基于平均驻留时间的线性切换正系统的稳定性
摘要
在这篇论文中，研究分析了一类具有平均驻留时间的线性切换正系统（SPLSs）的稳定性。首先介绍了多重线性共同Lyapunov函数（MLCLF），在连续时间和离散时间背景下，给出了底层系统的一组线性矩阵不等式的充分稳定性判据。在已经研究过的文献中，在随机切换的线性切换正系统的稳定性结果，可以很容易的通过将MLCLF降低为在任意切换这些系统的情况下用于系统的共同线性共同Lyapunov函数所获得。最后，给出了一个数值例子来说明所提出的技术的有效性和优越性。
- 介绍
在现实生活中许多动力系统都涉及变量，这些变量总是局限于正向或者反向。这种系统在文献中通常被称为正系统。特别是线性正系统由于其在许多领域，例如经济、生物、通信等，有诸多应用而吸引了很多关注。（Benvenutiamp;Farina，2004；Kaczorek，2002；Rami，2011）。在线性正系统中，其稳定性分析是一个重要的方面（De Leemheeramp;Aeyels，2001；Kaczorek，2002；Knorn，Mason，amp;Shorten，2009）以及被称作线性共模Lyapunov函数被证明是一种很有效的方法。而且，基于线性双模Lyapunov的方法，Li，Lam，Wang、Date（2011）和Rami（2011）成功地解决了具有时滞的正线性系统的分析及其他问题。
最近，一类由线性正系统组成的切换正系统和一种控制他们之间进行切换的控制信号，在控制领域引起了很多的关注。这种系统的在许多领域都有典型的应用，如拥塞控制应用，编队飞行，采用TCP的网络等（Jadbabaie，Lin，amp;Morse，2003；Masonamp;Shorten，2007），目前为止，许多关于SPLS的重要结果可以从文献中获得，特别是在稳定性分析方面。在Mason和Shorten（2003）的假设中，通过测试相关的凸矩阵集的Hurwitz稳定性可以证明可以确定共同线性共模Lyapunov函数（CLCLF）的存在性和SPLS的渐近稳定性。此外，Mason和Shorten（2003）的工作被Gurvits，Shorten和Mason（2007）将其扩展，其中猜想对于某些特定类别的SPLS是正确的。特别是，在连续时间和离散时间环境下，解决了CLCLF存在的问题以及确保任意切换下SPLS稳定性的条件，例如Fainshil, Margaliot,and Chigansky (2009), Liu and Dang (2011), Margaliot andBranicky (2009), Xue and Li (2010)中所提及的。
然而，上述所有结果都与任意切换法下SPLS的稳定性有关。正如所知道的那样，从某种意义上来说，在一般的切换系统中切换行为可以被分类至不可控（随机）或者可控(Shi, Xia, Liu, amp; Rees, 2006; Wang, Wang, amp; Shi, 2009a; Zhaoamp; Hill, 2008), 其分别由系统本身和设计者的干预产生。(Sun, Wang, Liu, amp; Zhao, 2008;Sun, Zhao, amp; Hill, 2006).在训练中，许多切换系统没能成功的在随机切换的情况下保持稳定，但在受限制的开关信号下可能稳定(Lin amp; Antsaklis, 2009; Xu amp;Chen, 2005; Zhao amp; Zeng, 2010)。在Liberzon（2003）提出的观点中，平均停留时间（ADT）切换是一类受限制的切换信号，这意味着有限区间内开关的数量是有界的，并且连续切换之间的平均时间不小于常数(Liberzon, 2003;Lin amp; Antsaklis, 2009; Zhang amp; Jiang, 2010)。总所周知，ADT方案表示了一种比停留时间方案更大的一种稳定的切换信号，它的极端表现实际上就是随机切换。因此，研究具有ADT的切换系统的稳定性具有重要的理论意义和实际意义，并且需要充分重视利用ADT切换律来研究线性情况和非线性情况下的问题，例如Wang,Wang, and Shi (2009b), Zhang and Gao (2010), Zhang and Shi(2009).多提到的。然而，值得一提的是，迄今为止，很少有人致力于ADT切换的SPLS稳定性分析。
这反过来又引起了一些问题的进一步研究，其中两个将在本文末尾讨论：就ADT而言，CLCLF可以扩展到多重线性共同Lyapunov函数（MLCLF）吗？ 如果是，那么如何制定这样的MLCLF和相应的ADT切换以保证给定SPLS的稳定性？
在本文中，将研究在连续时间和离散时间环境下ADT切换的SPLS的稳定性问题。本文的主要贡献在于，给定SPLS的MLCLF是作为第一次尝试而建立的，通过这种方法，根据一组线性矩阵不等式推导出ADT切换下SPLS的充分条件， 最小的ADT也被得到。其余的布局如下。 第2节回顾了关于正系统和一般切换系统稳定性分析的必要定义和引理。 在第3节中，通过构建MLCLF给出了具有ADT的SPLS的充分稳定条件。 第4节给出了一个数值例子，以证明所提出的技术的可行性。 最后，第5节给出结论。
符号。在本文中，所使用的符号都是相当标准的。A ≻ 0 (A ≽ 0) 意味着矩阵A的所有元素都是正的（非负的）。R、和分别表示实数域，n维欧几里得空间以及ntimes;n个具有实项的矩阵的空间，表示非负的情况；N和Z分别是自然数和整数的集合；符号指的是欧几里德向量规范; eig（A）是A的特征值；另外，符号Pgt; 0意味着P是一个实对称正定矩阵。
