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具有外部周期激励的四分之一车辆系统的非线性动态分析
摘要：在本文中，建立了具有非线性弹簧和阻尼的四分之一车辆的非线性动力学模型。利用增量谐波平衡法和Newmark法对在外部周期激励下的车辆系统的动态特性进行理论研究，通过与Newmark方法的结果进行比较来验证增量谐波平衡法的精度。分析了阻尼系数，激励振幅和激励频率对动态响应的影响。结果表明，车辆系统的振动行为可以通过适当调整系统参数与阻尼系数，激励振幅和激励频率来控制。在所给出的幅值 - 频率曲线中揭示了多值性质，杂散谐波响应和硬化型非线性响应。随着控制参数的变化，可以观察到混沌运动，准周期运动和周期运动之间的变换。本文得出的结论可以为车辆系统的设计和改进提供一些可用的依据。
关键词：车辆模型; 悬挂系统; 增量谐波平衡法; 非线性动力学
1.引言
车辆动力学在汽车工业的发展中起着重要的作用，并且由外部激励引起的车辆系统的振动【1】和噪声仍然是研究的课题。 车辆系统是悬架，轮胎和其他部件之间相互作用形成的非线性系统，这使得汽车可能由于振动和冲击而引起不可控性和不稳定性。 此外，悬架系统作为关键部件之一，可以吸收轮胎和车身之间的大部分能量。 因此，分析车辆系统的动态响应十分重要。车辆系统是典型的复杂多体非线性系统，并且其非线性度可以通过建立模型的自由度数来体现。 与车辆系统的动态响应相关的研究已经开发了几种模型【2】。具有 2自由度 或 1自由度的整车模型（1/4车模型）被用于分析车身的垂直振动；具有两轮的4自由度模型（半车模型）被用于研究垂直和俯仰运动，以及具有7自由度的整车模型用于研究垂直，俯仰和侧倾运动。
随着乘客对舒适性和安全性的需求日益增加，车辆系统动态响应的相关内容已经在过去几年被广泛研究，liang [3]建立了一个2自由度非线性车辆悬架模型，并在高速路上通过不同参数连续控制速度峰值来分析车辆的混沌运动。Liu [4]对具有非线性弹簧和阻尼器的四分之一车辆系统进行了分析，研究了连续速度控制器对车辆动态响应的影响。zheng [5]讨论了2自由度非线性悬架系统的动态响应，混沌运动可以用状态变量的反馈来控制。li [6]提出了一种具有迟滞非线性的车辆悬架系统，混沌运动由梅尔尼科夫函数[7]推导出来，该模型易受路面多频激励的影响。 Litak [8]和[9]使用梅尔尼科夫准则研究单自由度汽车模型在谐波和噪声分量组成的路谱激励下全局同态斜交分叉和到混沌的转变。 朱先生在假设道路的激励为正弦波的条件下，研究了4自由度 [10]和7自由度 [11]车辆模型的动态响应。 结果表明，混沌响应可能出现在频率响应图中的不稳定区域。zhu [12]研究了具有非线性阻尼和非线性弹簧的2自由度振动系统的非线性动力学，通过适当调整系统参数和考虑激励的频率大小，可以减小振幅和振动。 Ikenaga [13]开发了一种具有主动悬架控制方法的全车悬架系统，其结合了滤波反馈控制方案和输入解耦变换。在变幅谐波，圆形脉冲和实路测量的随机激励下，zhang [14] 通过与被动悬架在悬挂质量和非悬挂质量加速度，悬架行程和轮胎动力的时域和频域响应等方面进行比较，从而提出了一种基于磁流变车辆悬架的半主动滑模控制器。 Borowiec [15]建立了单自由度非线性模型来代表具有半主动，非线性悬架的四分之一汽车，并且利用变化的激励频率和路面轮廓振幅来研究系统的混沌振动和分岔。 Turkay [16]使用四分之一汽车模型来研究车辆对随机变化的横移速度和前进速度激励的响应。此外，分析了车辆对白色和彩色噪声速度道路输入的均方根响应。 