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承受爆炸和热载荷的不完全剪切可变形功能梯度板的非线性动力响应和振动
摘要
本文基于Reddy的高阶剪切变形理论，对不完整的功能梯度材料（FGM）厚板在爆炸和热载荷作用下保持弹性基础的非线性动力响应和振动进行了分析。假定材料特性取决于温度，并根据体积分数的简单幂律分布沿厚度方向进行分级。通过Galerkin方法和四阶Runge–Kutta方法获得了两种边界条件下FGM板的动力响应和振动的数值结果。结果显示了非线性动力响应和振动对几何参数，材料特性，缺陷，温度增量，弹性基础和边界条件的影响。
1、说明
功能梯度材料（FGM）的概念最早是在1984年在日本的一个航天飞机项目期间引入的。FGM是微观上不均匀的材料，其材料性能从一个表面到另一个表面连续变化，从而消除了传统层压复合材料中普遍存在的应力集中。 FGM结构广泛用于各种工程应用中，例如，料斗，海洋工程结构，导弹和航天器的组件以及其他民用应用。
因此，诸如FGM板和壳的结构的静态和动态稳定性问题已经引起了越来越多的研究努力。 Asemi等。 [1]研究了基于3D弹性方法的FGM环形扇形板的剪切屈曲分析。内贾德等。文献[2]引入了一种半解析解，用于在非均匀压力下旋转厚壁FGM截顶圆锥壳的弹性分析，而Dozio [3]则基于一类二维的剪切和法向变形的线性弹性，法向力是不变的，是二维刚性剪切和正态变形理论，得出了第一个已知的，精确的中厚FGM矩形板自由振动的精确解。基础。 Alipour和Shariyat [5]研究了均质法向和/或切变牵引作用下的FGM环形夹层板的应力和变形分析。 Duc等[6]考虑了在电动，热，机械和阻尼载荷的共同作用下，在弹性基础上具有压电致动器的不完全FGM厚双曲浅壳的非线性动力学分析和振动。Shen [7]分析了在热载荷下简单支撑的，可剪切变形的功能梯度板的热屈曲后分析。戴和饶[8]提出了FGM空心圆柱在径向对称动载荷下的振动和瞬态响应分析。Loc等[9]提出了一种新颖有效的配方，该方法结合了扩展的等几何方法和高阶剪切变形理论，以研究裂纹的FGM板的自由振动。 Huang和Han [10]使用一个项求解形式研究了未加筋的FGM圆柱壳在时变轴向载荷下的非线性动力屈曲问题。2014年，Duc [11]出版了可评价的书，《功能梯度板和壳的非线性静态和动态稳定性》，其中非线性结果 给出了剪切变形FGM结构的动态分析。
近年来，全球范围内的建筑物和关键基础设施变得更加容易遭受极端动态爆炸和由于增加的恐怖主义活动，意外爆炸，武器扩散等造成的负荷。结果，爆炸载荷及其对结构安全性和性能的影响引起了人们的极大兴趣。 Shi和Stewart [12]进行了空间可靠性分析，以预测爆炸载荷作用下钢筋混凝土柱的破坏。 Gauch等[13]通过计算模拟给出了预装薄复合板在水下爆炸载荷作用下的效果。此外，Ignatievaetal[14]研究了通过爆炸压制制备的铜和镍-氟聚合物复合材料的结构特殊性。琼斯[15]对由于大冲击，动压和爆炸载荷引起的应变率敏感延性板的动态非弹性响应进行了测试。 [16]进行了实验和数值研究，确定了由螺栓框架支撑的方形铝合金AA5083-H116板的变形时程行为。该框架受到低速冲击。[17]研究了爆炸载荷作用下三明治板的波传播和扩散。此外，阿克兰德等。 [18]进行了实验和数值研究，以研究聚脲涂层对低碳钢板抗爆炸性的影响。 Gonccedil;alves等[19]使用简单的1D模式研究了弹丸对陶瓷/金属装甲的影响。Luong 等[20]等提出了在动态荷载作用下对珊瑚地基地下结构的分析。 Geretto等[21]讨论了在三个不同的约束程度下承受爆炸载荷的方形低碳钢板的实验分析。卡拉焦佐维塔尔研究[22]讨论了承受轴向爆炸载荷的圆形和方形铝合金管的能量吸收，该能量通过较小的附着质量传递到管上。
