8]，但将附加变量集成到末端效应器位置而不会失去6维任务空间的向量性质，这样并不容易。
但是，如果选择“臂角”作为特权冗余参数会导致失去“增大的”任务空间的矢量性质，那么可以询问是否将简单角度变量选择为冗余参数并不那么相关。这就是为什么我们会先后分析“手臂角度”在我们的问题中的应用以及随后选择角度变量作为冗余参数的可能性。
3 “臂角”适用于7R人体形态臂运动学分析
“臂角”作为冗余参数的选择对应于一个简单的观察：让我们考虑一个七自由度机器人手臂，其手臂通过球形关节连接到基座，末端执行器也通过球形关节连接到前臂。如果末端执行器的位置和方向是固定的，则标记为E的肘中心仍然可以移动以描述围绕连接两个球形关节的线的弧形圆，并且其长度取决于关节限制。结果，肘部的相应旋转角度以优雅的方式参数化7R手臂冗余。但是，让我们注意，指定可以测量该角度的参考位置是困难的。在他们的工作中，KreutzDelgado等人提出了他们称之为“臂形角”的肘部旋转角度的以下定义：“手臂角度绕矢量（第472页）[3]的包含单位矢量和肩腕线的基准参考平面在右手方向上与肩关节肘关节腕部平面之间的角度来定义—记做S是与基础框架的原点相对应的肩部中心（请参阅图2）。
机械臂的七个自由度按照以下顺序与人类关节生理学的基本运动类似地定义：肩部外展-内收，肩部屈曲-伸展，手臂内部-外部旋转，肘关节屈伸，普罗诺-反掌（正反掌），腕部外展-内收，手腕屈伸，通过将前臂置于零代前旋后，手臂的零配置来源于人体关节生理学的零解剖结构。关节限制不是自由的：在不寻求严格符合人体关节生理学的前提下，他们必须尊重躯干的存在和与人类姿态的一致性; 这将是值得注意的 但是 在范围内自由。
图1 7R人形手臂运动结构——在零关节配置中——（最终框架（P，Xhand，Yhand，Zhand）可以放置在手的任意点上，例如在拇指和其他四个手指之间 如图所示）。
表1给出了相应的Denavit-Hartenberg表和R. Paul符号，表2相应的矩阵由矩阵指定的初始框架完成。
表1 仿人机器人手臂D-H参数
表2 对应的机器人关节矩阵
我们将臂型角概念应用到七自由度仿人机器人手臂，如图2所示。参考的选择是自由的，但是它似乎选择了。导致导致最简单的表达式-特别是不依赖于关节1角度的表达式。通过应用一般Kreutz-Delgado，Long和Seraji公式来定义“手臂角度”（为了避免与手位置矢量混淆，我们将标记为而不是向量代表从线到 点的最小距离）:
对于我们机器人手臂的特殊情况，我们可得：
这个表达式与[3]中考虑的零偏移量臂相当。
注意：请注意，[3]中给出的表达式对应于臂长和前臂长度相等的特殊情况; 如果没有，JPL型7R机型的一般表述是：
此外，接下来的和的表达式作为关节角度的函数，完成了直接的运动学模型：
图2“臂型角”概念在7自由度类人机器人手臂上的应用。
4 用臂形角作为冗余参数尝试确定封闭形式的逆运动学模型
为了寻找所考虑的模型的逆运动学解，可以从考虑用已知的距离来表达的经典关系开始。如果我们假设，考虑关节生理学，属于的范围，我们可以得到：
此外，通过用预乘公式（7），我们获得下面的等式，将从其他变量联系起来。
该系统可以通过考虑关节角度作为参数来解决。我们获得:
该解决方案表明冗余区域结构可以被解释为其臂旋转可能变化的经典非冗余区域结构。从方程（8）和（10）可以在臂型角的逆运动学关系中寻找出一个解，凸显出 和的关系。我们可以从（5）中获得：
通过使用关系和公式（10）中的表达式，我们可以得到：
通过使用变量更改，其中，公式（11）可以写成的四次多项式。理论上有可能解出它以获得作为和已经确定的关节角度的函数的的闭式表达式，但是这在实践中是困难的，并且即使在零偏移机器人在结论中似乎很难基于使用臂角度产生闭式运动学逆模型。出于这个原因，我们试图研究生成7R类人机器人手臂闭式逆运动学模型的替代方法。
5 使用角度变量作为冗余参数
