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卡尔曼滤波器简介
Greg Welch[1] and Gary Bishop[2]
TR 95-041
计算机科学系
北卡罗来纳大学教堂山分校
Chapel Hill，NC 27599-3175
更新于：2006年7月24日星期一
摘要
1960年，R.E. Kalman发表了他著名的论文，描述了关于离散数据线性滤波问题的递归解决方案。自那时以来，在很大程度上由于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波成为了广泛研究和应用的主题，特别是在自主或辅助导航领域。
卡尔曼滤波器是一组数学方程，它提供了一种有效的追求最小均方差的计算（递归）方法来估计过程的状态。这种过滤方法在有些方面效果非常显著，功能强大：它支持对过去，现在和甚至未来状态的估计，并且即使在未知建模系统的确切性质时，也是十分适用的。
本文的目的是提供一个有关于离散卡尔曼过滤的实用介绍。本介绍包括对基本离散卡尔曼滤波器的描述和一些讨论、推导，以及关于扩展类型的卡尔曼滤波的描述和一些讨论，并且结合一个相对简单（有形的）具有实际数据和结果的案例作详细介绍。
一、离散卡尔曼滤波器
1960年，R.E. Kalman发表了他著名的论文[Kalman60]，描述了关于离散数据线性滤波问题的递归解决方案。自那时以来，在很大程度上由于数字计算技术的进步，卡尔曼滤波成为了广泛研究和应用的主题，特别是在自主或辅助导航领域。有关于卡尔曼滤波器的一般思想之非常“友好”的介绍可以在[Maybeck79]的第1章中找到，而更完整的介绍性讨论可以在[Sorenson70]中找到，其中还包含一些有趣的历史叙述。更广泛的参考文献包括[Gelb74;Grewal93;Maybeck79;Lewis86;Brown92;Jacobs93]。
（一）预测过程
卡尔曼滤波器解决了试图估计由线性随机差分方程控制的离散时间控制过程的状态（）的一般问题。
(1.1)
同时又有状态（）测量：
(1.2)
随机变量和分别表示过程和测量的噪声，并且假设它们相互对立，完全服从正太分布，即高斯白噪声。
P(w) ~ N (0, Q) (1.3)
P(v) ~ N (0, R) (1.4)
在实际中，过程噪声协方差Q和测量噪声R协方差矩阵可能随着每个时间步长或测量而改变，但是在这里我们假设它们是恒定的。
在不存在驱动函数或过程噪声的情况下，差分方程（1.1）中的矩阵将前一时间步骤k-1的状态与当前步骤k的状态相关联。请注意，在实践中，A可能随着每个时间步长而改变，但在这里我们假设它是恒定的。矩阵将可选控制输入与状态x相关联，测量方程（1.2）中的矩阵将状态与测量相关联。在实践中，矩阵H可能会随着每个时间步长或测量而改变，但在这里我们假设它是恒定的。
（二）过滤器的计算原理
在步骤k时，假设我们知道步骤k-1的过程，我们定义为先验状态估计；在给定测量状态时，定义为后验状态估计。然后，我们可以将先验和后验估计误差定义为：
（1.5）
（1.6）
那么，先验估计误差方差为：
那么，后验估计误差方差为：
在导出卡尔曼滤波器的方程式时，我们从找到计算后验状态估计值的方程式开始。作为先验估计和实际测量与测量预测之间的加权差的线性组合，如下面（1.7）所示。（1.7）的详细介绍将在下面的“过滤器的概率起源”中给出。
（1.7）
差值被称为测量创新或残差，残差反映了预测值与实际测量值之间的差异，剩余零表示两者完全一致。
矩阵则是使得后验误差协方差（1.6）最小化的增益或混合因子。这个最小化可以通过首先用（1.7）代入上述定义来完成，将其代入（1.6），执行指示的期望值，并取相对于K的结果轨迹的导数，将结果设置为零，然后求解K。欲了解更多详情，请参阅[Maybeck79;Brown92;Jacobs93]。最小化（1.6）的结果K的一种形式[3]由下面给出：
（1.8）
从（1.8）我们可以看到，随着测量误差协方差接近零，增益K对残差进行更加严重的加权。特别地，
另一方面，随着先验估计误差协方差接近零，增益K对残差进行较小的加权。 特别地，
考虑K加权的另一种方式是当测量误差协方差R接近零时，实际测量值越来越“可信”， 而预测的测量值越来越“不可信”。 另一方面，随着先验估计误差协方差接近零，实际测量值越来越不可信，而预测的测量值越来越受信任。
（三）过滤器的概率原理
（1.7）的理由植根于以先前所有测量（贝叶斯法则）为条件的先验估计的概率。现在让我们足以指出，卡尔曼滤波器保持状态分布的首要的两个矩，
后验状态估计（1.7）反映了状态分布的平均值（第一中心矩）——如果满足（1.3）和（1.4）的条件，则它是正态分布的。后验估计误差协方差（1.6）反映了状态分布的变化（第二个非中心矩）。换一种说法，
