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基于价值函数的黑塞矩阵快速实现光学多层膜设计的精确计算和Matlab仿真
吴素勇，龙兴武，杨开勇
光电子工程系，光电子科学与工程学院，国防科技大学，长沙410073，中国
摘要：为了改善国内对于层数很多的多层光学多层膜设计的低速率和低效率的现状，在这里说明精确计算和价值函数的梯度以及黑塞矩阵的应用。基于矩阵的方法来计算光学多层膜的光谱特性，在其理论上建立分析模型，并通过Matlab软件编程来实现快速、精确的计算。理论分析和仿真结果表明，该模型在数学上是严谨且精确的，另外它的最大精度可以达到计算机浮点运算的程度，并且计算机使其计算时间短、速度快。因此，基于价值函数的的导数的这种方法是非常适合提高局部优化方法的最佳搜索速率和效率的。它在大层数的光学多层膜的设计中有非常突出的表现。
光学多层膜设计中的最优性和速度以一直以来都是光学薄膜领域的研究热点之一，如今已经有几十种光学薄膜优化方法都被提出并被证明具有实际意义。而这所以的方法可以分为两种类型，一种是所谓的细化或局部的方法，它的目的是尽可能的快速[1]，但它需要一个初始设计；另一种称为合成方法或非局部方法，它可以自行创建一个初始设计，而它的主要目标是提高最佳搜索能力[2-7]。在大多数基于价值函数优化的局部方法中，价值函数梯度和黑塞矩阵的精确计算和快速实现在确定薄膜设计[8]的速度方面有着关键的作用。然而，对于多层膜价值函数的黑塞矩阵计算的复杂性，很多种薄膜设计软件只利用梯度信息来实现一阶优化。关于二阶优化方法则鲜有报导，而二阶方法与一阶方法有很明显的速度差距，尤其是在大层数的光学多层膜出现时。所以，这就是国内设计软件低速率和低效率的原因。
为了提高计算的效率，基于特征矩阵的方法计算光学多层膜的光谱特性方法的基础上建立了一种理论上的解析模型，它能对价值函数的梯度和黑塞矩阵的设计参数能够进行绝对精确的计算。而与之相对应的快速计算可以通过Matlab编程成功实现，并且这种计算的精度可以达到计算机浮点运算的最大精度。该模型非常适合提高局部优化方法的搜索速度和效率，当大层数的光学多层膜的设计中，它有很突出的表现。
现代薄膜的设计概念，一般来说都是有其特点的，以光学薄膜的结构和参数作为其独立变量，构造一个价值函数，估算需求与设计薄膜之间光谱特性的接近程度。然后，价值函数的极小值或拟定向极小值是通过各种数值函数优化方法或控制最优方法探索得来的。而所设计的光学薄膜的薄膜结构和参数就是使用价值函数的极小值或拟定向极小值得到最终的设计方案的。
举个例子来说，一个在薄膜设计中广泛使用的公差类型的价值函数的形式如下：
式（1）中的X式设计参数（膜层参数矢量），是指是指被给波长范围内L个点数中的一个点，是在波长为处的目标透射率，是指在波长处的真实透射率，是指在波长处时透射率实际与设计的差值（由此体现处设计的质量水平）。价值函数反映处设计的光学多层膜和其需求的多层膜在整个设计光谱带的透射率的差值的平均水平，因此，它可以被用来评估薄膜膜系设计的质量和算法的能力。价值函数的值越小，代表设计的光学多层膜的光谱特性与要求的光谱特性越接近，薄膜设计的质量就越好。
实际上，可以用来沉积光学薄膜的材料数量是有限的，所以一层的折射率也是有限制的，只能取限制内的离散值。通过将多层体系的介电常数垂直分布作为控制变量，对哈密顿函数进行严格的数学分析，在层数不限的情况下可以得出这样的结论，一般情况下要想得到最好光学薄膜就需要对它进行两组分。并且研究结果表明，这一结论在斜入射的情况下也同样适用[9]。同时，双组分光学膜的控制更容易一些。鉴于上述考虑，多层膜系的参数要基于多层膜系的几何厚度矢量来进行设计，即，X=（d1,d2,hellip;,dm）,m表示层数。
当选择波长时，有两个互相矛盾的要求存在。一方面，要接近目标的光谱特性，密集的波长是必要的。而在另一个方面，波长设置得太密集是不可取的，计算的时间与波长的数目是成正比的，过多的波长会延长计算的时间。从我们以往的经验来看，不均匀的波长集可以节省计算时间。随着波长对应的波动减弱，波长的网格宽度可以在光谱带中的长波长处的部分更大。
