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基于位置测量局部POE公式的串联机器人
标定运动学模型
Hua Liu， Weidong Zhu，Huiyue Dong，Yinglin Ke
摘 要：
目的–本文旨在为串行机器人的运动学参数识别提供一个校准模型，以提高其定位精度，该模型仅需要测量末端执行器的位置即可。
设计/方法/实现–所提出的模型是基于指数乘积的局部框架表示（局部POE）公式建立的，该模型将所有运动学误差整合到扭曲坐标误差中；然后通过迭代最小二乘算法同时确定刀具架的位置偏差。
为了验证所提出方法的有效性，分别在4自由度SCARA机器人和5自由度钻床上进行了广泛的模拟和校准实验。结果表明，结果表明，所提出的模型在收敛性，准确性，鲁棒性和效率上均优于现有模型。只需要较少的测量以获得可接受的识别结果。
实际意义–此校准方法已应用于半径可变的圆周钻孔机。可以将机器的定位精度从最初的11.153mm显着提高到0.301mm，这满足了在飞机组件上钻孔的公差要求（plusmn;0.5mm）。
原创性/价值–提出了一种准确有效的运动学标定模型，该模型可以满足完整性，连续性和最小性要求。基于其普遍性，该模型可通过旋转关节和棱柱关节的任意组合广泛用于串行机器人运动学标定。
关键词：参数识别，运动学建模，最小性，POE公式
1 引言
由于固有的运动学误差例如制造和装配（几何）误差，如果采用名义运动学参数代替实际值，则会降低机器人的定位精度。运动学标定是提高机器人绝对定位精度的有效且经济的方法，解决方案是运动学建模，姿态测量，参数识别和补偿的集成过程[6-10] (Chen et al., 2001; He et al., 2010)。理想的运动学模型需要具备三个基本属性：连续性，完整性和最小性[16] (Schrouml;er et al., 1997)。
目前提出了许多运动建模方法。标准的Denavit-Hartenberg（D-H）模型由于其最小特性被广泛应用于描述机器人运动学[7]（Craig，2005）。然而，当两个连续的关节轴平行时，由于奇异性问题，它不是连续的。为了解决不连续性问题，人们提出了基于改进D-H法则的各种运动学模型[8-23]（Hayati和Mirmarini，1985；Zhuang et al.,1992）。虽然修改后的D-H模型满足连续性要求，但引入的参数会导致参数冗余，而且相邻关节轴平行时，必须注意局部框架的构造是否合理。
与基于D-H的模型相比，基于指数（POE）的模型乘积的运动学参数由于Lie代数集se（3）到Lie代数群SE（3）的指数映射会随着关节轴的变化而平滑变化，这意味着它可以避免某些运动学上的奇异性问题[12-14]（Murray et al.,1994； Okamura and Park，1996）。除无奇点性质外，POE公式还具有其他几个有用的与设备无关的功能[15]（Park，1994）。首先，它基于线的几何形状描述关节轴；因此，它可以处理旋转关节和棱柱关节的任何组合，并以统一的方式对其进行处理；其次，根据Chasles的定理[12]（Murray et al.,1994），任何刚性运动（如螺旋运动）都对应于一定的扭转，从而保证了完整性。这些特性使POE公式非常适合于运动学建模，并且已在机器人领域得到广泛使用。通常，根据POE公式的表示是在基本框架还是在局部框架中，有两种用于运动学校准的POE公式：它们可以被称为全球POE[15-14-10]（Park，1994； Okamura和Park，1996； He et al.,2010）和本地POE[6-22-13-18]（Chen et al.,2001； Ying et al.,2006； Mustafa et al.,2008； Chen et al.,2001；Wang et al.,2016）。全局POE公式允许对开放运动链进行简单的全局描述。一旦选择了仅有的两个坐标框架（基础{B}和工具{T}框架），所有扭曲坐标和初始末端执行器姿态都将在基础框架中表示。对于局部坐标系，需要将局部坐标系分配到其相应的链接上，所有扭曲坐标都在其局部坐标系中表示，并且需要确定连续链接帧之间的初始姿态。
POE公式最初用于描述机器人解决奇异性问题的运动[1]（Brockett，1984）。Okamura和Park提出了基于全局POE公式的误差模型，该模型具有完整性和连续性[15-14]（Park，1994； Okamura和Park，1996）。而后也有人提出了一种基于局部POE公式的机器人运动学标定方法，并将其用于串行机器人标定[5-6-22]（Chen和Yang，1997； Chen et al.,2001； Ying et al.,2006），该方法可以校准连续帧和图像之间的初始姿态误差。忽略其他错误资源。在传统的基于POE的校准模型的基础上，Lou提出了一种经过改进和修改的模型[11]（Lou et al.,2009）——将关节偏移误差视为一组关节螺钉误差，并并将其被排除在误差模型之外。Tao和Yang提出了一种自适应神经网络增强机器人运动学模型[17]（Tao和Yang，2015），该模型将非几何误差集中到最后一帧，并使用两阶段过程进行了校准。为了补偿机器人的几何误差和非几何误差，提出了一种基于POE公式和高斯过程（GP）回归的标定模型[19]（Wei et al.,2016），并利用GP回归模型考虑了末端执行器有效载荷的影响。通过选择工具框架作为参考框架，提出了一个改进模型[3]（Chang et al.,2018）。
