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麦克纳姆轮小车的运动控制和滑移
Shih-Liang (Sid) Wang
美国北卡罗来纳州格林斯伯勒市北卡罗来纳农工州立大学机械工程系
摘要
麦克纳姆轮车可以向任何方向移动，并且能够随时调整自身位置。它的车轮由许多辊子组成，其轮缘与轮子成45°角。全向轮车发明于20世纪70年代，但其商业应用有限。近年来，机器人领域的爱好者和学生对麦克纳姆轮产生了浓厚的兴趣，这部分得益于网络供应商提供了价格相对合理的麦克纳姆轮。本文将从解析麦克纳姆轮的受力开始，介绍麦克纳姆轮的运动控制。每个轮子上的分力合成的合力将决定车辆往哪一方向运动。车轮上的牵引力也可以解释车辆的滑移趋势，因为车轮牵引力的侧向分量会在车辆的前进方向上产生一个倾翻力矩。在最常见的动作中(前进、后退、原地旋转)，车轮的倾翻力矩会在底盘上达到平衡，对车辆的运动不会产生不利的影响。在横向平移运动时，倾翻力矩会使车辆底盘弯曲，车辆会发生滑移和振动。在知道了车轮打滑的原因后，底盘应使用刚体来尽量减少由底盘弯曲引起的打滑。本文的研究应该会对机器人竞赛爱好者和学生有所帮助。
关键词:麦克纳姆轮，全向轮车辆，运动控制，滑移
1.介绍
全向轮车辆可以向任何方向移动，也可以在同一位置向任何方向重新移动。Ilon [1] 首先在1975年设计了一个麦克纳姆轮，用于带有绕辊的全向小车，如图1所示。每个辊子都为圆桶形，其轮轴与轮毂轴呈一定的角。车辆的全向运动是通过调整四个车轮的转动方向和转速大小，使地面与辊子上产生的推力(牵引力)的合力可以往任意方向来实现的。
在2005年，Airtrax[2]开始了带麦克纳姆轮的全向车的商业应用。近年来，机器人竞赛的爱好者和学生对麦克纳姆轮产生了浓厚的兴趣，这部分得益于网络供应商提供的价格合理的麦克纳姆轮[3,4,5]。
本文首先介绍的是麦克纳姆轮毂和其辊子的几何结构。该车辆的运动控制将来源于对受力控制的解析。每个轮子上的牵引力的合力将决定将车辆推向哪一方向。利用虚功原理，利用力的控制来实现运动控制。
麦克纳姆轮小车具有打滑的趋势，研究人员认为打滑的原因是辊子与路面之间的摩擦。然而，仅仅是摩擦力并不能解释为什么车辆在前进/后退和原地旋转时没有任何问题，而在横向平移运动上的滑移却是明显的。
在本文中，将利用车轮的牵引力的水平方向的分量来解释滑移和打滑的问题。牵引力的横向分量将产生一个弯曲的力矩使底盘变形。除了那些常见的运动之外，弯曲的底盘将导致小车在所有方向都会发生振动，滑移和打滑。在确定了滑移的原因后，就可以采取措施来消除它了。
2.麦克纳姆轮
在图1中，一个麦克纳姆轮的轮毂上有7个辊子，在三个不同的视图中，它们与轮毂均成45度角:a)正视图，(b)对角线视图，和(c)侧视图。如图1a所示，辊子外部与圆柱状的轮毂表面相切。
图1.麦克纳姆轮在不同的视图中的显示
每个辊子都是由围绕其轴旋转的椭圆圆弧定义的。椭圆圆弧是圆柱与平面呈45°的交点，如图2b, 2c, 2d所示。
图2.由圆柱与平面相交而成的椭圆弧
在图3a中，圆柱体被平面切割，如图2b所示。切割的结果是用来旋转以查看切割的平面，如图3c所示。顶部和底部的曲线是椭圆的一部分，如图3d所示，也增加了一条线段作为辊子的轴。在图3e中，椭圆轮廓围绕辊子转轴旋转，得到辊子。在图3g中，将图3f中的视图旋转，来更好地在3D模型中显示辊子。
图3.麦克纳姆轮的辊子的几何形状
在图4a中，半透明的包膜圆柱体叠加在麦克纳姆轮上。在图4b中，麦克纳姆轮以45°角的剖面图显示，以显示辊子的轮廓。截面视图的顶部是一个椭圆弧，它定义了辊子的轮廓，由图3c得到。
图4.一种半透明的圆柱体，叠放在麦克纳姆轮上
在图5a中，重叠在图4a所示的麦克纳姆轮上的包膜圆柱体变得不透明，其直径缩小到刚好能露出辊子。同样的圆柱体在图5b中变得半透明。此图的目的是显示接触地面的辊子被包闭在一个圆柱形表面，如图4a所示。
