17 大气扩散理论
我们研究痕量成分的大气行为的主要目标是为了能够定量地描述释放到大气中的污染物在空间上和时间上的分布。以下两章致力于大气扩散和分布的课题。虽然从观测上看在湍流中的传播和扩散的过程与普通的分子扩散不同，但是气态和颗粒物在湍流中的行为当作随机扩散是普遍的，或者是称为大气扩散。一个更加精确的术语是大气弥散，而不是顺应我们使用的普通专业术语大气扩散。这一章主要讲了发展中的两种描述湍流扩散的基本方法。第一种是欧拉方法，在这种方法里大气成分的扩散被形容为与混合的坐标系统有关。欧拉描述是一种普通的方法用来处理温度和大量的转化现象。第二种是拉格朗日方法，在这种方法里浓度变化被形容与流体有关。正如我们所知道的，两种方法产生了不同的数学关系类型最终能相联系的成份浓度。每一种表达方式都是对湍流扩散的合理描述。在某种情形下对哪种方法的采用取决于具体情况。
17.1 欧拉方法
假定N成分在一个液体中，其浓度必须在一个单位体元中满足物质平衡。因此当加入大量的物质在体积元中对流，物质随着时间的累积必须通过一个化学反应产生的等价物保持平衡，这个物质从它的源头发射，然后通过分子扩散进入。从数学上表达，每种成分的浓度Ci必须满足连续方程。
(17.1)
Uj表示第j项流体的速度，Di成分i的分子扩散系数，Ri是产生成分i的化学反应速率（一般取决于液体的温度T），Si是成分i在x=（x1，x2，x3）和时间t处的增长速率。
除了要求Ci满足（17.1）式外，流体的速度uj和温度T必须满足纳维斯托克斯公式（16.18）和能量守恒（16.22），这两个公式会通过uj，cj和T与连续方程和理想气体状态方程相耦合。一般来说，实行质量耦合方程和动量能量守恒的同时解决来解释uj，T和ci的变化和它们每种的变化给其它所带来的影响，这种方法是必要的。为了解决这种发生在每百万分之一甚至更小混合比的大气微量气体，假设这些微量气体的出现不会影响气象学中的可检测内容是合理的；因此连续方程（17.1）能被耦合动量和能量单独解决。因此，流体的速度uj和温度T可以被看作与ci是独立的。从这一点我们无法明确地指出Ri在T上的独立性。
完整的描述大气扩散在于解决（17.1）。不幸的是，由于流体的流动是混乱的，导致流体的速度在空间上和实间上是杂乱无章的。正如16章中提到，将风速uj表示为一个确定的值和一个随机的值之和，这样是典型的方法。
为了阐述定义确定的速度u与随机的速度u的重要性，假设少量已知浓度的成分在时间t0时的分布为c（x，t0）。排除化学反应和其它干扰，假定分子扩散可忽略，浓度分布在之后的一段时间里可以用平流方程来描述。
(17.2)
如果我们另uj=j来计算这个方程然后用计算结果与观测值比较，我们会发现事实上物质比之前预测的扩散更强烈。这个多出来的扩散实际上是湍流扩散和我们容易忽略的随机值uj所造成的影响。所以现在让我们用精确的速度uj来解决这个方程。然后我们发现结果正好与观测值相符（假定分子扩散可忽略），说明如果我们知道精确到所有地点和时间的速度值，那将没有湍流扩散的现象。因此湍流扩散是一种我们缺少完整的真实速度的人为现象。所以在湍流扩散理论中最基本的课题就是定义一个确定速度和随机速度。
在（17.1）中将uj用j uj代替得到
(17.3)
因为uj是一个随机的变量，导致（17.3）的结果ci必须也是一个随机的变量；因为风速在空间和时间上是随机的，在空中传播的物质浓度在时间和空间上也是一个随机的变量。因此计算ci在时间和空间上的确定的值是不可能的，正如我们不可能在实验中计算出任何随机变量的值。最多得出在某一段时间和空间上成分i的浓度位于两个相近的范围内，不幸的是，阐述像大气弥散一个复杂过程的概率密度函数是几乎不可能的。相反，我们必须采取较不可取而更加灵活的方法：将确定的数值ci的计算换成平均值lt;cigt;
