卡方分布外文翻译资料

 2022-08-06 09:44:41

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卡方分布

By EDWIN B. WILSON AND MARGARET M. HILFERTY

哈佛大学公共卫生学院生命统计学系

1931年11月6日

  1. A.Fisher给出了x2的表,并指出对于n的大值,分布的自由度,是的正态分布。

有意思的是,当一个定积分的被积函数在极限处消失并且只有一个最大值时,有时可以通过将的最大值展开来找到一个对积分值有用的近似值,写作:

假设展开中的高阶项对积分的贡献很小,且极限a和b与最大的距离足够远,因此积分可以被视为一个完全概率积分。

这种方法通常应用于伽玛函数

其中 然后

当p=1时,这个表达式给出了众所周知的斯特林公式;当p=2时,它给出了一个更好的近似值。可以观察到是从而斯特林公式仅从开始定义替代公式仅从开始定义。如果则该方法在函数的整个范围内近似于并且

下表显示了一些对的一些小数值n计算的值

n = 1/2

n = 1

= 2

n = 3

n = 4

n = 5

p=1

虚数

-0.03520

0.28076

0.76613

1.37118

P=2

0.03143

0.01178

0.30813

0.78330

1.38420

P=5

0.26080

0.00320

0.00026

0.30097

0.77800

1.38006

P=

0.18194

-0.03520

-0.01796

0.28901

0.76912

1.37298

0.24857

0.00000

0.00000

0.30103

0.77815

1.38021

可以看出,对于较小的n值,给出的近似值明显优于从斯特林公式(p=1)得出的近似值,但不如p=2给出的近似值,后者对应于常用的另一个公式。特别有趣的是,当p=5时,近似值比其他任何一个都好。分布由微分频率方程控制,例如

其中,C的调整使得从0到的积分为1。除了乘子外,完全积分的近似值如此之好的可能性表明,可以用类似的方法得到分布。

其中

最大值在

问题是是否可以看作是一个正态变量,分布在平均值m上,指示值为。

为了得到类似于费希尔公式的公式,应让p=2,并将平均值和标准偏差乘以2。我们应该

关于平均值其中

计算结果表明 这个结果不如他的结果。如果取p=3分析表明

约其中

约其中

如表1所示,结果在某些部分优于Fisher公式,而在其他部分则较差。p值不超过3的大

量试验表明没有显著性的改善。

还有一种解决办法可以写出

二项式定理的展开是根据e的幂或e/n的有效幂展开的,e的平均值为零,的平均值是关于其平均值n的第二个矩,等于2n,的平均值是关于其平均值的第k个矩,这些矩可能都是用(3)乘的积分得到函数,代数很长,但很简单,最后的结果在n中是有理的。因此的平均值可以作出

从这个表达式和最初的展开式,可以得到的矩,它是

2nd moment=

3nd moment=

从这些结果看来,如果p=3,第三阶矩消失到阶,第二阶矩中的阶项也消失。这表明,在相当大的近似程度上,随着n的增加,我们可以假设

是关于的正态分布其中

有趣的是,将此结果与的表格值以及使用Fisher给出的(1)或(4)通过不同方法获得的结果进行比较。比较见表1。

表格1

的值

用公式(5),(1),(4)给出的真实值标记为T

II

P = 0.80

P - 0.50

P - 0.20

P = 0.05

P - 0.01

T

0.0642

0.455

1.642

3.841

6.635

1

(5)

0.0553

0.470

1.618

3.747

6.586

(1)

0.0125

0.500

1.696

3.498

5.532

(4)

0.0102

0.333

1.600

4.287

8.119

T

0.446

1.386

3.219

5.991

9.210

2

(5)

0.450

1.405

3.195

5.936

9.220

(1)

0.396

1.500

3.312

5.702

8.235

(4)

0.378

1.333

3.232

6.222

9.869

T

1.005

2.366

4.642

7.815

11.341

3

(5)

1.015

2.381

4.622

7.775

11.370

(1)

0.972

2.500

4.736

7.531

10.171

(4)

0.946

2.333

4.664

7.995

11.826

T

6.179

9.342

13.442

18.307

23.209

10

(5)

6.191

9.349

13.419

18.298

23.246

(1)

6.186

9.500

13.523

18.023

22.346

(4)

6.155

9.333

13.451

18.372

23.381

T

23.364

29.336

36.250

43.773

50.892

30

(5)

23.376

29.340

36.237

43.770

50.913

(1)

23..380

29.500

36.318

43.487

50.074

(4)

20.984

29.333

36.258

43.815

50.986

表1显示,从差分(3rsquo;)得到的分布(4)在某些地方似乎比(1)好,在其他地方则更差;因为它不是那么简单,所以应该拒绝。另一方面,在表的大多数部分中,通过展开得到

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