图5加在麦克纳姆轮上的圆柱体
图6展示了一个麦克纳姆轮小车。需要注意的是，有两种类型的麦克纳姆轮-左边和右边，以用于车辆。两个对角的轮子是同一边的轮子。
图6.麦克纳姆轮车辆
3.力的控制
解析力控制算法由Wang和Brown在[6]中为了解析运动速率控制而提出的，就像在[7]中一样。力控制算法是由每个轮子上的牵引力推导出来的。
图7a展示了一个麦克纳姆轮小车的俯视图。轮子1和3是左边轮，轮子2和4是右边轮。图7b只显示了与地面接触的辊子。注意，从上往下看，底部辊子与顶部辊子的方向相反。图7b显示了每个轮子上的牵引力。例如，F1是车轮1底部的牵引力。
图7在每个轮子上都有牵引力的麦克纳姆轮车
图6和图7所示的麦克纳姆轮小车的车轮安装方法是X型的。如果底盘是方形的，斜对着的的车轮力将会对齐，而绕z轴旋转是不可能的。在O型的安装方法中，如图8所示，轮子1和3是右边轮，轮子2和4是左边轮，即使底盘是正方形的，每个轮子的牵引力也不会交叉。这也为原地旋转提供了一个更大的转弯半径。
图8a所示把每个轮上的牵引力分解为x方向的分力和y方向的分力。图8b所示为驱动车辆前进和旋转的合力和力矩(车辆中心的力和力矩)。
如图8a所示，牵引力的y分量由输入(电机)转动力矩来平衡，如图9所示。该图显示了轮子的FBD图(自由体图)。T1是从轴到车轮的扭矩。
图8.有尺寸的麦克纳姆轮小车
图9.麦克纳姆轮的FBD图
由图8b可知，车辆中心的合力和力矩与各轮的推进力有关:
其中a和b分别为车辆宽度和长度的一半，如图8b所示。
由于辊子与车轮成45°角，牵引力的x、y分量关系为:
将式(3)代入式(2)，得到的力矩为:
将式(1)、(2)、(3)、(4)组合成向量矩阵形式，得到:
在图9，我们可以通过车轮半径R将车轮转矩与轴中心的纵向力联系起来。
将式(6)代入式(5)得到力控制算法，
式(7)可以写成向量-矩阵格式为
J称为雅可比矩阵，它将车轮扭矩与车辆的合力和力矩联系起来。
为车辆合力和力矩，
是施加在每个轮子上的力矩。
4. 运动控制
虚功的原理是输入功率等于输出功率。车辆的输入功率为，车辆的输出功率为。因此：
求(8)式的转置，得到
将式(11)代入式(10)，得到
J将车辆速度与车轮速度联系起来。方程(12)可以写成向量矩阵形式
式(13)与Muir和Neuman[7]推导出的方程相同。下面举几个例子说明这个等式的应用:
如果车在前进，，将其代入式(13)，
因此，所有的轮子都是转动，从右侧顺时针看轮子的推进力如图10b所示。
如果车辆向右行驶，，将其代入式(13)，。
因此，轮1和3往反方向上转动，轮2和4往前方向上转动。车轮的推进力如图10f所示。
如果车辆是逆时针旋转,，将其代入式(13)，
轮子1和4往正方向转动，轮子2和3往负方向转动。车轮的推进力如图11a所示。
如果车辆沿对角线方向移动，，将其代入式(13)
这意味着轮子1和3将被锁定，轮子2和4将以相同的速度旋转。车轮的推进力如图10c所示。
图10e显示了一辆由乐高积木连接到乐高电机和3D打印辊子组成的麦克纳姆轮小车。其余数字显示了车辆在各个方向的运动。如图所示，车辆在两对牵引力作用下沿基本方向运动(图10b、10d、10f、10h)，在一对力作用下沿基本方向运动(图10a、10c、10g、10i)。在这8个方向上，轮子1和3成对，轮子2和4成对。在每种情况下，成对的轮子以相同的扭矩向相同的方向旋转。
通过扭转旋转方向，牵引力就会改变。例如，图10b中的正向运动和图10h中的反向运动是通过简单地反转车轮转动的方向来联系的。同样地，图10a中的对角运动被转换成图10i中的运动。
在图11中，所有的推进力Fi都围绕着车辆的中心在同一方向上产生力矩，车辆将在原地旋转。车辆转弯半径为零，因为车轮的牵引力是反方向平行的。在每一种情况下，成对的车轮都以相同的幅度转动，使车辆逆时针方向(a)和顺时针方向(b)旋转。
