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在杜宾斯路径上拦截移动目标
作者：Yizhaq Meyer，Pantelis Isaiah，Tai Shima 航空航天工程部，技术的以色列化，海法32000，以色列
关键词：杜宾斯 车辆运动目标 最小时间拦截在给定时间 拦截路径伸长同时拦截
摘要：我们研究了杜宾斯车辆拦截目标的拦截问题，该目标沿着先验已知的平面轨迹以恒定速度移动。我们建立了足够的条件，使得最短的拦截路径与从追踪者的初始配置到拦截点的最短杜宾斯路径相吻合，并且通过例证显示，如果条件被违反，情况并非如此。受到追捕者同时拦截目标的问题的驱动，我们还分析了单个追捕者在预定时间拦截的问题。我们提出了三种路径伸长算法，以及保证连续伸长的条件，并提供了同时截取的充分条件。该分析最终形成了一个集中式协调方案，用于同步拦截。
正文：
- 介绍
我们考虑拦截一个目标的拦截问题，这个目标是由追踪者以一个先验已知的平面轨迹以恒定速度行驶，这个追捕者是一个杜宾斯车辆。 那也就是说，追赶的运动由运动学模型来描述。 （x，j，a）=（vcosa，vsina，uv / r） （1）
其中（x，y）E I2是惯性位置坐标，E [0，2rr）是从x轴逆时针测量的方向。正实常数v，罕见速度和最小转弯半径，而标量控制u满足|u| lt;=1.因为（1）是一个易于理解的模型，可以捕获一些关于自动机运行的难题，已经在文献中广泛研究过。
给定两个边界条件，（1）的解是平面连续不同曲率的有界曲线。 杜宾斯（1957）证明了这样的最小长度曲线存在并且必然是CSC，CCC或其缩短版本的形式。这里，S表示直线段，C表示半径为车辆的最小转弯半径r的圆弧。 如果C描述顺时针（或逆时针）转向，则它将由R（resp.L）取代。因此，杜宾斯车辆的最短路径从任何初始到最终的配置都属于6个可允许的路径集：D = {ISL，RSR，RSL，ISR，RLR，LRL}。 杜宾斯车辆模型可以用作其运动是平面的无人飞行器（UAV），机器人或导弹的简化表示。
我们称这个问题是为没有终端角度约束的杜宾斯车辆寻找最短路径的问题。 当然，轻松杜宾斯问题的最优化的必要条件包括最终时间的横截条件。 再加上所有线段和电极点必须位于同一条直线上的事实，变换器的状态条件意味着家族：上述D减少为一组四个可能的路径，用于放松版本的问题：R D = {RS，IS，RL，LR｝。 CC中类型路径的第二个弧，R D必须大于或等于圆周率。对于第二个弧比圆周率小（比p大）的CC类型的路径，我们使用符号CClt;lt;派（或CCgt;gt; 派）。
杜比斯和休闲杜比斯最佳路径也被认为是拦截移动目标。 在追赶者被假设为杜宾斯车辆和恒定速度目标的假设下，Looker（2008）提出了一种搜索算法，用于找到截取的最短CS类型路径。 所建议的算法基于单个隐式方程的最小拦截时间的数值解，其是从对模型约束的分析开发的检查一组杜宾斯车辆的交会问题。 对于位于距所有团队成员至少四倍于车辆最小半径长度的距离处的预先分配的目的地点，他们提出了用于在目的地的连续团队成员之间具有相等分离角度的最小时间集合点的分散近似算法。
对于直线移动的目标，Meyer，Isaiah和Shima（2014）分析了预定义时间的最短时间拦截和拦截问题。 在这篇文章中，我们将扩展先前的分析。 具体而言，在第2节和第3节中Meyer等人的结果 （2014年）被推广到还包括沿着先验已知轨迹移动的目标的情况，该轨迹不一定是直线。在第4节中，我们介绍了三种新的路径伸长算法，以及保证连续伸长的条件。在第5节中，我们提出了一个中心算法来协调一组同时拦截移动目标的追踪者。
- 问题的制定
在本节中，我们将预定义时间的拦截问题作为最优控制问题。本文中使用的下标T和P指的是目标和目标分别。 我们使用符号Q属于R3作为配置，这是一个位置和方向三元组表示的一些惯性笛卡尔框架，我们用w属于R2表示未指定方向的惯性位置。在不失一般性的情况下，我们假设该场景在时间t = 0开始，并且配置追求者和目标的追求是Qg =（x，y，a）和Qt =（x，y，a）。 该场景在预定处结束罚款时间t req gt;= 0。问题的解决方案是一种控制，可以最大限度地减少对手之间的失误距离。因此，我们会导致以下最优控制问题：