基于POE公式的标定模型除满足最小性外，还满足前两个特性，即要求标定模型中的所有误差参数都是线性无关的。由于冗余，校准算法的稳健性在识别过程中会受到损害[23]（Zhuang et al.,1992）。因此，冗余问题引起了研究者的关注。很多人基于全局POE公式建立了模型，并系统地分析了运动学参数的识别能力[10]（He et al.,2010）。在三类误差（扭曲坐标误差、关节位置误差和初始变换误差）中，它们证明了后两类误差不能用单一模型来识别。因此，提出了三种用于姿态测量的显式误差模型，并通过测量末端执行器的位置对其进行了修改，以用于串联机器人的运动校准[9]（He et al.,2015）。然而，由于关节扭曲的限制，仍然存在多余的参数，在识别过程中必须不断地将它们规范化。对此，Yang等人提出了一种基于全局POE的最小运动模型，该模型只需确定旋转关节的四个参数和棱柱关节的两个参数即可消除冗余参数。在校准过程中，链接帧得到更新，链接帧表示的扭曲坐标保持不变[21]（Yang et al., 2014）。然后Wu等人，利用位置测量方法，提出了一种在单个模型中既包含关节零点偏移误差又包含初始帧扭曲误差的最小版本，并建议在末端执行器上测量至少三个非线性点，以使识别能力最大化[20]（Wu et al.,2015）。以及由Chen等人提出了一种通过引入正交分割算子来确定和消除校准模型中冗余参数的分析方法[4]（Chen et al., 2014）。证明了在局部和全局POE公式中，通过将链路的误差投影到识别矩阵的零空间，可以方便地消除冗余误差分量。类似地，可以构造正交分割矩阵以确定和消除并联机器人运动学校准的冗余误差分量。
上面提到的大多数模型都是基于姿态（位置和方向）测量的。在实际实验中，测量误差会对标定精度产生很大的影响，有必要将测量误差的影响降到最小。利用激光跟踪器[4]（Chen et al.，2014）、测量臂[21]（Yang et al.，2014）和坐标测量仪[11]（Lou et al.，2009）等坐标测量仪器可以很容易地获得高精度的三维位置，但是很难直接采集到高精度的方位信息。解决这个问题一般有两种方法，一种方法是使用姿态传感器，但它们通常只能提供较低精度的测量。也可以通过位置测量来构建坐标系来估计[4-20]（Chen et al., 2014；Wu et al., 2015），这需要更多的时间，因此，最好只使用末端执行器的位置数据来校准机器人，这样更实用、更高效。
本文基于局部POE公式，提出了一种新的最小模型，该模型考虑了局部框架固定在其标称位置时，节点扭转坐标的偏差，并将其与刀架位置偏差一起用位置测量进行校正。在Wu, L., Yang, X., Chen, K. and Ren, H. (2015)提出的三个使用位置测量的模型中[20]。其中两个只能在特殊条件下使用；应用范围更广的模型校准扭转误差将用于比较，称为传统模型。对于一般的具有r个旋转和p个棱柱关节的串联机器人，我们的模型需要识别的参数数目为，而对于传统的模型，需要识别的参数数目为6n（n=r p）。在四自由度SCARA机器人和五自由度钻床上进行了大量的仿真和标定实验。结果表明：
- 在理想的实验条件下，得到的扭转坐标误差可以全部恢复；
- 该模型精度高，抗噪声能力强，平均迭代两步即可快速收敛到误差允许水平；
- 仅需要较少的测量即可获得可接受的识别结果。
第2节提出了基于局部POE公式的改进运动学模型。在第3节。推导了线性化误差模型，给出了基于位置测量的标定算法。第4节和第5节分别提供了仿真结果和实验结果，以验证所提出的校准模型的有效性。最后，第6节得出结论。
2 运动学模型
2.1 二元运动学
如图1（a）所示，相邻的连杆i-1和i通过接头i连接，这种总成被称为二元体，其将每个局部框架{i} w.r.t（相对于）前一框架{i-1}的正向运动变换联系起来。在给定关节位移的情况下，相对相位可以用一个4times;4的均匀矩阵来描述，这样：
（1）
其中表示帧相对于i-1的初始姿势。矩阵指数将扭曲映射到的相应元素。
（2）
式中，表示四阶恒等式矩阵，表示框架中关节扭曲的标准表示。
（3）
其中，“and;”符号表示从6维（或3维）向量空间到Lie代数空间到的映射。可以通过定义的“vee”（V）操作符映射到扭曲坐标：
（4）
和分别是关节轴的单位方向矢量和位置矢量，而点P是关节轴上的任意点。
（5）
图1 具有不同局部框架附件的Dvad运动学模型
注：（a）原案；（b）拟用框架附件
由于帧{i}是任意分配的，要完全描述，需要13个参数，与D-H模型只需要4个参数相比，具有高度的复杂性和冗余性。在13个参数中，6个用于描述初始姿态，6个用于描述实际关节扭曲坐标，1个用于描述关节位移。为了简化模型，提出了一种新的附加局部帧的方法，该方法利用了局部帧可以任意分配给局部POE公式的优点。
2.2 改进的正运动学模型
在图1（b）所示的改进模型中，标称框架{i}沿接合轴的Z方向连接到接合部的中心。在局部POE公式中，扭曲坐标用其局部框架表示。因此，旋转关节
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