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多元Copulas的pair-Copula构造
摘要：本文介绍并讨论了用于建立柔性多元分布的pair-copula构造方法。该类别包括可绘制的（D），典型的（C）和在1111. 在经典以及贝叶斯背景下，研究了估计和模型选择方法。这种灵活的多元copula类可以应用于对复杂的依赖关系进行建模。提供了在金融数据建模和贝叶斯信念网络中的应用。它以关于未开放问题的部分结尾。
介绍
著名的Sklar定理允许使用copula和边际分布建立多元分布。到目前为止，所使用的多变量联结的类种类受到限制。特别是金融应用需要在分布的中心和尾部具有灵活的多元依赖结构。有对于风险价值计算需要灵活性，尤其是在尾部相关参数。其中一种度量方法是上下尾部依赖参数，他们与反射对称分布是一致的。例如，高斯copula允许具有零尾部相关性的任意相关矩阵，而多元t-copula只有一个自由度参数来驱动尾部相关参数。高斯和t-copula都是椭圆copula的例子。
除了椭圆copulas，还有阿基米德copulas的多元扩展。我们将部分和完全嵌套阿基米德系，同时提出了乘法阿基米德系，但是，这些扩展要求附加的参数限制，因此导致建模依存结构的灵活性降低。
本章的第一个主题是介绍仅使用双变量copula的多变量copula的通用构造方法，称为双-copula构造（PCC）。这包括PCC模型的简单派生，例如D-vines和C-vines。介绍了更一般的PCC，例如普通的vines并讨论了它们的一些特性。第二个主题是在PCC模型中仅将参数双变量copula用作构建块时，提供统计推断方法。在这里，我们提出三种方法，一种基于逐步估计，一种基于最大似然，另一种基于贝叶斯方法。将给出这些方法在文献中的应用。下一个主题涉及指定PCC模型中的模型选择。接下来将讨论应用领域，以进一步扩展和开放问题结束。
4.2 D-vines，C-vines和regular vines分布的pair Copula构造
我们假设所有联合分布、边际分布和条件分布都是绝对一致的，与相应密度无关。1996年，乔给出了第一个多变量联结的pair-copula结构，他给出了分布函数的结构，而贝德福德和库克则用密度表示这些构造。他们以图形化的方式组织了这些涉及一系列嵌套的树的构造，他们称其为regular vines。他们还确定了PCC模型的两个流行子类，它们分别称为D-vines和C-vines。首先，在介绍regular vines之前，我们先简单介绍一下D-vines和C-vines。
D-vines和canonical vines的pair-vines构造
建立多元分布的出发点是将一个众所周知的将多元密度反复分解为条件密度的乘积。设（X1，...，Xd）分别是联合分布为F和密度为f的一组变量。考虑分解
f(x1,...,xd)=f(xd|x1,...,xdminus;1)f(x1,...,xdminus;1)
= ... =f(xt|x1,...,xtminus;1)·f(x1) (4.1)
t=2
在此，和后面的f(.|.)和F(.|.)分别表示条件密度函数。
作为第二个要素，我们需要使用2维数的Sklar定理，由
f (x1, x2)= c12(F1(x1), F2(x2))·f1(x1)·f2(x2) (4.2)
其中c12(.|.) 是任意二元联结密度。使用(4.2) 我们可以将X2表示为X1的条件密度表示为
· ·
f (x1|x2)= c12(F1(x1), F2(x2)) · f1(x1) (4.3)
对于不同的指数i、j、i1...i,k且i lt;j和i1lt;···lt;ik，我们使用缩写为
ci,j|i1.i=ci,j|i1..ik(F(xi|xi1,...,xik),F(xj|xi1,...,xik)). (4.4)
使用（4.3) 对于给定X2，···Xtminus;1的（X1，Xt）的条件分布，我们可以表示
f(xt|x1，...,xtminus;1）递归为
(4.5)
使用（4.5) 在(4.1) 并且s = i，t = i j得
(4.6)
对于特定得指数i,j,i1,...ik和边缘分布fk，在条件分布函数F(xi|xj,...xik）和F(xj|xi1,...xik)和边际密度fk的xjxi1，xik条件下，注意分解的联合密度的组成由pair-copula密度ci,j|i1,...ik。这就是为什么我们称这种分解为pair-copula分解。此类分解被贝德福德和库克e命名为D-vine分布。
