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基于混合不确定性优化设计的盘式制动器制动系统
作者：Hui Luuml;a , Dejie Yu
摘要
出于学术和工业方面的目的，如何减少盘式制动系统的制动尖叫噪声已经被广泛研究。然而，大多数已经存在的减少制动尖叫噪声的优化设计方法是不考虑材料属性、加载条件，几何尺寸等不确定性因素的确定性方法。在本文中，引用混合概率和区间模型来处理盘式制动系统存在的不确定性因素。将制动系统中具有足够信息的不确定性参数视为概率变量，将信息有限的参数视为区间变量。为提高计算效率，采用响应面法（RSM）来代替有限元（FE）模拟。通过采用混合不确定性模型，提出了一种基于可靠性和置信区间的优化设计方法来减少制动尖叫噪声。在此方法中，由于不确定性参数的影响，设计目标和设计约束都是区间概率函数。在这种情况下，选择设计目标置信区间的上限值作为目标函数，选择设计约束的最小值作为约束函数，采用遗传算法和蒙特卡罗方法的组合算法进行优化。计算结果表明所提出的优化设计在减少盘式制动系统的制动尖叫噪声方面十分有效。
1.介绍
盘式制动系统中由摩擦引起的振动会产生动态不稳定性，并引起打扰人的的尖叫噪声。尖叫噪声的存在会使系统稳定性变差，减少盘式制动器的尖叫噪声已成为与车辆制动系统相关最困难的问题之一 [1]。制动尖叫，特别是频率范围从1到16kHz，经常导致客户投诉并产生巨大的保修成本。因此，工业公司和科学界已经做了广泛的努力来预测和消除噪声，并在这个主题上提出一些有趣的评论文章[2–10]。然而，由于这种现象的产生十分复杂，到目前为止，还没有全面了解其发生的根本原因。
在汽车工程领域已经广泛研究了用于减少制动尖叫噪声的盘式制动器优化设计。例如，Guan[11]等人建议用灵敏度分析方法来确定盘式制动系统的子结构的主导模态参数以抑制尖叫噪声，并选择了主导模态参数作为优化目标以探索制动盘和托架的修改方案来消除尖叫噪声。Spelsberg-Korspeter[12,13]进行了制动转子的结构优化，并且讨论了这样优化在数学上的困难性。Lakkam 和 Koetniyom [14]提出了针对减少尖叫噪声的最优研究，其目的是最小化具有约束层阻尼的振动垫的应变能。他们的研究结果可以确定在压力条件下指定约束层阻尼片的位置。Shintani 和Azegami [15]提出了一种解决盘式制动器模型的非参数形状优化问题以抑制尖叫噪声，通过找到刹车片的最佳形状，最小化表示制动尖叫噪声的复特征值的实部。上述关于盘式制动系统优化设计的研究都局限于确定性优化，其中涉及的所有设计变量和参数均被视为特定值。然而，由于制造或测量误差、环境因素和不可预知的外部条件的影响，以及与加载、材料特性、几何形状和环境条件有关的不确定性因素是不可避免的。在不考虑不确定性的情况下，由确定性优化方法计算出的最优解是不准确的，其违反了约束条件[16–18]。为了考虑不确定性，引入了基于可靠性的优化设计（RBDO），并在方法和应用中进行了深入研究[19–21]。在RBDO中，不确定性系统的性能和可靠性可以同时考虑。与确定性优化相比，RBDO旨在通过将确定性的约束转换为概率约束来寻求可靠的最优解。因此，考虑到实际工程的不确定性，RBDO可以被认为是提高盘式制动系统动态性能的潜在方法。
尽管在制动系统的尖叫减少稳定性分析和优化设计方面取得了巨大的成功，但目前只有少数论文研究了带有不确定性的制动尖叫问题。在那些论文中，Grange等人[22]已经使用随机衰减技术和伊普拉欣时域方法来识别用于尖叫分析的等效线性制动系统的模态参数。Sarrouy等人[23]对基于多项式混沌扩展和简化盘式制动器的制动尖叫进行了不确定的模拟，其中制动器的摩擦系数和接触刚度被建模为随机参数。Tison等人[24]提出了一个完整的策略，通过引入随机不确定性和鲁棒性概念来改进尖叫模拟的预测。