平均浓度可以由以下方式解释。假定在一个实验中，少量的物质在一个特定的时间被释放，随后的时间里在顺风方向测量其浓度。由于风的原因我们所测量的ci（x，t）会展示出随机的特性。如果能在同样的条件下重复这个实验，我们可以测量ci（x，t），但是它不会与我们第一次测量的值相同。理论上我们可以无数次重复这个实验，于是我们便有了整体性试验。如果在每一个地点x和时间t时刻我们将无数次实验里的浓度值求平均，我们将完成理论上的平均浓度（ci（x，t）。这样的实验无法在相同的条件下重复，所以事实上我们无法测量（ci）。因此在某一特定的地点和时间下测量成分i的浓度更适合被想象成一个一切可能浓度整体的样本。显然，一个单独测量的个体与平均值（ci）会有很大的不同。
将ci定义为lt;cigt; ci，其中lt;crsquo;igt;=0是很方便的。将（17.3）式在实现湍流的无限整体中求平均将会得到控制lt;cigt;的方程，称为，
(17.4)
我们将这种情况当做单独的惰性成分，即R=0。我们标记公式（17.4）包含变量lt;cgt;和（ujc），j=1，2，3。因此我们有了更多的变量。这是湍流的闭合问题。例如，如果我们从（17.3）式中减去（17.4）式得到一个求lt;ujcgt;的公式，乘上uj的公式结果然后求平均，我们将得到
(17.5)
虽然我们得到了想要的公式，但是同时又产生了新的变量lt;ujukcgt;，j，k=1，2，3。如果我们又得出这些变量的公式就会发现又会产生新的变量。如果有非线性化学反应发生那么湍流的闭合问题会变得更加复杂。如果单独的成分被一个二次反应所衰减，那么公式（17.4）中的lt;Rgt;项会变成-k（lt;cgt;2 lt;c2gt;），其中lt;c2gt;是一个新的变量。如果要得出lt;c2gt;的公式，会产生一个新的变量lt;ujc2gt;，lt;c3gt;和lt;gt;。因为在闭合问题中，欧拉方法描述湍流扩散不会得出精确解即使是平均浓度lt;cgt;.
17.2 拉格朗日方法
湍流扩散的拉格朗日方法是关于典型流体粒子的行为的研究。因此我们定义在地点x时间t的湍流中有一个单独的粒子。粒子随后的运动可以被它的轨迹所描述，即它在之后任意时刻t的位置X（x，t；t）。令粒子在时间t时将在体积元素x1到x1 dx1，x2到x2 dx2，和x3到x3 dx3的概率，即等等。因此是粒子在时间t时刻的位置的概率密度函数（pdf），通过对概率密度函数的定义
调查发现粒子在t时刻在x处的概率密度可以表示为两个其他的概率密度的产物：
1.如果粒子在xt时，它会经历替换成在x，t时刻的概率密度。 标记这个概率密度Q（x，t|x，t），称它为粒子的转换概率密度。
2.粒子在xt时刻的概率密度，完善了x所有可能的起点。因此
(17.6)
密度函数被定义为代表一个单独的粒子。然而如果任意数量m个粒子是最初就在的，而且第i个粒子的密度函数为，它可以表示全体粒子在x处的平均浓度：
(17.7)
就最初的粒子分布和粒子源头S(x,t)时空分布而言，通过在（17.7）中表达密度函数，在单位体积单位时间的单位粒子来代替结果表达到公式（17.6），我们得到以下普遍的公式来求平均浓度。
(17.8)
右边的第一项代表那些粒子出现在t0时刻，右边第二项解释了在t0到t时刻增加的粒子，
等式（17.8）是湍流中的一个成分的平均浓度的基本的拉格朗日关系。lt;c(x,t)gt;，已知的lt;c(x0,t0)gt;和S(xrsquo;,t)的分布在于转移概率Q(x,t|xrsquo;,trsquo;)的值。如果Q是取决于x,xrsquo;,t和t，那么平均浓度lt;c(x,t)gt;可以由公式（17.8）计算出来。然而，使用（17.8）有两个本质上的问题。第一，它只用于当粒子没有进行化学反应的时候。第二，rsquo;在完整的计算湍流部分的公式里，除了在最简单的环境下，Q一般是不可知的。