Wagner [17]提出了一个具有非线性阻尼的四分之一车模型，通过使用高维概率密度函数对其进行白色或彩色噪声激励。 wu [18]综述了混沌理论在汽车非线性系统中的应用，表明汽车非线性系统具有非常丰富和复杂的动力学现象。混沌运动甚至可能发生于最简单的单自由非线性垂直振动系统的汽车。Verros [19]使用适当的方法来研究受控1/4车模型的动力学，以获得在具有谐波分布的路面激励下车辆的精确周期性运动。 Kropaacute;č[20]建立了两个模型：仅乘坐一个乘客的私家车平面模型，以及三轴卡车的平面模型。该模型用车辆在通过隔离障碍物和多个随机分布的障碍物的反映来评估其动态响应。 Bum [21]提出了完整车辆的多体动力学模型，并研究了单个及总体设计变量的不确定性对乘坐舒适性的影响。 Yang [22]建立了一个7自由度非线性整车模型，然后使用数值模拟分析由连续速度峰值变化激发的混沌振动。 Yang [23]研究了高速公路连续速度控制下的4自由度半车模型的混沌振动的可能性。然后，提出了一种使用变量反馈控制来消除混沌对车辆非线性振动的影响，并讨论如何选择适当的控制参数。Shen[24]分析了时间延迟对四个半主动动态吸震器的影响，并提出了分析解和数值解之间的比较。 Eimadany [25]和[26]发表了一份关于车辆动力学、路面激励和性能测试的综合调查，以研究车辆悬架系统的动态响应、设计方法以及车辆舒适性。 Sheng [27]研究了单自由度非线性悬架模型在单频正弦，多频谐波和随机道路激励下的混沌运动，并通过中心歧管定理分析了其动态响应。 Yu [28]分析了具有滞后非线性特性的单自由度车辆悬架系统在路面准周期多频激励下的的安全特性和强制振动特性。Zhuang [29]研究了一种具有非线性弹簧和滞后阻尼元件的车辆模型，该模型在非扰动系统中展示了多个异构轨道。 Zhong [30]和Lu [31]研究了由主、副弹簧组成的具有分段线性的非线性悬架系统的动力学模型，得到了拓扑分叉解和不同的运动特性参数。 Jerrelnd [32]研究了具有刚度分段线性的耦合悬架系统的2自由度模型，这表明耦合系统的运动比非耦合悬架系统更剧烈、更无规律。 Hamed [33]分析了2自由度（1/4整车模型）系统的动态响应，该模型假设轮胎为非线性硬化弹簧，道路的激励为正弦曲线。 Ren [34] 用射击法推导出具有分段平滑非线性特性的2自由度系统的耦合微分方程。结果表明，随着路况突然变化或承载能力发生巨大变化，系统将发生跳跃现象。Marzbanrad [35]建立了带非线性空气弹簧和非线性阻尼器的四分之一车辆模型，然后分析了该模型在高速公路连续速度控制下的混沌振动的可能性。 Borowiec [36]研究了2自由度非线性振荡器的动态特性，该振荡器表示路面激励下的四分之一车辆模型，该模型用谐波函数建立。 Sheng [37]利用增量谐波平衡法（IHBM）对汽车悬架和轮胎的非线性弹簧力和阻尼力进行分析，建立了2自由度汽车波浪振动系统的非线性动力学模型。 IHBM是解决非线性问题的非常有效的方法，但是却很少被用来分析车辆非线性系统的动态响应。 IHBM法的关键是在极短时间内求出稳态解。同时，它特别适合用于研究处于周期激励下的系统，因此非常适合车辆非线性系统。尽管关于车辆系统的文献有很多，但运用IHBM法对具有非线性动力特性的车辆系统的研究仍然非常有限。因此，重要的是研究基于IHBM的系统参数对动态特性的影响。
