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《倒谱分析》的发展历程和在机械工程中的应用
摘要：
在FFT算法之前，大部分人并不知道《倒谱分析》的第一篇论文已经发布了两年，Tukey已经给出了一个广义的结论，即使是在对数谱上，倒频谱的定义也不可逆。在1965年FFT发表之后，倒频谱被重新定义，使其能够对对数谱进行可逆处理，并且不久之后，Oppenheim 和 Schafer定义了“复倒谱”，在时间域，它是可逆的。他们还推导出了一种传递函数在极点和零点的解析形式。在语音分析中，《倒谱仪》被用于确定声音音高(通过准确测量谐波间距)，同时也用于区分声音的共振峰(声道的传递函数)和浊音声源，这在力学上很早就有类似的应用。第一个是齿轮诊断法(Randall)，在那里，倒频谱极大地简化了齿轮中与局部故障有关的边缘能量的解释，二是利用声波响应测量提取柴油机气缸压力信号(Lyon和Ordubadi)。后来，Polydoro定义了差分倒谱，它具有类似于脉冲响应函数的解析形式，Gao and Randall利用这种复倒谱，将其应用于机械结构的模态分析。Antoni提出了平均微分倒谱，并给出了一个平稳的结论。如果至少有一个SIMO响应可以分离，则可以将倒频谱应用于MIMO系统，并为此提出了一系列盲源分离技术。最近的研究表明，即使不可能将复倒谱应用于稳态信号，也有可能使用实倒谱来处理它们的(对数)振幅谱，并将其与原相位相结合，以获得经过处理的时间信号。这已经被广泛应用于机械领域。一个有力的指数级别处理工具“频谱滤波器”（窗口模式）可应用于倒谱，能提取出响应的模态信号(与每个窗口模式对应的一个小的额外阻尼)。然后可以根据应用程序对响应中的模态信号进行缩放或增强。
关键词: 倒谱分析发展历程，齿轮诊断，机械诊断，动态模型分析
1 介绍
《倒谱分析》的第一篇论文[1]将倒频谱定义为“功率谱对数的功率谱”。它最初的应用是在地震信号中检测回声，在那里倒频谱被证实比自相关函数要优越得多，因为它对信号的特征不敏锐。这种单纯的诊断应用程序不需要回到对数谱，而这样诊断的原因大概是因为产生功率谱的软件是可行的。尽管[1]已有FFT算法(John Tukey)的某一结论，但它是在FFT算法[2]的两年前发布的，因此后者的潜力尚未被开发。Tukey自己在[1]中写道，“尽管光谱技术，涉及到二级傅里叶操作，目前已经相当成熟，但显然更简易的一级傅里叶技术不太为人所知”(他引用了一篇他是原著作者的论文，证实了他的观点)。因此, 即使对于对数谱，原倒谱也不可逆，并且在之前的论文中定义了“频谱滤波器”(一个过滤器)这个词和概念，它也被作为一个卷积滤波器应用于对数谱，而不是倒频谱中的一个窗口。该诊断应用程序也令人满意地确定了语音音调[3]，因此最早的应用是语音分析，大部分开发工作都在贝尔电话实验室进行。
倒频谱早期的发展进程是由两位先驱Oppenheim 和Schafer[4]推动的，但他们的论文主要涵盖于语音分析、通信、地震学和地球物理学等领域的应用，并没有给出任何机械工程上的应用。他们讨论了Oppenheim博士在麻省理工学院的博士论文[5]提出的“同态系统”的概念，即非线性关系可以转化为线性关系，从而允许在变换域中进行线性滤波。典型的例子是通过对数运算将乘法运算转化为加法运算，并通过应用一级傅里叶变换(将卷积转换为乘法)来转换卷积，然后进行对数变换。这是在对数谱上执行(线性)傅里叶反变换的一个小步骤，以获得一种新型的倒谱，这是Schafer博士论文的基础[6]。通过在所有的操作中保留相位，“复倒谱”被定义为复频谱对数的傅里叶反变换，因此这在时域是可逆的。Oppenheim and Schafer合著了一本书[7]，发表了倒频谱的一些进一步的发展和应用，尤其是对采样信号的倒谱分析形式，其中指出傅里叶变换可以被z变换代替。
2 基本关系和定义
2.1公式
(加权)倒频谱的最初定义是:
（1）
其中(f)为功率谱，可为单个记录的平均功率谱或幅度平方谱。
复倒谱的定义是:
（2）
其中
（3）
关于频谱的振幅和相位。值得注意的是，“复倒谱”是实谱，尽管它的名称是复谱，这是因为谱的对数振幅是均匀的，且相位为奇数。
可以得到新的加权倒谱:
（4）
对于单个记录的频谱(如(3))可以表示为:
（5）
在Eq.(2)中，将相位设为零，得到所谓的真倒谱:
(6)
这是公式（5）的简写版本.