设计的公差反映出处透射率的精度，它可以用来调节不同波段在价值函数中的权重因子。它还能抵消由于波长密集度稀疏引起的光谱特性密闭的退化效应，在一些过渡区中目标透射率急剧变化时，它值得选择更大的设计公差来减小价值函数最小化所带来的负面影响。
作为一个整体，光学多层膜的设计是一个以价值函数作为指标函数，几何厚度向量作为优化变量的多变量、多最小化控制的最小化过程，如公式（2）所示，D是膜层的几何厚度范围。当价值函数达到最小或准最小值时（通常小于1），所设计的薄膜的光谱特性接近需求目标，这就代表我们获得了最佳或准最佳的光学薄膜。
为了运用多种强大的优化方法来解决价值函数的最小化问题，我们不仅要准确、快速低计算出价值函数的本身，而且还要建立一个计算函数的梯度和黑塞矩阵的解析模型，从而加快计算最小化的进程。
根据数学分析的定义，光学多层膜价值函数的梯度是,而其的黑塞矩阵形式为.根据其定义，偏导数通常近似数值计算的前向积分差值。
,这种数值的偏导数随着的步进值变化。一般来说，步长值越小，得到的精度就越高。然而，总会有一些不同近似差异，特别是在一切区域内急剧变化的价值函数。同时，在计算一个偏导数时，需要对价值函数进行m次计算，这使得计算时间增长了。因此，它不适合利用直接差分去计算价值函数的梯度和黑塞矩阵。
基于矩阵方法计算光学多层膜的光谱特性可以建立起一个严格的解析模型，以第j层的厚度dj对公式（1）进行微分，我们可以得到
再以第k层的厚度dk对公式（3）进行微分，我们可以得到
根据公式（3）和公式（4），价值函数的梯度和黑塞矩阵可以由多层膜系的能量透过率对于层厚度的一阶和二阶偏导数表示。
根据F.Abels在1950年[10]第一次提出的矩阵方法，振奋通过率用一下的形式来表示：
而这整个光学多层膜的特征矩阵为：
而第j层的薄膜的特征矩阵的形式Mj表示为：
在这里出现的和qj是指第j层膜层的相位厚度和有效折射率，且的表示形式是,这里的是指中心波长，而则分别表示复折射率，第j层的厚度和传播角度，j=1,2,hellip;,m。na和是指外空间的折射率和入射角度。ns和是指基板的折射率和传播角度，这是由Snell定律确定的：,至于有效折射率qs,qa,qj,如下表所示：
表格 1 有效折射率
|
qa |
qs |
qj |
|
|
S偏振光 |
|||
|
P偏振光 |
再使公式（5）对第j层薄膜的厚度dj进行积分，可以得到：
再对公式（6）进行微分，我们可以得到：
然后我们设矩阵为Dj，对公式（7）进行微分，我们可以得到：
我们再引进一个矩阵：
通过公式（9）、公式（10）、公式（11），公式（8）可以写成以下形式：
Tr()符号是指矩阵的迹，即它的对角线元素的总和。再以第k层的厚度dk对公式（12）进行微分，当k=j时，
当时，
因此，多层膜系的能量透过率对与层厚度的一阶和二阶偏导数可以写成以下的形式：
通过公式（5）至公式（16）的推导，公式（3）和公式（4）可以在1至m中选择j和k的值来计算以获得价值函数的梯度和黑塞矩阵。
总的来说，公式（3）至公式（16）共同构成了一个严密且精确的解析模型来计算以膜层厚度为重心的光学多层膜的价值函数的梯度和黑塞矩阵。从物理学的角度上来说，该模型不需要任何别的假设就可以成立，可以适用于任何均匀的各向同性的多层膜光学薄膜系统中。从数学的角度上来说，该模型采用无差逼近的方法所以它是绝对准确的。在数值运算中，该解析模型的最大精度可以达到计算机中的浮点运算。该模型的算法主要是用特征矩阵的进行一系列的连乘，这种计算可以通过使用双嵌套循环后计算每一层膜系的特征矩阵得到结果。对于每一次计算而言，只有一次性的进行一系列的连乘计算才能够同时得到第一阶偏导数和第二阶偏导数的结果。当我们谈到实际编程时，如何地实现和充分地记录所有这些乘积是关键点和难点。有一个让人喜欢又可以实行的方法能解决这个问题，那就是构造一个多维的矩阵变量来记录这些通过双嵌套循环产生的乘积。我么就以Matlab编程为例，我们引进一个四维的矩阵变量MM（:,:,k,j）来记录矩阵连乘Mkhellip;Mj的乘积，这里的k和j都取1至m循环间的所有值。当klt;j时，使得变成一个二阶单位矩阵；当k=j时，使得；而当kgt;j时，我们可以使。具体的算法内容就是采用双嵌套循环结合条件语句，而其中最耗时间的操作，就只是涉及两个二阶单位矩阵的相乘。而使用此双嵌套循环只需消耗很短的时间这一结论，我们已经通过实际试验验证过了。从消耗时间的角度来说，，所以是等价于t在该操作中所消耗的时间的，而则会消耗两次T操作的时间。如果所有的偏导数都是已经知道的，那么这以计算就会消耗三次操作T的时间。