上述参考文献分析了悬架系统的振动特性，激励通常来自于变化的随机路面和连续速度控制峰值。然而，车辆系统可能还有复杂的NVH问题，特别是车辆在卸载平台上产生振动时。本文提出一种双偏心轴振动激励器引起的外部激励下的单自由度非线性车辆悬架系统，该模型用于研究振动系统的非线性动态响应及轮胎和悬架的偏转。使用IHBM和NMM（Newmark方法）推导车辆系统的微分方程。使用时域，频域，相图，庞加莱图，分叉图和频率 - 振幅曲线来表征车辆系统的动态响应。研究阻尼系数，励磁振幅和励磁频率对动态特性的影响，从而了解车辆系统的振动特性。
本文分为五个部分。 第2节介绍了单自由度非线性车辆系统的外部激励和数学建模。；第3节介绍了IHBM法；第4节分析车辆系统的动态响应，并讨论关键参数的影响； 最后，第5节总结出一些简要的结论。
2.车辆悬架系统的非线性动力学模型
外部激励下的车辆悬架系统的动态响应需要进行综合分析。 在本节中，建立了具有非线性弹簧和非线性阻尼的单自由度车辆非线性动力学模型，定义了外部激励，推导出悬架系统的微分方程。
2.1 外部激励
假定车辆系统的外部激励在垂直方向上发生改变，这一激励由双偏心轴振动激励器产生。 偏心质量和偏心距离在双偏心轴激振器上相同，在y方向上是对称的。 当两个轴同步反向旋转时，x方向上的离心力彼此抵消，分力在y方向上彼此叠加，这形成单一方向上的简单外部激励。 图1表示任一时刻的外部激励模型。
图一 外部激励模型
由上图可知，y方向上的外部激励可以被定义为：
F = Fy1 Fy2 = （Fo1 Fo2 ）* sin (wt ) = 2mo r w2 sin (wt ) = F y sin (wt) (1)
式中：mo为偏心质量，F y 为不平衡质量引起的激励力，w为激励频率。
2.2 单自由度非线性车辆动力学模型
在本节中，提出了考虑非线性弹簧和非线性阻尼元件的单自由度集总参数动态模型，以研究车辆系统的动态响应。 单自由度车辆模型如图2所示， 车辆系统激励由谐波力F产生。
图2 车辆动力学模型
图中：m为车辆质量。悬架系统通过非线性弹簧和阻尼连接，其中，f k ( y )和 f c (y ,ẏ )分别是非线性弹簧力和非线性阻尼力。
f k(y) = k1 y k2 y2 k3 y3
f c (y ,ẏ ) = c1 d y/ d t c2 y d y/ d t c3 y 2d y/ d t (2)
其中，k1和c1分别表示线性刚度和阻尼，k i 和c i ( i =2,3) 是悬架的非线性刚度和阻尼系数。
考虑外部激励且运用牛顿第二定律对图2中的非线性车辆模型进行分析，可得改模型的运动微分方程为：
m d2y /dt2 f k(y) f c (y ,ẏ ) = F－mg (3)
将（1）式和（2）式代入（3）式，可得：
m d2y /dt2 (c1 d y/ d t c2 y d y/ d t c3 y 2d y/ d t ) ( k1 y k2 y2 k3 y3) = F y sin wt － mg (4)
在工程实践中，激励频率在几乎所有情况下都起主要作用。 为了方便分析， （4）式可以通过使用特征长度b和特征频率omega;0而变为无量纲的式子。 并且无量纲参数可以表示如下：
xi =y i / b , tau;=omega;0t , omega;0= , Omega;=omega; / omega;0 , zeta;=c1 /m omega;0 , Fm=F y /mbomega;02 , (5)
将式（5）代入式（4），可得：
zeta; x = － － (x ) －( x2 x3) (6)
本文中， 式（6）描述了单自由度非线性车辆系统。 使用IHBM法和NMM法可以获得非线性微分方程的近似解。为简化该式， 上述方程可以以矩阵向量形式表示，即可以写为：
M C KX = FL FN
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