最大限度地降低成本 J =（Xp（treq）-Xr (treq））2 （yp（t req）-Yr Ctreq））2，
在这个模型中，控制Up（满足|up|lt; = 1）决定了追赶者的角速度，qr属于{-1,1}模拟了目标瞬间改变方向的能力，而Ur 属于R决定了追踪者目标的角速度。 常数vr，vp和r是正实数。
人们可以获得这个非线性最优控制问题的数值解，但在这项工作中，我们的目标是使用分析方法更好地理解问题。 我们将解决方案分为两个阶段。 首先，我们寻求捕获所需的最短时间（零误检测，在本文中也简称为截获），记为tmin。第三部分回顾了Cockayne（1967）提出的捕获的足够条件。一旦捕获有保证的，我们在第4节介绍在预定义时间treqgt; tmin时使用路径延伸算法进行拦截的问题。
- 最短时间拦截
我们首先定义一些有用的符号。 由轴定义的轴将R2分为两个半平面; 位于左侧的半平面的轴用LHS表示，半平面用右边由RHS表示。我们用DL和DR表示左边和右边的圆圈，最小半径，与追踪者的初始配置Qg相切（图1）。杜宾斯的最短路径的长度从Q0到Q1的车辆将由Dub（Q0，Q1）表示。 从Q0到wf（也就是说，当没有对终端角度施加约束时）的最短路径将由R Dub（Q0，wf）表示。 目标的轨迹将由y（t）表示：[0，oo）-R2。该函数y（t）是连续的，因为它描述了一个真实物体的轨迹。函数fsp(w)，R2 -[0，oo），称为“时间到”。达到（TTR）函数，表示追踪者从初始配置到任意点到达的时间，使用一些可行的路径规划策略，函数fsp（w）= R Dub（Qp0,w）/vp是追求者的TTR函数，它使用宽松的杜宾斯最短路径策略来达到w。 组合fsp（R（t））表示追踪者使用一些可行的路径规划策略达到目标轨迹上的点y（t）E R2所花费的时间。 由于目标在每个时间的位置是先验已知的，我们通过fsp（t）=fsp（R（t）)来简化该符号。 如果我们假设目标的轨迹不能与TTR功能相交的目标是左边的数，因此我们得到ftr（t）=ftr（y（t））= t：[0，oo）-[0，oo）。 如果我们省略后面的假设，那么y不是内射的，因此不能有左逆，但函数ftr（t）= t：[0，oo）-[0，oo）的定义仍然有效 - 它只是表示目标从Q到达y（t）所需的时间。我们注意到了根据定义，所有TTR函数都是非负的，并且fr是a连续单调严格递增函数。 就TTR功能而言，当拦截是可能的时候，就存在一个策略打出一个非负实数t，使得f（t）= fr（t）。
对于追随者和模仿杜宾斯车辆的目标，凯恩（1967）表明追捕者将能够从任何初始状态捕获目标，当且仅当Vpgt; vr和vp2/rpgt;=vt2/rt 其中rp和rr分别是追踪者的最小半径和目标。然而，考虑到对手的特定初始相对几何结构，追捕者可能不需要这些条件中的任何一个来捕获目标。 例如，考虑最初在碰撞三角形上对齐的对手的情况。 在这种情况下，追赶者将抓住目标（即使没有机动），即使它在速度方面较差。
引理1：如果目标没有进入任何一个圆DL和DR，TTR函数f; 追随者的追随者关于平面中每个点的杜宾斯最短路径是一个连续函数。
证明：在目标轨迹的上述约束下，构成f的两个函数; fp*（t）=f p *（r（t））是连续的。
引理2：令y（t）是目标轨迹和J上的点; （t）追踪者使用宽松杜宾斯最短路径策略到达点y（t）所花费的时间。 然后：fp(t)lt;=fps(t)，Vt E [0，oo），以及追踪者的所有可行策略。
证明：直接来自Boissonnat和Bui（1994）证明的轻松Dubins最短路径的最优性。
引理3：如果TTR函数J; 追随者遵循宽松的杜宾斯平面中每个点的最短路径是一个连续函数并且可以进行截取，必须存在以使得fp(t)= fr（t）。
证明：在满足fps（t1）= fr（t1）的ti处实现拦截。从引理2我们可以得到
（5) 假设追求者和目标从不同的初始位置开始，我们就得到了fp（o）gt; ft（0）= 0。 (6) 从（5），（6）和连续性关闭; 和fr，我们推断存在t E JO，t1]使得fp(t）= ft（t）。