在这里以一个在620nm至650nm的窄光谱段为中心波长的四层的高精度的减反射薄膜为例子，它的结构是使用Needle优化算法[11]和遗传算法[12]融合在一起得到的。它的结构是{S|142.578H124.547L117.444H74.727L|A}，这里的S指的是基板折射率1.457，A指的是外空间介质的折射率1，H指的是高折射率的介质，这里它的折射率为2.125，L指的低折射率介质，这里低折射率介质的折射率为1.46，在薄膜结构中的数字指的是每一层薄膜的厚度，单位是纳米（nm）。
图一显示的是在正常入射角度下四层减反射薄膜在其设计谱带处的剩余反射率曲线，正如我们所看到的，在其整个设计带上反射率都是小于1.8times;10-5的。图二和图三则是分别表示能量透过率相对各个膜层厚度的一阶偏导数曲线和二阶偏导数曲线。我们可以从图二中看出，其一阶偏导数非常接近于0，与多元函数的最佳条件非常符合。第三张图中，只有十条不同曲线可以显示，这是由于黑塞矩阵的对称性导致的二阶偏导数的对称性所决定的。
为了简单方便，我们采用统一的波长取点方法即在整个设计带宽中，每间隔一纳米取一个波长点来进行计算，并且透过率的公差选择10-4。最终，减反射薄膜的价值函数取值为0.00414。然后我们在Matlab6.5上进行编程并建立模型，我们得到相对于膜层厚度的减反射薄膜的价值函数的梯度和黑塞矩阵的计算结果hessef（有五位有效数字）：
图 3四层减反膜对于膜层厚度的二阶导数曲线
图 2四层减反膜对于膜层厚度的一阶偏导数曲线
图 1 四层减反膜的剩余反射率曲线图
这里的梯度是非常小的甚至接近于零，这个点稳定在可以接受的数学误差范围内。这里Hesse的四个列的最重要的次要因素值分别是0.152，0.0023，2.89，和6.5。这些值全部都是正的，这意味着黑塞矩阵也是一个正定矩阵。这一结论满足了条件，在数学上确定该稳定点是否是多元函数的最小点。因此，它证明了价值函数能够确定其在最终薄膜设计结构的最小值，也证明了它有突出的能力，结果与以往的光学薄膜设计的经验的标准来检验也是很好的。
为了评价解析模型的计算速度，我们设计了一个数学计时器，当程序开始计算价值函数以及它的梯度和黑塞矩阵时开始记录，计算总共的时间消耗。另外，我们还要在同一台电脑上运行该程序一百次（中央处理器型号为赛扬 2.08GHz，内存为型号760M DDR333，Windows XP SP2操作系统）。图四显示的是每一次运行程序计算价值函数以及它的梯度和黑塞矩阵所消耗的时间，还有它的分布情况。因此而需要的计算黑塞矩阵的额外时间是0.01983秒，用于计算梯度的额外时间是0.01748秒，这些时间都是很短的，并且还稍微长于价值函数的计算时间。换句话说，上面所建立的解析模型在保证严格准确的条件下有利用减少计算的时间消耗，它的计算速度也是非常接近于价值函数的计算速度的。
图 4价值函数以及它的梯度和黑塞矩阵计算时间的分布
基于矩阵的方法计算光学多层膜的光谱特性，建立了一种理论上的解析模型。它能够对价值函数及其梯度函数和黑塞矩阵基于设计参数的情况下，能够进行绝对精确的计算。从物理的角度来说，这个模型不需要任何额外的假设就可以应用在任何均匀的、各项同性的多层膜系系统中。从数学的角度来说，该模型使用的是无差分近似的方法，这是绝对准确的。对于数值计算方面，模型计算的最大精度可以达到计算机中的浮点运算。理论和仿真结果表明，这种算法具有计算时间短和速度快的特点。因此，它是非常适合于基于价值函数偏导数的局部优化方法的最优方法提高速度和效率的。而其，这种方法在大层数的光学多层膜的设计方面，具有非常
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