- 问题的陈述和解决方法
为了此后介绍SPLS，首先回忆一下一些关于线性正系统的初步解决方案。给定以下系统
（1）
其中是状态向量；符号在求导中表示连续函数（）和在离散时间情况下的前移运算符（）。
定义1如果初始条件x（0）ne;0意味着对于所有tge;0的相应轨迹x（t）ne;0，那么系统（1）被认为是正的。
引理1 有且仅有当矩阵A的非对角线元素为非负时系统（1）被认为是正的，这种矩阵在这种情况下被称为Metzler矩阵
引理2 有且仅当Ane;0时，系统（1）被认为是正的。
引理3 令A为Metzler矩阵，那么由此得出：
（1）A 是Hurwitz矩阵
（2）当时，存在部分向量满足
在本文中，考虑了由子系统族（1）组成的以下切换线性正系统（SPLS）：
（2）
其中是状态向量。是时间的分段常数函数，称为切换信号，其值在有限集合S = {1，hellip;.，M}，M是子系统的数量。 此外，对于切换序列，从任何地方都是连续的，并且可以是自主的或受控的。 当时，我们说子系统是活动的。，，是Metzler矩阵（或离散情况下的A≽0），代表（2）的第p个子系统或第p个模式，然后：
（3）
通过简化，将系统（2）写成：
（4）
其中。
备注1. 很明显，SPLS（4）的轨迹总是保持在定义1和引理1和2的任何开关信号的正或负上，并且正定将为SPLS带来一些有趣和特殊的性质(Feng, Lam, Li, amp; Shu, 2011; Li et al.,2011) 例如，众所周知，时间延迟可能会导致切换系统不稳定，但对于SPLS，系统稳定性与延迟无关(Liu amp; Dang, 2011). 另一方面，应该指出的是，对于一般切换系统来说，因为正系统的原因，许多已经确立的结果和方法不能直接应用于SPLS。例如，与LMI技术相关的Lyapunov方法被认为是解决稳定问题的有效方法，如状态反馈控制和时间控制稳定。然而，在处理SPLS的状态反馈控制时，Lyapunov函数的参数和控制器增益以特殊形式耦合（Fornasini＆Valcher，2010），这不能通过用于一般切换系统的已成型的技术来分解。因此，许多新的控制问题自然会出现在SPLS中(Ding, Shu, amp; Liu, 2011; Rami,2011)，本文旨在为一般切换系统成功解决SPLS加入一些补充结果。(Cui, Long, amp; Li, 2010).
我们给出了系统（4）的以下指数稳定性定义以用于后续发展，并且我们用离散时间情况下的k表示时间。
定义2 (Liberzon, 2003).如果存在常数（分别为）使系统的解决方案在任何初始条件下的（或）满足，（分别为，）系统（4）的平衡点x = 0在一定的开关信号sigma;（t）下是全局一致指数稳定的（GUES）。
在本文中，目标是找到一组具有ADT性质的允许开关信号，以使SPLS（4）为GUES。 为此，首先回顾一下ADT属性的定义。
定义3 (Zhang amp; Gao, 2010).对于每一个切换信号和每一个，令表示区间中的不连续性数。如果存在两个正数 (在这里认为为限制)，我们说具有平均停留时间，且满足，。
备注2. 在定义3中，值得注意的是，当：
这意味着平均来说，任何两者之间的“停留时间” 连续切换不小于公共常数。因此，具有这种切换的系统的基本问题是识别或确定最小和开关信号组，以使系统稳定。
- 主要结果
现在，可以为ADT切换系统（4）提供以下定理的稳定条件。
定理1 （连续时间版本）考虑到SPLS（4）并令为常数，如果存在一系列的M向量满足，，，得出，， ，
（5）
（6）
其中 ，，，且表示矩阵的第n列向量，那么对于任何具有ADT的开关信号，系统都是GUES
（7）
证明 对于任意的,在区间[0,T]中的切换时间利用表示，接下来为SPLS(4)建立MLCLF:
（8）
其中，
从（7）可得出， ，
然后，从（2）中可得出，，
（9）
通过（3），可以获得
（10）
因此，通过（9），得出
因此
（11）
在另一方面，可从（5）中获得
结合以上以及（10）得出
这意味着
即，通过对任何进行整合，就可以得出结论：
（12）
然后从（7），（11）和（12）得出结论
hellip;
定义、，然后迅速可以得出：
（13）
因此，通过令、，通过（13）可以得到。最后，我们可以得出结论，如果（5）和（6）成立，系统（4）对于任何具有ADT（7）的开关信号的定义2都是GUES。
备注3 由定理1提出的基本问题是确定给定SPLS的最小，使得系统在相应的一组ADT开关信号下是稳定的，并且从（7）中注意到，的下界由两个参数 lambda;和mu;满足（5）和（6）。同时，通过证明可以得到条件（5），然后通过引理3，（5）等价于，为Hurwitz，即。也就是说，由最大特征值远离虚轴的一组子系统，构成的SPLS允许为可行lambda;获得大的值。 然而，这并不总是影响的下界，因为它的界限是由满足（6）的mu;的可行解同时确定的，下面将通过一个例子来说明。
下面给出定理1的离散对应部分。
定理2（离散时间部分）考虑到SPLS（4），令，为常数。如果存在一系列的M向量即，由此可得，
（14）
（15）
其中，，，并且
，并且表示矩阵的第k列向量，那么系统对于具有ADT的任何开关信号都是GUES
（16）
证明 对于任意，令=0在区间[0,K]中的切换时间利用表示，接下来选择MLCLF:
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