对于作者的最佳知识，很少有人研究爆炸载荷作用下的FGM结构问题。Aksoylar等[23]通过实验和混合有限元方法研究了爆炸荷载下FGM和纤维金属叠层板的非线性瞬态分析。豪斯[24]建立了FGM板理论的基础，该边缘是在经典板理论内的Friedlander爆炸性空气爆炸作用下的简单支撑边缘。此外，Beylietal [25]研究了在受到穿甲弹射弹冲击的情况下使用碳化硅增强的FGM装甲材料的潜力。Bodaghi等[27]提出了在爆炸环境下热环境中矩形截面的FGM梁动态响应的非线性主动控制。迄今为止，尚未发表研究爆炸载荷下FGM板动力响应的分析方法的研究。
本文的新贡献是首次研究，使用较高阶的剪切变形理论，成功地建立了爆炸和热载荷作用下的FGM厚板的非线性动力响应和振动的建模和分析公式。假定材料特性与温度有关。 考虑边界条件的两种情况。 Galerkin方法和四阶Runge–Kutta方法用于求解基本方程。
2、问题陈述
如图1所示，在弹性基础上考虑FGM板建立坐标系（x，y，z），其中（x，y）平面位于板的中间表面，且厚度方向为（-h /2le;zle;h/ 2）。平的长为a、宽为b和总的厚度为h。
图1弹性地基上FGM板的几何和坐标系
通过应用幂律分布，假定陶瓷和金属的体积分数为：
其中N是体积分数指数（0le;N lt;infin;）; 下标m和c分别代表金属陶瓷成分。FGM板的有效特性 ，诸如弹性模量E，质量密度rho;和热膨胀系数alpha;由混合物的线性规则确定为：
其中，Pr表示随温度变化的材料特性。 FGM板的有效特性可通过将式（1）代入式（2）得：
其中，
并且泊松比假设为常数，nu;（z）= v = const。材料特性Pr可表示为温度[6、7、11]的非线性函数：
其中T = T0 T，T是包含面板的环境中的温度增量，T0= 300K（室温），以及P0，P-1，P1，P2和P3是表征组成材料的系数。
Pasternak模型的板基础相互作用是由：
其中nabla;2=part;2/part;x2 part;2/part;y2，w是板的挠度，k1是Winkler基础模量，k2是剪切层Pasternak模型的基础刚度。
3、控制方程
在本研究中，使用高阶剪切变形板理论推导控制方程并确定
FGM厚板的非线性响应。
在一定距离上跨越板厚度的应变分量来自中间平面的z表示为:
其中
其中c1 = 4 / 3h2; 是位移分量分别沿x，y方向, 而则是相对于x和y的中表面法线位置轴。
胡克的应力-应变关系适用于FGM板如:
力和力矩合力表示为:
将式（7）代入式（9），并将所得的结果代入式（10）得：
其中
理想FGM板的非线性平衡方程基于[11]高阶剪切变形板的理论：
其中ε是阻尼系数，并且
爆炸载荷p（t）是短期载荷，由爆炸或由冲击波产生的冲击波扰动以超音速或超音速弹丸飞行的飞机，火箭或在其附近运行的导弹。可以表示为[26]：
其中“1.8”因子说明了半球形爆炸的影响，Psmax是最大（或峰值）静态超压，b是控制波幅衰减率的参数，Ts是表征爆炸持续时间的脉冲参数。
从本构关系（11）可以得出相反的结论：
其中应力函数f（x，y，t）定义为：
将式（17）带入式（13a）和式（13b）得：
将式（18a）和式（18b）代入式[(13c)-(13e)]得：
在其中
将式（16）代入式（11）所得方程再代入式（19）得：
且
对于非理想的FGM板，式（21）可能会转变成以下形式：
其中非理想函数w lowast;（x，y）表示初始平板表面与理想配置之间的偏差很小，并且
非理想梯度材料平板的几何相容方程可以从[11]中得到：
将式（16）插入式（25），非理想FGM板的相容方程为：
利用非线性方程 （23）和（26）研究采用高阶剪切变形理论的非理想FGM厚板的非线性振动和动力稳定性。
4、求解过程
4.1边界条件
假设将考虑两种边界情况，如下图所示：
情况1：仅支撑板的四个边缘。假设边缘不固定的不完全FGM板在爆炸载荷p下。因此，边界条件为：
其中Nx0，Ny0是在不动边上的虚拟压缩边缘载荷。
情况 2：x=0和x=a的两边简单支持，而剩下的y=0和y=b被固定，非理想FGM板在爆炸载荷P作用下的边界条件为：