有关卡尔曼滤波器的概率起源的更多细节，请参见[Maybeck79;Brown92; Jacobs93]。
（四）离散卡尔曼滤波算法
我们将以广泛的概述开始本节，内容包括一种形式的离散卡尔曼滤波器的“高级”操作（参见前面的脚注）。 在介绍了这个高级视图之后，我们将把重点放在特定的等式及其在这个版本的过滤器中的使用。
卡尔曼滤波器通过使用一种反馈控制形式估算过程：滤波器在某个时间估算过程状态，然后以（噪声）测量的形式获得反馈。 因此，卡尔曼滤波器的方程组分为两组：时间更新方程和测量更新方程。时间更新等式负责向前（时间上）推测当前状态和误差协方差估计值，以获得下一个时间步的先验估计值。 测量更新等式负责反馈——即，用于将新测量结果并入先验估计中以获得改进的后验估计。
时间更新方程也可以被认为是预测方程，而测量更新方程可以被认为是校正方程。 事实上，最终的估计算法类似于用于求解数值问题的预估——校正算法，如图1-1所示。
图1-1 正在进行的离散卡尔曼滤波周期。
时间更新会及时提前预测当前状态估计值。
测量更新通过当时的实际测量来调整预计估计。
时间和测量更新的具体公式如下表1-1和表1-2所示。
表1-1 离散卡尔曼滤波时间更新方程
再次注意表1-1中的时间更新方程如何将时间步骤k-1前进到步骤k的状态和协方差估计A和B来自（1.1），而Q来自（1.3）。 在前面的参考文献中讨论了过滤器的初始条件。
表1-2 离散卡尔曼滤波器测量更新方程
测量更新期间的第一项任务是计算卡尔曼增益。 请注意，这里给出的等式（1.11）与（1.8）相同。 下一步是实际测量过程以获得，然后通过合并（1.12）中的测量结果来生成后验状态估计。 再次（1.12）在这里为了完整而简单地（1.7）重复。 最后一步是通过（1.13）获得后验误差协方差估计。
在每次和测量更新对之后，重复该过程，其中先前的后验估计用于投影或预测新的先验估计。这种递归性质是卡尔曼滤波器非常吸引人的特性之一——它使得实际实现比（例如）实现维纳滤波器[Brown92]更可行，该滤波器设计用于直接针对每个估计操作所有数据。 卡尔曼滤波器会递归调节当前所有过去测量值的估计值。 下面的图1-2提供了一个完整的过滤器运行的图片，将图1-1的高层图与表1-1和表1-2的等式结合起来。
（五）滤波器参数和调谐
在滤波器的实际实现中，通常在滤波器运行之前测量测量噪声协方差。 测量测量误差协方差通常是可行的（可能），因为无论如何我们需要能够测量过程（在操作过滤器时），所以我们通常应该能够进行一些离线样本测量以确定 测量噪音。
过程噪声协方差Q的确定通常比较困难，因为我们通常不具备直接观察我们估计的过程的能力。 有时候一个相对简单（差）的过程模型可以产生可接受的结果，如果通过选择Q向过程“注入”了足够的不确定性。当然在这种情况下，人们会希望过程测量是可靠的。
在任何一种情况下，无论我们是否有选择参数的合理基础，通常都可以通过调整滤波器参数Q和R来获得优越的滤波器性能（统计上讲）。调谐通常是离线执行的， 另一个（不同的）卡尔曼滤波器在通常被称为系统识别的过程中的帮助。
图1-2 卡尔曼滤波器运行的完整画面，将图1-1的高层图与表1-1和表1-2中的方程组合在一起
最后我们注意到，在R和Q实际上不变的情况下，估计误差协方差和卡尔曼增益将快速稳定并保持不变（参见图1-2中的滤波器更新方程）。如果是这种情况，可以通过离线运行滤波器，或者通过确定[Grewal93]中所述的稳态值来预先计算这些参数。
然而，测量误差（特别是）不会保持不变是常有的情况。例如，在我们的光电跟踪器天花板中观察信标时，附近信标测量中的噪声Q会比远程信标中的小。此外，过滤器操作期间过程噪音有时会动态变化——变为，以适应不同的动态。例如，在跟踪3D虚拟环境用户的头部的情况下，如果用户似乎在缓慢移动，则可以减小的幅度，并且如果动态开始快速变化，则可以增加幅度。 在这种情况下，可以选择来解释用户意图的不确定性和模型中的不确定性。
二、扩展卡尔曼滤波器（EKF）
（一）估计过程
如上面在第1节中所述，卡尔曼滤波器解决了试图估计由线性随机差分方程控制的离散时间控制过程的状态（）的一般问题。但是如果要估计的过程和（或）与过程的度量关系是非线性的会发生什么？ 卡尔曼滤波的一些最有趣和最成功的应用就是这种情况。 关于当前均值和协方差线性化的卡尔曼滤波器被称为扩展卡尔曼滤波器或EKF。
与泰勒级数类似，我们可以使用过程和测量函数的偏导数对当前估计周围的估计进行线性化，以计算估计值，即使面对非线性关系。 为此，我们必须首先修改第一部分提出的一些材料。让我们假设我们的过程再次具有状态向量（），但是过程现在由非线性随机差分方程来描述。
(2.1)
同时又有状态（）测量：lt;
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