Luuml; 和Yu [25]提出一种具有区间参数的车辆盘式制动系统制动尖叫减少的不确定优化方法。在这项研究中，由于系统参数数据有限，不确定的系统参数都被视为区间变量。区间方法似乎有些保守。基于工作[25]，随机变量和区间变量都被用来处理制动系统混合不确定性，最近此作者也在研究这种制动系统的稳定性[26]。然而，这种基于混合不确定方法的制动系统的稳定性及数值优化设计在[26]中并没有得到解释。最近另一项关于不确定尖叫问题的研究可以在[27]中找到。在这项研究中，Nobari等人[27]提出了用随机过程和克里格替代模型来解决制动系统的不确定性分析的高计算工作量问题，并谈论了从替代模型中获得的三个好处。又提出一些减少制动噪声的设计建议，量化制动系统中存在的不确定性和变异性，并进行噪声可靠性分析。这项研究主要集中在具有不确定性替代模型的构建和应用上，但尖叫减少的不确定性分析和优化设计方法没有被探索，就像在[26]中一样。
正如我们在上述研究[22–27]中所看到的，概率方法是应对实际工程问题中出现不确定性的传统方法。在概率方法中，不确定参数被视为概率分布中被明确定义的概率变量[28]。为了构建概率变量的精确概率分布，需要大量的统计信息或者实验数据。不幸的是，在盘式制动系统的设计阶段，由于不可测性或假设的存在，用于构造某些概率变量（例如摩擦系数）的精确概率分布的信息并不是足够的。对于这种情况，提出了混合概率和区间模型来克服概率方法的缺陷。在混合概率和区间模型中，具有足够数据构造概率分布的不确定性参数被视为概率变量，而没有足够数据构造分布的不确定参数被视为区间变量。混合概率和区间模型首先由Elishakoff等人[29,30]提出，随后应用于混合不确定系统的响应分析[31,32]。如前所述，盘式制动系统在现有研究中被视为确定性系统或者是概率不确定系统。从整体上看，混合概率模型和区间模型的研究还处于初级阶段并且一些重要的问题仍然未被解决。例如，混合概率和区间模型在制动尖叫优化上的应用尚未被探索。
本文的目的是考虑到盘式制动系统中存在的混合不确定性，从而提出一种提高系统稳定性和降低尖叫噪声的优化方法。通过使用混合概率和区间模型，背板厚度的不确定性，构件材料的弹性模量和制动压力均由分布参数被明确定义的概率变量表示；而摩擦系数的不确定性，组合材料密度和摩擦材料的假定弹性模量均由区间变量建模，其上下限均已明确。基于混合不确定性模型，提出了基于可靠性和置信区间方法的盘式制动系统优化设计。为提高提出优化的计算效率，采用RSM建立了域不稳定特征值实部的替代模型，并将其作为设计目标。设计组件的质量作为设计约束，由于混合不确定性的影响，设计目标和设计约束都是区间概率函数。在这种情况下，选择设计目标的置信区间上届的最大值作为目标函数，选择概率约束的最小值作为约束函数，采用遗传算法和蒙特卡罗方法的组合算法进行优化。数值计算结果证明了所提出方法的有效性。
2.盘式制动系统的复特征值分析
2.1简化的盘式制动系统
盘式制动系统是汽车中最重要的安全和性能部件之一。汽车盘式制动系统有几个主要的部件：制动盘，制动片总成，支架，卡钳和液压驱动系统。制动盘刚性安装在轮毂上并和车轮一起旋转。这对制动片组件通常由摩擦材料和背板组成。当施加液压时，制动系统活塞被推向前，将一个制动衬块压靠在制动盘上，同时另一个制动衬块被卡钳压向制动盘。然后产生摩擦转矩以减慢盘的旋转。为了用可接受的计算量来合理的模拟盘式制动系统的振动特性，采用简化的盘式制动器。是由一个圆盘和一对刹车片组成，如图1所示。相似的模型已经被先前的一些研究参考和成功的使用过，例如[23,33–35]。
2.2复特征值分析
CEA可以分为两个阶段进行。在第一阶段，找到制动系统的稳定状态，实际的CEA在第二阶段被执行。
在制动系统的稳定状态下，制动系统的运动方程如下
（1）
其中，和分别是质量，阻尼和刚度矩阵，是稳态位移矢量；力主要由制动压力和摩擦界面处的相对运动引起的摩擦力产生。摩擦界面可以通过使用线性元素来模拟，用来解释接触的非线性行为[8]，然后力矢量变为线性
（2）
其中是摩擦刚度矩阵，用方程（2）式代入（1）得到
（3）
由于摩擦的影响，新刚度矩阵是不对称的，这可能导致复特征值问题。复特征值问题可表示为