4.2四边简单支撑的FGM板
在上述式（27）中提及的边界条件可以建立以下形式：
其中和m, n=1,2,hellip; 是相应方向x，y上半波的自然数。是时间相关的振幅。
关于初始的非理想性，w *，我们引入一个假设，即它具有类似于板的挠曲的形式，即:
其中W0是已知的初始振幅。
将式（29）和式（30）代入兼容性方程（26），获得对未知的f求解的方程，得到：
并且
取代式（29）–（31）变成等式（23），然后应用Galerkin方法得出屈服方程：
其中系数I0,r1i(i=1,3),rjk(j=2,3,k=(1,2)，sm(m=1,5)都可以再附录A中查找。
该板承受爆炸载荷p（帕斯卡）并同时暴露于温度环境中。 在所有边缘上的不动性的平面内条件，即在x = 0时u = 0，在y = 0时b和v = 0，b在平均意义上满足[6，11]：
从等式 （8）和（16），可以获得包含非理想板的以下表达式：
将式（29）-（31）代入式（35）和式（36），得到的结果再代入式（34），就获得假设边缘的压缩载荷为：
其中热参数可从方程式（12）获得，为：
将式（37）和（38）代入运动方程（公式33），我们有：
附录A中给出的系数hi（i = 1，3），s2的具体表达式。
结合初始条件，使用四阶Runge–Kutta方法，通过求解方程（40）来研究简单支撑的FGM板的非线性动力响应。
取等式（40）的线性部分且令p = 0，则理想的简单支撑板的自然频率是三个频率omega;中的最小值，可以通过求解以下行列式来确定：
4.3具有两个简单支撑边和两个夹紧边的FGM板
- 和的近似解满足等式（28）中的边界条件假定为：
假定初始非理想w *的形式为：
代入式（42）和（43）到相容方程（26）中，我们将应力函数定义为：
其中
随后，将等式（42）–（44）代入式 （23），并对所得方程应用Galerkin方法得出：
其中 系数细节能在附录B中查询。
在y = 0，b，y = 0，b时v = 0的不动状态的平面内条件在平均意义上满足：
将等式（42）–（44）代入式（36），然后将获得的结果代入等式（47），得出：
代入式（48）成等式（46），等式（46）的运动方程组可以重写如下：
系数在附录B中有详细说明。
这是用于通过使用四阶Runge-Kutta方法研究具有两个边简单支撑和两个边加紧固定的非理想FGM板的动力学特性的方程组。
5.数值结果与讨论
等式（5）中提到的有效材料性能列于表1 [6、7、11]。 泊松比为v = 0.3。 最初的条件选择如下：
表1所考虑的FGM板的组成材料的材料特性。
图2.比较爆炸载荷作用下没有弹性基础的理想FGM板的非线性动力响应。
5.1比较研究
为了验证所提出的公式的准确性，图2显示了在爆炸基础上，没有弹性基础的FGM板（b / a = 1，b / h = 20）的非线性动力响应的比较，基于 分析方法和使用ABAQUS软件根据有限元方法得出的结果。 可以看出，在该比较中获得了良好的一致性。
5.2固有频率
表2列出了具有各种温度增量T的简单支撑的FGM板的固有频率，以及Winkler和Pasternak地基的系数k1（GPa / m），k2（GPa / m）。 从该表的结果可以看出当温度增量T减小且系数k1，k2增大时，板的固有频率增大。表2还显示了体积分数指数N对FGM板固有频率的影响。显然，体积分数指数的增加导致FGM板固有频率的降低。
表2 温度增量，温度T和弹性基础的影响m = n = 1，b / a = 1，b / h = 20的简单支撑FGM板的固有频率（s-1）
图3.温度增量T对非线性动力响应的影响简单支撑的FGM板。
5.3温度升高的影响
图3和图4显示了温度增量T对简单支撑的FGM板和FGM板的非线性动力学响应的影响，其中FGM板在以下条件下简单支撑两个边并夹紧两个边
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