臂型角作为一个特权参数出现以表征任务空间中的7R臂冗余。然而，如前所述，可以询问产生的手腕位置是否增大，构成位置矢量或不是。如果我们直到现在考虑将方向和位置分开，那么问题出现了，四个操作变量的集合是否定义了一个向量？我们已经看到，要检查的主要属性是组件顺序的非物质性。 在我们的特例中，这转化为：臂角与笛卡尔变量之间的顺序无关紧要吗？ 我们在第二部分回顾了罗斯在分析这类问题时的重要性。很明显，由于角度被定义为绕着轴线的旋转角度，与手腕的笛卡尔位移一起，变量不能被认为是一个串链的四个变量。因此，我们认为对任务协调秩序的非实质性的回应是负面的。 四维“增强”任务空间不是矢量空间。在我们看来，臂型角因此丧失了其操作冗余参数的特权状态，并且面临将其整合到闭式逆运动学模型中的困难，因此我们建议分析考虑角度关节变量作为冗余参数的相关性。如果我们采用冗余参数的一般定义作为独立于腕部框架的任何附加标量参数，则Seraji已经提出通过使用增广雅可比矩阵来测试这种功能独立性。例如，在框架中，以手腕点作为速度参考点，发现由附加参数增强的区域关节雅可比矩阵是
因此
我们以类似的方式获得
这意味着除了关节4之外，其他三个关节都可以选择作为附加的空间任务冗余参数。因为我们想用冗余度来控制肘关节位置E，似乎有利于求解肩关节角度和 。就我们所建立的机械臂模型，固定时特别有趣，因为在时引入了一个额外的“算法奇点”，这是由于一个关节的活动范围是，手臂的内外旋转因此受限，所以必然形成了一种类似生理状的约束奇点。此外，正如上述的，我们的方法具有原创性，有可能展现一个“配置控制”的非差异性模型该模型是一个将参数化的逆运动学模型。在逆运动学模型中，如果我们将
参数化确实较将参数化更容易得到公式（9）的关系。在假定的活动范围为时，我们可以得到:
然后，我们可将其与公式（10）的第二方程式联立以获得关节角度.关于手腕位置的闭式逆运动学解可通过附件中给出的手型方位的闭式逆运动学解来完成。为了检查所提出的方法的相关性，我们首先将基于关节1角度的冗余控制与基于臂角度的冗余控制进行比较。
- 基于肩外展和“臂形角”的冗余控制方法比较
虽然它是一个关节变量，但是我们的运动学模型的外展-内收角度在任务空间中有明确的含义，如图3所示:它代表垂直臂段投影之间的角度平面和围绕固定肩外展-内收轴的垂直参考轴。
图3 将关节1转角解释为俯仰角度
参数以不同于Seraji手臂角度的方式控制手臂仰角。为了比较这两个参数的效果，我们提出了以下仿真：对于参数化的逆运动学模型，我们施加固定的手腕位置并且同时在两个给定值之间施加角度变化。然后应用旋转角度的直接公式（5）来确定的相应变化。我们已经研究了手臂长度和前臂长度都等于0.3米。在如图4所示的例子中，手腕位置等于的参考范围。图4.a给出了根据梯形速度分布（恒定关节取决于和巡动关节速度）假定关节1变量在0°和90°之间变化时相应的肘部E位置。图4.b给出了所有关节变量的相应时间变化及角度时间变化。在这个例子中清楚地表明，角度和都以类似的方式变化。由此显示，使用关节1角度参数来以与臂角度相同的有效方式表示拟人臂冗余度，计算负担显着减轻。
- 手腕笛卡尔轨迹与施加的肩部外展
图4 关节角度变化时手腕施加位置的肘关节旋转模拟角度
（a）笛卡尔肘关节轨迹，（b）机器人关节的相应时间变化
如果我们采用在冗余机器人手臂控制中考虑的任务优先级术语，则轨迹的选择作为关于定义第一任务的期望手腕轨迹的第二任务出现。如图4的例子所示，通过适当的轨迹，可以根据机器人手臂环境来控制肘部定位。重要的是要注意，7R拟人手臂没有足够的自由度来施加于手腕和肘部位置: 根据我们的模型，肘部位置E由给出; 因此不能期望通过使用单个变量来完全控制肘部位置。但是，通过控制冗余参数可以预期限制肘部位置变化的面积。 让我们考虑一个常数值的情况;肘部定位区域仅取决于手腕运动期间的范围。此外，只要和被定义，即当保持低于1时，手腕的任何笛卡尔轨迹都可以执行。下面的仿真说明了该方法的可执行性。点到点的轨迹沿四个点定义的矩形进行规划，根据梯形 ，，，速度曲线（恒定加速度和巡动速度）。
图5 通过使用闭合形式的反向运动学模型以及恒定外展角的模拟来执行的点对点矩形轨迹，（a）和（b）笛
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