需要指出的是，复倒谱要求相位(f)只能被应用于一个连续的频率函数，这就限制了它的应用。它无法和静态信号一样，由离散的频率成分(在中间频率没有定义相位)和平稳随机分量(相位是随机的)组成。这一点稍后再讨论。它只能与相性良好的函数(如脉冲响应)一起使用，其相位的定义是相性良好的(通常与对数振幅有关)。在Matlab中，通常可以使用UNWRAP这样的算法来完成解析，尽管后者可能会导致相位函数斜率陡峭的错误。这一问题通常可以通过反复插值2个因子来解决，用重复的步骤直到得到同样的结果。倒数第二步会被干扰。当振幅很小的时候，也会出现解析的错误，因此噪声会影响相位估计。
如上所述，在[7]中，Oppenheim 和Schafer从数字化信号中推导出了用于传递函数的分析公式，用z变换表示在z平面上的极点和零点。因此，对于一般的脉冲响应函数:
（7）
在s平面和z平面上的为残差，和极点分别为时间采样间隔，z平面上的传递函数为:
（8）
其中和分别是z平面内单位圆内的极点和零，和分别是单位圆外的(往复的)极点和零点(因此，∣∣;∣∣;∣∣;∣∣lt; 1). Oppenheim 和 Schafer[7]表明，对于这个传递函数H(z)，可以表示为:
, n
, n (9)
, n
这里，n是时间样本编号，称为“同态频率”(参见第2.2节)。由此可见极点和零点在单位圆内,它定义了最小相位传递函数的一部分,有一个因果倒频谱,与正的同态频率组合,而两极和零点在单位圆外,在部分定义的最大处,形成了倒频谱负的同态频率。因此，Oppenheim 和 Schafer能够证明一个最小相位函数的傅里叶变换的实部和虚部(分别是对数振幅和相位谱)是希尔伯特变换得来的。因此，如果已知传递函数是最小相位(通常是许多简单的机械结构的情况)，则无需测量或打开相位，因为它可以从对数振幅计算出来。实际上，最简单的方法是通过将正的同态频率分量加倍，并将负的同态频率部分设置为零，从而从真实同态频率(实值)中形成复倒谱(单值)。然后，可以通过复倒谱的正向变换得到对数振幅和相位谱。
倒频谱的另一个性质，已经被称为同态性质，它的发展相当早，这就是在倒频谱中，强制功能和传递函数效应是加性的。对于SIMO(单输入、多输出)系统，任何输出信号都是输入信号与传输路径的脉冲响应函数的卷积，这种卷积关系转化为“倒谱”运算的加法:
如果 （10）
且 （11）
（12）
和
（13）
注意，这只适用于SIMO系统，因为对于MIMO(多输入、多输出)系统，每个响应信号都是一个卷积的和。这一点稍后再讨论。
这种关系被用于语音分析,例如语音分离源(有声或无声)的传播影响声道(其共振被称为“共振峰”)和[7]中提出了一种声码器可以大大压缩语音信息传输中含有部分低同态频率倒频谱 (给共振峰)和一个有声或无声的指示器的语音片段。如果是音高，为了重建语音，共振峰被用来产生一个滤波器，它能被一个噪声源(无声的)或者一个频率与音高相同的周期脉冲发生器共振。
2.2 术语
在原论文[1]中，作者通过颠倒“倒谱”的第一个音节创造了“倒谱”这个词，理由是它是一个“倒谱的倒谱”。类似地，“同态频率”这个词是从“频率”中获得的，作者还创建了一些其他的名词，包括:
rahmonic from harmonic
lifter from filter
gamnitude from magnitude
saphe from phase
darius from radius
dedomulation from demodulation
在这种定义下，倒频谱、同态频率、谐波和滤波器都有助于澄清倒频谱的某些操作或特性，而不是频谱或时间信号，并且仍在文献中以及本文中经常使用。注意，自相关函数也是一个频谱，因此其特征是倒谱的对数转换。
3力学和声学方面的早期应用
3.1 同类谐波或边频带的诊断
作者意识到使用倒谱仪来检测和量化周期性间隔的同类光谱成分的可能性[3]，并意识到这不仅可以检测同类谐波，而且还能检测到同样间隔的调制边频带。齿轮的局部故障导致齿轮啮合信号(幅值和频率调制)的脉冲变化，从而产生大量的边频带，它们的速度与局部故障所在的齿轮的速度有关。这些大多数显然仅仅是对数振幅谱可见的规模,所以倒频谱是一种理想的方式来收集大量的(平均)信息来形成一个相对少量的谐波倒频谱,其中第一部分包含大部分信息。他甚至尝试了用FFT方法计算倒频谱，并于1971年在哥本哈根加入Bamp;K公司之前，从[8]得到了FFT算法的Fortran版本。然而，尽管Bamp;K在1971年有了一个自主设计的迷你计算机的FFT分析器，但它从未被投放到市场上，因此只能依靠其他方法来获得倒谱。1973年，Bamp;K出版了一份名为《倒谱分析与变速箱故障诊断》的13-150号文件[9]，其中有六种方法可以用于计算(功率)倒谱，主要用于诊断齿轮故障。一些变化在使用外差分析器执行的主要是“频率”分析线性频率范围与恒定带宽,其一获得最初的对数振幅范围内功率谱,然后其二是分析线性范围内倒频谱的频谱。在两者之间，对数谱被存储在一个介质中，它可以是一个循环的数字存储器(一个类型为7502的数字事件记录器)，或者一个FM磁带录音机上的磁带回路。在这两种情况下，存储的频谱都以比记录高得多的速率发射。得到的初步分析可能是直接从磁带录音机上得到的连续信号,将一个循环部分的信号记录在第二个数字事件记录器上,可使用一个模拟“高斯脉冲乘法器”5623型,应用Gaussian,比Hanning更好,可权重选择和定期重复部分信号。
使用数字事件记录器进行中间存储的结果如图1所示，采用外差分析仪进行频率分析。在左侧的对数谱中，在齿轮啮合频率的前三次谐波中，可以看到大量的边频带，而右边的倒谱图显示，它们的间距为85赫兹的高速轴转速。这台机器分析的是一个在85赫兹的燃气轮机和50赫兹的发电机之间的一个变速箱，而倒频谱立即显示故障在涡轮转速上的齿轮上。修理后，频率要小得多。应该注
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