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米氏散射的相干影响
David G.Fischer,1,* Tomas van Dijk,2 Taco D.Visser,2,3 Emil Woif 4
研究了确定性球形散射体对部分相干光束的散射。特别分析了高斯谢尔模型光束的米氏散射。其表达式导出（a）熄灭的功率，（b）散射场的辐射强度，和（c）远场中的环绕能量。结果发现远场中的辐射强度和环绕能量取决于入射光束的相干程度，而熄灭的功率不是。
1.介绍
当考虑球形粒子散射光时（通常称为米氏散射），常假定入射场在空间上是完全相干的[1-5]。然而，在实践过程中，这种假设并不总是合理的。部分相干场的例子包括多模激光产生的场和光束经过随机介质（例如湍流大气）所产生的场。这种更一般的情况最近才开始引起注意[6-13]。
在之前的研究[12]中，米氏散射理论已经被推广到包含空间部分相干的场中。在本文中，我们使用这种形式来研究部分相干光（特别是高斯谢尔模型光束的散射）被确定性球形粒子的散射。特别是，我们确定了入射光束的相干程度对散射功率总量（非吸收粒子的消光）和散射功率的角度分布的影响。我们分析总的散射功率，发现它与入射光束的相干程度无关。这个结果与Greffet等人的结果一致[9]。我们还研究散射光的角度强度分布（辐射强度）。我们发现辐射强度取决于入射光束的相干程度，当有效横向相干宽度与散射体的大小相当时，辐射强度最强烈。最后，我们计算了不同几何形状探测器的散射体远区散射辐射的围束能，作为入射光束相干度的函数。
2.部分相干入射场
我们首先考虑一个单色的，复杂的标量波场，其入射到体积是V的球形散射体上。我们将入射波表示为
(1)
它的时间无关部分可以用角谱来表示，也就是说，作为平面波模式的叠加，每个模式沿着由指向半空间zgt; 0的单位矢量u指定的方向传播，即
(2)
这里r表示空间点的位置矢量，t表示时间， 表示频率，是波数，c是光速。此外， 是u到xy平面上的二维投影，被认为是一个向量。
对于部分相干波场，我们必须考虑场的交叉谱密度函数，而不是场，即在一对点和处的交叉谱密度函数，即（见[14]第4.3.2小节）
(3)
尖括号表示入射场的所有频率的单色实现的整体上的平均值。将等式(2)代入方程(3)中，我们发现入射场的交叉谱密度由表达式给出
(4)
其中
(5)
是入射场角相关函数（参见[14]的5.6.3小节）。
一类重要的部分相干场，包括最低阶埃尔米特高斯激光模式，由所谓的高斯谢尔模型光束组成（参见[14]第5.6.4小节）。交叉谱密度函数的光束在平面，采取的是通过中心O的球形散射，可以表示为
(6)
其中光谱密度和光谱的相干程度都是高斯函数，即
(7)
(8)
在这些公式中， 是平面上一点的二维位置矢量，其正向参数，和不取决于位置而取决于频率。我们假设光束沿正z方向传播（见图表1）。从方程（4）可以明显地看出，光束的角相关函数与互谱密度的逆四维傅里叶变换成正比，即。
(9)
将方程（6）代入方程 （9）并进行变量转化
(10)
(11)
一个求角相关函数的表达式
(12)
其中
(13)
为了使场成为束状，参数和必须满足关系式{方程（5.6-73）[14]}
图表 1：说明符号
(14)
我们将在球形高斯谢尔模型光束的散射分析中使用方程（12）。
在散射现象的分析中，人们常通过入射场归一化散射功率。似乎很自然地可以问一个问题：部分相干光束携带的功率是否与其相干度无关。 如果是这种情况，那么相干程度对散射现象的影响可以被隔离，事实上，我们发现高斯谢尔模型光束的散射确实是如此的。 附录A中给出了一个证明。
3.散射场
A.散射场强度的角度依赖性
当单色平面波以单位矢量的方向入射到散射体上时，点处的远区的散射场具有的形式。
(15)
其中是散射振幅。当入射场不是平面波，而是由方程（2）所表示的平面波叠加给出的时候，除了方程（15），还有一个更一般的表达式。
(16)
一个描述远区散射场行为的中心量是它的辐射强度，由表达式给出（参见[14]的第5.2节）
(17)
将方程（16）代入方程（17），我们发现散射场的辐射强度由如下公式给出
(18)
在将方程（12）代入方程（18）作为高斯谢尔模型光束角相关函数时，其辐射强度表达式的形式如下
(19)
我们将入射光束的轴线穿过球形散射体的中心。 散射振幅则具有如下这种形式
(20)
即它仅取决于入射方向与散射方向之间的角度（见图1）。对于半径为a折射率为n的球面散射体，散射振幅可以用相移表达为{见方程 （4.66）[15]}
(21)
这里表示勒让德多项式，而相移由如下表达式给出（参见[15]的小节4.3.2和4.4.1）
(22)
其中表示阶数l的球形贝塞尔函数，并且表示相同阶数的球形诺伊曼函数。此外，
(23)
(24)
(25)
如果我们将方程（21）的散射势能代入方程 （19），我们获得辐射强度的表达式
(26)
其中，为了简便起见，我们写了
(27)
我们将其限制在波束宽度比其横向相干长度大得多的情况下，即。 在这种情况下，用拉普拉斯方法[16]可以得到渐近近似为的双重积分。 该方法认为，对于两个性能良好的函数和来说，它们定义在二维域D上，