若把(4.3)应用到条件分布(Xt1，Xt),则可以进行第二类分解，这产生以下表达式：
f(xt|x1,...,xtminus;1)=ctminus;1,t|1,···,tminus;2.f(xt|x1,...,xtminus;2).(4.7)
使用（4.7) 代替(4.5) 在（4.1) 并设置j=t-k,j i=t,则可有如下的分解
minus;
(4.8)
根据Bedford和Cooke的说法，此PCC称为标准vine分布。
正则vines分布和Copulas
贝德福德和库克在认为他们可以用一组嵌套的无向边的树序列以图像化的方式表示这些对联结的位置，这些树被称为vine树。树中的边缘表示用于条件copula的密度。回顾普通vine树的定义。根据定义4.4[39]一个普通的d变量上的树由连接树T1,...,Tdminus;1和节点Ni和边Ei组成，其中i = 1，...,d-1，满足一下条件
- T1具有节点N1={1,...d}和边E1。
- 对于i=2,...,d,树Ti具有节点Ni＝Eiminus;1。
··· minus;
如果树Ti中的两个边共享树Ti中的一个公共节点，则它们会在树Ti 1中连接Ti
树Ti中的边缘将由jk|D表示，其中jlt;k，D是条件集合。请注意，与[39]不同，我们对条件集j，k进行排序，以使双变量copula中的参数顺序唯一。如果D为空集，我们用jk表示边。Ti中的边e的符号取决于Timinus;1中的两个边，它们在Timinus;1中具有一个公共节点。用这些来表示这些边缘a=j(a),k(a)|D(a)和b=j(b),k(b)|D(b)且V(a):={j(a),k(a),D(a)}和V(b):分别为{j(b),k(b),D(b)}。因此，树Ti中的节点a和b通过边e=j(e),k(e)|D(e)相连，其中 j(e):=min{i : i isin;(V(a)cup;V(b))/D(e)}
{ }
|
K(e):=max{i:iisin;(V (a) cup;V (b)) / D(e)}
D (e): = V (a)cap;(b)。
贝德福德（Bedford）和库克（Cooke）确定了两种特殊的vine树规格，一种称为可绘制的vine树或D-vine树，另一种称为规范的vine树或C-vine树。它们定义如下。
普通的vine树被称为
- 如果T minus; 1中的每个节点最多具有2条边，则为D-vine树。
- 如果每棵树Ti具有d-i个边的唯一节点，则为C-vine。树T中具有d-1条节点
称为根。
在图4.1给出了五维D-vine树的图形。4.2 我们看到了C-vine树的图形。例如，图4.1的树T3中的边e＝1423由边a=132和V(a)={1,2,3}和边b=2413边v(b)=(2,3,4)得出。注意D(e)={2,3},j(e)=1,k(e)= 4.
在节点集N:=N1,...Nd-1和边缘集E:=E1,...,Ed-1的正则vine树上建立统计模型将Ei中的每个边缘e = j(e),k(e),D(e)与双变量copula密度j(e),k(e),D(e)关联。令XD(e)为D（e）中包含的索引所指示的X的子随机向量。vine分布定义为具有边际密度fk,k=1,d和条件密度为(Xj(e),Xk(e))的随机向量X:=(X1,...,Xd）的分布,给定变量Cj(e),k(e)D(e)的变量XD(e)，该vine树具有节点集N和边缘集E。在[39] 证明X的联合密度是唯一确定的。
|
···
···
1 2 3 4 5 T1
12 23 34 45
12 23 34 45 T2
13|2 24|3 35|4
T3
13|2
14|23
24|3
25|34
35|4
T4
14|23
25|34
15|234
图4.1 d = 5的D-vine树表示
其中xD(e)表示由D(e)中包含的索引表示的x的子矢量。这是vine分布的Hammersley-Clifford定理的一个类比。
对于图4.1的D-vine树，对应的vine分布的节点密度为
而图4.2中显示的具有树表示的C-vine分布的相应关节密度为
在这里，我们使用在中定义的缩写(4.4)比较(4.10)和(4.6)我们看到(4.10)等价于(4.6)中的d=5。因此，我们可以确定(4.6)作为D-vine分布的关
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