图10.不同方向的车辆平移
图11.具有零转弯半径的方位
- 滑动、跳跃和滑移
在参考[8]中，作者指出车轮滑移是麦克纳姆轮车辆的一个常见问题，特别是当车辆侧向平移的时候。作者们建造了一辆麦克纳姆轮车，它的被动悬架以中心为轴，在横向运动和振动中发生滑移。
在参考[6]中，Wang和Brown在使用乐高机器人制造的一辆麦克纳姆轮车辆的横向运动中遇到了困难，如图10e所示，尽管它在向前/向后运动和原地转弯时没有出现问题。
在参考[9]中，作者观察到麦克纳姆轮车辆易发生滑移，且在车轮转动量相同的情况下，实际的横向行驶距离小于实际的正向行驶距离。
在参考[10]中，阿勒斯在他的YouTube视频中展示了他的机械轮汽车的运动。由于滑移，车辆无法返回到预定的起始位置。
车轮的牵引力可以解释车辆的打滑或打滑。如图7所示，因为牵引力与车轮成45°角，与车辆底盘垂直的x分量如图12a所示。图12b显示了带有倾翻力矩的车轮的自由体图(FBD)。
图12车轮的FBD，显示由水平方向的分力引起的倾翻力矩
在前进/后退方向或零半径转弯时，四个轮子产生的倾翻力矩相对于底盘相互抵消，车辆可以在没有净倾翻力矩和不打滑的情况下前进。
在横向运动中，向左或向右移动时，横向牵引力对运动方向起作用。如果底盘不是刚性的，横向牵引力产生的倾翻力矩将使底盘弯曲，减少与辊子接触。
例如，当车辆向左移动时，如图10 (d)所示，车轮上的横向分力将产生向左的合力，如图13所示。图14显示了这辆车的正视图，和左右两个轮子的FBD。图15显示了底盘的FBD，显示了车轮的倾翻力矩和作用力。图16显示了被放大的底盘弯曲变形。图17显示了放大的弯曲变形的底盘和车轮。车轮抬起后，车轮与地面的接触力减小，辊子的接触面积减小。注意，如果车辆向右移动，底盘将向下弯曲，两个轮子将向内弯曲，与图17中的情况相反。
底盘弯曲不是永久性的，因为轮子不是固定在地面上的。底盘弯曲时会储存势能。势能克服车轮的摩擦阻力时，能量就会释放出来，底盘的形状就会恢复平整。在这个由弯曲到不弯曲(释放势能)的过程中，如果底盘不是刚性的，就会有明显的滑动和弹跳。
图13 一辆车向左移动俯视图
图14 轮子两边的FBD
图15当移动到左边时底盘的FBD显示了从车轮到底盘的力和力矩
图16当移动到左边时，底盘的FBD显示底盘向下弯曲的净力矩
图17当移动到左边时，侧向牵引力将使底盘弯曲并抬起车轮
在基本方向运动时，当两个轮子的动力方向相同，其他两个轮子锁定滑动。驱动轮的牵引力将使底盘沿着连接车轮1和3的直线弯曲。
图18是图10(a)的翻版，用于标注坐标轴、牵引力和车轮编号。图19在3D视图中显示了图18中的车辆。与侧向运动一样，对角线斜方向运动时也会发生同样的滑移和弹跳。
图18麦克纳姆轮车沿对角线方向移动，俯视图
综上所述，前后向运动和原地转弯不存在打滑和滑移现象，其侧向的牵引力在车辆运动时平衡。在横向上，如果底盘不是刚性的，如文献[6,8,9]，车辆运动将经历振动，行驶距离将小于期望值。如果使用刚性底盘，如在工业环境中，如AGV(自动导向车辆)[11,12]，底盘变形和打滑将最小化。
图19车辆沿对角线方向移动，形成3D视图
- 结论
麦克纳姆轮车可以向任何方向移动，也可以随时往另一个方向移动。全向车辆可用于从轮椅到叉车的各种应用。近年来，麦克纳姆轮式车辆在机器人竞赛中受到爱好者和学生的欢迎，在机器人竞赛中，在狭小空间中的可操作性受到重视，可靠性和耐久性次之。所以即使有些打滑也是可以忍受的。
本文推导了基于力控制的运动控制算法。这种方法更容易理解，因为它更直观，有助于业余爱好者和高校生。牵引力也可以解释打滑的原因。由于牵引力与车轮成45°角，垂直于车轮的分量将产生一个倾斜角。由
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