(28)
其中在点处有最小值。此外，被估计为在点的Hessian矩阵，即
我们利用方程（28）的选择
(29)
(30)
(31)
函数的最小值出现在 和 时，并且Hessian矩阵的行列式在这一点进行估计，可以证明有价值统一性。然后方程（26）的辐射强度降低到
(32)
或者更明确地写
(33)
我们已经使用作为的实际情况。根据对称性，辐射强度仅取决于光束轴（z轴）与散射方向之间的角度。
由方程（33）计算的不同半径球体散射产生的辐射角分布的几个例子如图2-4所示。两种趋势可以清楚地区分。随着散射体尺寸的增加，场在正向方向上变得更强烈，并且散射图中存在更多的振荡。而且，随着横向相干长度的减小，辐射强度变得更加各向同性。 特别是，当相干长度与散射体的大小相当时，就会发生这种情况。这与Gori等人报道的实验观察结果一致[17]。
在图5中，用散射角的函数绘制的辐射强度以对数尺度显示，更清楚地显示出其精细结构。可以看出，随着的减小，特征深极小值逐渐消失，辐射图变得平滑。
B.总散射功率
总散射功率 为辐射强度在所有方向上的积分（见[14]第5.7节）即，
散射角[度]
图2.（在线颜色）对于横向相干长度的各种值，归一化通过散射部分相干球形光束所产生的辐射强度的角分布。在这个例子中，球半径，折射率。
(34)
将方程（33）代入方程（34），我们发现
(35)
并且我们用上恒等式
(36)
如果我们现在用分量形式表示，即，我们得到公式
(37)
散射角[度]
图3.（在线颜色）对于横向相干长度的各种值，归一化通过散射部分相干球形光束所产生的辐射强度的角分布。在这个例子中，球半径，折射率。
散射角[度]
图4.（在线颜色）对于横向相干长度的各种值，归一化通过散射部分相干球形光束所产生的辐射强度的角分布。在这个例子中，球半径，折射率。
我们正在考虑在这种情况，即宽度远大于横向相干长度的光束，即当 时，我们从方程（13）得到。光束条件式（14）就变成了。可以看出方程（37）就简化为无吸收情况下的光学定理（参见[3]的小节13.3），即，
(38)
其中表示熄灭的力量和的虚部。因此我们得出结论，对于从一个球体散射出的高斯谢尔模型光束，其有效宽度远远大于他们的横向相干长度，散射功率的总量与他们的相干状态无关。
C.有限探测器截获功率
除了总的散射功率外，位于远端区域的有限大小的探测器的功率测量也具有实际意义。以z轴为中心并且在原点O对准半角的探测器截获的功率由表达式给出
散射角[度]
图5.（在线颜色）对于横向相干长度的各种值，归一化通过散射部分相干球形光束所产生的辐射强度的角分布，以对数尺度显示。在这个例子中，球半径，折射率。
(39)
图6-8提供了在原点处的检测器对角的函数检测到功率的几个例子。
我们看到，当入射光束完全不相干（）并且散射或多或少是各向同性时，截获的功率基本上随着检测器的对准线性增加，直到散射图案的程度。当入射场更加相干并且散射功率在所对角度上不均匀地散布（即场具有精细结构或振荡）时，截取的功率对检测器对准度具有非线性依赖性。随着探测器对准度的增加，截获的能量可能会急剧上升或根本不会上升。这种情况在较大的领域尤其明显。
此外，特别是对于较小的球体，特定探测器对应的截获功率随着横向相干长度的增加而增加。然而，对于较大的球体，有时候部分相干入射场的截获功率可能大于更相干场的截获功率。这在图7和图8中可以看出更相干情况下的曲线（）低于相干性较弱的情况。
检测器的角度对边与入射光束的相干状态之间的相互作用也可以通过检查固定探测器尺寸的散射功率来看到，作为相干长度的函数（见图9-11）。可以看出，当变得足够大时，测得的功率通常饱和。当所对角度较小时，该饱和发生在值较大的时候。此外，探测到的功率的异常行为会随着横向相干性的增加而下降，这在图10 的情况下可以看出。
探测器角度[度]
图6.（在线颜色）归一化截获功率作为检测器对于横向相干长度的各种值所对角的函数。在这个例子中，球半径，折射率。
探测器角度[度]
图7. （在线颜色）归一化截获功率作为检测器对于横向相干长度的各种值所对角的函数。在这个例子中，球半径，折射率。
探测器角度[度]
图8. （在线颜色）归一化截获功率作为检测器对于横向相干长度的各种值所对角的函数。在这个例子中，球半径，折射率。
光谱相干长度[]
图9.（在线颜色）归一化截获功率作为检测器对于横向相干长度的各种值所对角的函数。在这个例子中，球半径，折射率。
光谱相干长度[]
图10.（在线颜色）归一化截获功率作为检测器对于横向相干长度的各种值所对角的函数。在这个例子中，球半径，折射率。
光谱相干长度[]
图11.（在线颜色）归一化截获功率作为检测器对于横向相干长度的各种值所对角的函数。在这个例子中，球半径，折射率。
4.总结
我们已经检查了入射光束的空间相干性对确定的球形散射体散射的影响。当光束被假定为高斯谢尔模型类型时，总的散射功率与它们的相干状态无关。然而，散射场的角分布强烈地依赖于光束的相干状态
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