（4）
其中是新的刚度矩阵；是复特征值，是复特征模。系统的复特征值可以通过求解复特征值问题方程（4）来获得，复特征值可表示为
（5）
其中和分别是复特征值的实部和虚部。
众所周知，当系统的复特征值实部为正时，振动系统是不稳定的。因此，特征值的正实部可以作为系统稳定性和制动尖叫的指示器。本研究的主要目的是最小化可根据实际情况确定的线性不稳定特征值的正实部。
值得指出的是，尽管和接触问题相关的是强非线性关系，但CEA的主要局限于使用线性模型。尽管如此，还是证明出在线性条件下发生尖叫不稳定性。有关制动模型的线性相关的详细描述可以在[8]中找到。
3.基于混和不确定性研究方法的减小盘式制动系统尖叫噪声的优化设计
3.1 基于RMS的替代模型
在工程设计中，优化算法和有限元分析（FEA）的耦合可能效率不高。因为优化过程中的迭代分析通常需要大量的迭代和高计算成本，特别是针对RBDO问题。因此，在工程应用中广泛采用替代模型以减轻计算负担。这种方法建立了一个明确的数学关系，在设计变量和功能反应之间用中等数量的FEA运行。作为一种有效的方法，响应面（RS）模型是最简单和最流行的替代模型之一，它可以被看作是有效的FEA替代方法，并且已经在优化设计中广泛使用。
在数学上，通过使用RS模型，FEAR的复特征值的实部可以根据基函数来定义为
（6）
其中是复特征值的实部；是基函数；是基函数的数量；表示回归系数
当使用一次模型[37]时，的二阶多项式的全集给定为
（7）
其中n是变量的数量，替代模型可以被定义为
（8）
其中表示决定响应的变量向量；和是可以从实验设计（DOE）和最小二乘法（LSM）[38]中获得的估计回归系数。叉积项表示双变量的相互作用。方形项表示二阶非线性。建立RS模型后，应评估其准确性。需要进行方差分析（ANOVA）来检验模型以确保模型的拟合精度和意义性[39]。一般来说，每种技术都有其优点和缺点。二次多项式RSM的一个主要缺点是当问题高度非线性时，很难获得良好的拟合精度。尽管如此，来自Refs [25]和[37]可以看出，盘式制动器的不稳定特征值可以通过二阶RS模型很好的拟合。
3.2混和不确定性研究方法的盘式制动系统
在基于FEA的传统确定性研究中，都是假定盘式制动器的系统参数是被精确定义并且已知的。然而，在许多实际工程系统的解决过程中使用的大部分数据要么从实验中收集要么从过去的经验数据中获取，这些数据常是没有被定义、不准确和不确定的。由于复杂的工作环境和操作条件，制动尖叫的发生通常是间歇性的或者甚至是偶然的，并且很难被人们捕获和复制。这可能与制动系统中存在的不确定性有关。例如，在制动过程中摩擦系数是变化的而不是恒定的。这种摩擦特性可以为制动尖叫提供能量来源[40,41]。因此，如果将不确定性引入到盘式制动系统的稳定性分析中，将会更加合理和具有重要意义。
对于实际的盘式制动系统，材料，载荷和接触特性以及制造误差的不确定性是不可避免的。通常，处理不确定性最常见的模型是概率模型。通过概率模型在等式（8）中对于不确定优化问题一般可表示为
（9）
其中是设计变量向量;是作为非设计变量被视为概率变量的不确定变量向量。
在实际的情况中，盘式制动系统是一个相当复杂的系统，很难甚至不可能获得某些变量（例如摩擦系数）的分布参数的精确值。为了让这些变量的不确定性建模更接近真实情况，这些不确定变量可以看成是区间变量，其变化范围已经被定义。公式（9）中的则成为一个混合不确定优化问题的区间概率目标函数，并且可以表示为
（10）
其中是设计变量向量，K是设计变量的个数；是概率变量向量，它被视为非设计变量，I是概率变量的个数；是区间变量向量，它也被视为非设计变量向量，m是区间变量的个数。
由于制造或测量误差，设计变量的实际值可能会偏离工程实践中的理论值。在这种情况下，设计变量也可以被视为不确定变量。
3.3基于可靠性和置信区间及混合不确定性方法的盘式制动系统优化设计
数学上，具有混合不确定性
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