17.3 欧拉方法和拉格朗日方法的比较
从统计学角度描述被标记的粒子浓度的方法，例如在湍流中跟踪气体能被分成两个体系：欧拉和拉格朗日。欧拉方法从统计学角度计算出的欧拉流体速度来计算统计学浓度，即测量的是流体中的某一固定点的速度。这一公式是非常有用的，不仅因为欧拉统计是早就可测量的（根据一固定点风速计记录的风速而确定），而且数学表达式可以用于发生化学反应的情形。不幸的是，欧拉方法导致了一系列化学障碍例如闭合问题，目前还没有找到有效的解决方法。
通过比较，拉格朗日方法从统计学的方面计算流体空间上的粒子群的浓度。这种方法比欧拉方法更容易处理因为它不会导致闭合问题，但是结果的适用性有限制，因为精确地计算出所必须的粒子很难。而且，等式不能直接适用于有非线性化学反应问题的情形。
证明了无论是欧拉方法还是拉格朗日方法，准确的求解平均浓度lt;ci(x,t)gt;即使是湍流中的惰性成分都是不可能的，我们现在考虑假设一个近似值可以用来描述实际的大气扩散。在17.4中我们得出两个基本的等式来求lt;cigt;，即（17.4）和（17.8），它们用来求大气扩散的等式。一个及其重要的部分是在每一个类型描述内部的假设和限制。
17.4 湍流中控制平均浓度的等式
17.4.1 欧拉方法
我们已经知道，欧拉方法描述湍流扩散会导致所谓的闭合问题，在（17.4）式已经被证明会产生新的单独的变量lt;ursquo;jcrsquo;igt;,j=1,2,3如果有非线性化学反应发生同样会产生lt;Rigt;项。让我们先只考虑化学惰性成分即Ri=0.如果我们希望不要产生额外的不同的等式，问题就是去解决变量lt; ursquo;jcrsquo;i gt;。
涉及湍流通量lt; ursquo;jcrsquo;i gt;来解决lt;cgt;的最常用方法是基于16.4节中的混合长模型。它假设（k是指求和）
(17.9)
其中Kjk为湍流扩散系数。等式（17.9）被称为混合长或者K理论。因为（17.9）是从本质上定义了Kjk是位置和时间的函数，通过（17.9）式用六个未知的Kjk,,j,k=1,2,3(Kjk,=Kkj)代替了三个未知量lt; ursquo;jcrsquo;i gt;，j=1,2,3。如果坐标轴与湍流扩散系数Kjk的坐标轴相符合，则只有三个对角上的K11，K22和K33是非零的，且（17.9）变成
(17.10)
通过使用（17.4），普遍产生了两个其它的假设：
- 分子扩散相对于湍流扩散可忽略，
- 大气是不可压缩的，
通过这些假设和（17.10），公式（17.4）变成了
(17.11)
这个等式被称为大气扩散的半经验公式，或者是大气扩散公式，而且在接下来将非常重要。
让我们回到化学反应发生时提到（17.4）的时候。因为Ri几乎一直是ci的非线性函数，我们已经知道lt;Rigt;会引起附加项lt; crsquo;jcrsquo;i gt;。最明显的近似我们可以将lt;Ri(c1,hellip;cN)gt;用Ri(lt;c1gt;,hellip;lt;cNgt;)代替，因此忽略由于反应的概率产生浓度波动的影响。通过这个近似和一些固有的，我们得到每一个成分i，
(17.12)
一个关键的问题是：我们能否认为（17.12）是大气扩散和化学反应的有效描述？
17.4.2 大气扩散公
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