引理4：如果TTR函数f; 追随者遵循宽松的杜宾斯最短路径到达飞机上的每个点是一个连续的函数并且可以截取，那么追捕者可以拦截目标在最短的时间内遵循一个宽松的杜宾斯截取点的最短路径。
证明： 在规定的假设下，引理3暗示，如果使用某些路径规划策略进行拦截是可能的，那么使用宽松的杜宾斯最短路径策略也是可能的。 即存在满足fp(t）= fr（t）的t。 我们将t1定义为满足后一方程的最小值。 假设存在t2lt;t1，满足fps（t2) = ft（t2)）引理2和t的定义暗示了 （7） 从（6），（7）和连续性f * p和fr我们推断存在t3E] O，t2,[其中t2lt;t1，使得fps（t3= fr（t3)与t1的定义相矛盾。
定理5：如果可以进行侦听并且目标不进入两个圆DL和DR中的任何一个，则最小时间拦截通过松弛杜宾斯到拦截点的最短路径来实现，并且路径属于集{RS，LS ）。
证明：在特定假设下，引理1暗示了f; 是一个连续函数，引理4意味着最短时间拦截是通过一个宽松的杜宾斯到拦截点的最短路径实现的，Boissonnat和Bui（1994）已经表明，松散的杜宾斯到指定点的最短路径区域是RS和LS类型。通过一个反例，我们表明移动目标的最短时间间隔可能要求追踪者使用不会导致截取点的最短路径的策略。
例1 考虑图2所示的情况。我们选择r = 1和Vp = 1的值。通过选择目标的速度为vr，则目标在同一时间到达B点它需要追求者完成一个2派。 追求者不能截取圆DL内的目标，因为它到达目标之后的AB（B除外）中的每个点，即使它遵循宽松的杜宾斯到这些点的最短路径（如图2（b）中的红色所示）。 最小时间拦截是在B点通过遵循用圆圈标记的路径。 如果追赶者遵循宽松的杜宾斯最短路径到B点（在图2（a）中标记为三角形），追击者将到达目标之前的B点，并且将无法拦截目标。
恰巧，例1中的最小时间拦截路径属于可允许的宽松Dubins最短路径的集合JVJ。 以下示例说明并非总是如此。
例2 图3描述了r = 1，vp = 1和Vr =2Vp的情景。 追踪者试图通过考虑六种不同的路径规划策略来达到焦点轨迹上的每一点：RLgt; 派，RL lt;派，RS，LRgt; 派，LR lt;派和LS。六种策略中最短的拦截路径（这种类型的路径不属于集合JV）最短路径可以被删除，因此，最短的候选路径集合不与候选集合中的最短路径候选集合一致拦截点。
如果追击者具有超过其目标的速度和操纵性优势，那么它可以从焦油目标的初始配置中追踪目标的轨迹直到拦截。 机动性优势使追击者能够追溯目标的轨迹，速度优势保证捕获。 因此，在这种情况下，Tminlt;=Dub(Qp0,Qt0)/(vp-vt) 当目标在一条直线上移动时，tmin的下限可以使用下面的引理推导出来。
引理6：假设拦截是可能的，没有加速约束和恒定速度的追踪者通过直接前往拦截点，即通过移动由对手定义的最小可用碰撞三角形来实现最小时间拦截非机动目标相对几何结构和它们的速度比。
证明：对于追赶者具有速度优势的目标，Shima（2011）表明，当拦截成为可能时，追捕者可以在两个可允许的碰撞三角形之间进行选择。 我们通过SCT指出最小的碰撞三角形，并通过矛盾表示截取场景的持续时间，让我们假设最短时间的截取是通过追踪者到达截取点的非直线路径来实现的。 我们用Tsct表示这个策略并表示通过y（t1）的截取点，使得fp（t1）= ft（t1）。 追求者
由于直线是两点之间的最短路径，所以直线NStrt指示的策略）朝向点y（t1）的前进将在采用NStrt策略的追踪者和目标点之前。 就TTR功能而言，这意味着 （9) 假设追求者和目标从我们获得的不同初始位置开始,
fp（0）gt; fr（0）= 0。 (10) 因为rt和fr是连续函数，所以不等式（9）和（10）意味着存在t属于[0,t1]作为最短时间拦截点。 时间t可以很容易地通过找到最小的可用碰撞三角形，由广告牌的相对几何结构和速度比定义。
推论7:对于一个模拟为杜宾斯车辆的追捕者来说，它可以拦截一个恒速非机动目标，并且假设可以截取，tmin gt;=tsct。
证明:tmin的下界可以通过消除对u的约束来获得，
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