沿着预先指定路径移动通用桥式起重机的悬挂负载：
非基于时间的方法
摘要：
本文介绍了一个可以实现四自由度通用桥式起重机路径跟踪控制的非共址非基于时间的调节。这个调节叫作“延迟参考非共址控制”（DRNC）。DRNC的控制作用是通过修改移动平台的参考轨迹产生。通过及时移动轨迹执行和相对于为负载定义的参考路径修改平台路径来实现这一目标。仿真结果表明，该方法在保证控制器实现非常简单的同时，能够保证极其精确的路径跟踪，非常适合于工业应用。
关键词:振动控制、路径跟踪、通用桥式起重机、欠驱动系统。
1.介绍
受控多体系统有几种应用，其中提供指定路径的精确跟踪的能力受到导致欠阻尼振荡动力学的非致动自由度( DOFs )存在的限制。作为一个典型的例子，人们应该回忆起起重机，它在工业中被广泛地用于转移重型载荷。在起重机中，小车/平台加速度会引起非驱动负载的摆状行为，从而大大降低负载定位精度。为了提高起重机的运行效率，不断试图减小负载摆动，这促使人们对这些系统的运动控制进行了大量研究。这种研究既解决了小车诱导振荡的控制问题，也解决了扰动诱导振荡的控制问题。特别地，只要控制的目的是确保精确的负载定位和路径跟踪，即使存在激励负载的外部扰动，也应采用非定位致动器/传感器对，因为对非致动振荡负载运动的直接测量(或估计)增加了外部扰动抑制。在非共线控制中，执行器远离其试图控制的点，执行器与被控变量之间存在谐振动态耦合。另一方面，使用非共线控制方案并不简单，因为在被驱动和观察到的自由度之间存在振荡动力学可能导致系统不稳定，因此应在控制器综合中适当处理。
研究了无吊装桥式起重机悬置载荷的非协调控制问题，提出并验证了一种新型的非基于时间调节器。在非基于时间的控制策略中，期望遵循的路径不像在经典的基于时间的控制方案中那样被表示为时间的显式函数。相反，它被定义为环境敏感参数(通常称为动作参考参数)的函数，该参数是基于受控变量所取的值在文件上计算得到的。鉴于非基于时间的控制器的有效性和易于实施性，最近已将几个成功的例子应用于可以修改执行时间的任务的控制中，同时必须确保对规定路径的准确跟踪。作为示例，轮廓跟随控制是具有这些特性的自动化任务。
本文提出的延迟参考非共址控制(DRNC)是在参考文献中首次提出的延迟参考控制(DRC)的基础上发展起来的。[8]，[9]为单谐振系统，然后在参考文献中推广。[10]–[12]适用于多模式系统。该理论还成功地扩展到在流体可压缩性[13]存在的情况下以及在[14]的流体连杆机构中同时进行运动和振动控制的情况下对双轴液压系统进行精确同步运动控制。虽然这种机械系统的控制是具有挑战性的，但是由于存在相关的非线性和稳定性问题，通过线性化模型的DRC综合已经被有效地提供，以实现不希望产生的链路振荡的稳定控制。DRC的基本思想是通过及时转移致动DOFs的位置基准来抑制不希望产生的振荡，而不修改通过空间获得的路径。因此，在[10]，[12]中提出的将DRC方案应用于桥式起重机的控制的目的是对不期望的负载摆动进行主动阻尼，同时确保保持小车的协调笛卡尔运动。显然，第二个要求不允许精确跟踪负载计划路径，因为负载运动不同于小车运动。
与DRC相比，此处建议的DRNC方案专门用于负载路径控制，而不考虑可替代修改的小车路径。这种新的控制不仅要求像DRC已经保证的那样对由起重机运动引起的不期望的负载摆动施加主动阻尼，而且要求对起重机小车相对于负载之一的路径施加适当的调节。这意味着对平台运动没有明确的要求。
起重机的运动控制在最近的许多论文中已经得到关注，并且已经提出了几种方法，包括部分反馈线性化(参见例如[15])、滑模控制([16]-[18])、自适应跟踪([19])、能量耦合输出反馈([20])、基于逆动力学的方法([21])、矢量Lyapunov方法([22])、模糊逻辑([23])、输入整形([24]-[26])、基于波形的控制([27]，[28])。输入整形和基于波形的控制对于工业应用也特别重要，因为它们依赖于通过前馈(输入整形)或反馈(基于wawe的控制)方法适当地降低起重机位置基准，以确保期望的负载运动。本文提出的控制方案也保证了这一相关特性。
与文献中已经提出的用于起重机中的负载运动控制的控制方案相比，在DRNC方案中，移动平台参考轨迹不再明显地依赖于时间变量(因此术语“非基于时间的”)。这意味着通过在时间上改变穿过空间的路径(负载路径和平台路径)的执行以及通过成形平台的路径以获得期望的控制动作来执行控制任务。
在DRNC综合定义的要求中，特别注意将计算复杂度保持在最小，以便获得可在工业控制器中实现的直接方法。考虑到这一目标，在模型综合和开发中以及在待解决控制问题的数学定义中假定了一些简化。同时采用了Tikhonov正则化等数学工具，保证了数值条件的充分性和问题的可解性。
本文的组织结构如下：第二节讨论了四自由度桥式起重机的动力学模型，提出了非线性和线性模型。第三部分介绍了DRNC方案和控制器综合。第4节给出了两种不同试验的数值结果。最后，第5节给出了结论性意见。
2.问题定式化
利用拉格朗日方程可以推导出描述平移平台(或小车)在水平面上运动的非线性方程，以及悬索载荷的类摆行为的非线性方程：
其中L是拉格朗日L=K-U，K是系统动能，U是系统势能，Vi是第I个广义坐标，Qi是不是由势能产生的广义作用力。由于阻尼在起重机建模中很常见，因此忽略了阻尼。
该系统的方案如图1所示:该系统具有四个自由度:两个平移，xP和yP，描述平台的平面运动，而摆动角theta;的两个分量，称为theta;X和theta;Y，描述悬置负载运动。theta;X是投影在XZ平面上的摆角，theta;X是从XZ平面测量的摆角。因此，描述系统运动的独立广义坐标的矢量为{theta;X，theta;Y，xP，yP}T。悬置载荷坐标{xL，yL，zL}可计算如下(h是恒定缆索长度，因为不假定起重):
假定沿X和Y方向向起重机施加两个驱动力FX、FY。这种力允许沿着期望的参考路径驱动系统，并且还用于阻尼由运动引起的不期望的摆动。假定没有控制力直接施加到悬挂载荷。系统因仅采用两个控制力来执行四个系统DOFs的同时控制，而没有力施加到表示负载摆状行为的DOFs而欠驱动([21])。
假定索应力为拉伸应力，以下非线性方程描述了整个孔系的动态特性:
在公式(3)中，m为悬重质量，MX和MY分别为吊车平台沿X和Y方向的平移质量，g为重力加速度。
通过假设摆围绕垂直平衡结构有小的运动
以下运动学线性模型适用：
因此系统的动态行为近似如下:
线性时不变模型的使用在文献中被广泛地用于合成具有恒定绳长的桥式起重机的反馈(参见例如[22]，[28]，[29])和前馈(参见例如[24]，[25])控制方案。事实上，受控运动和典型的低摆动频率(主要在大型工业起重机中)导致小的和缓慢的负载振荡，而不管起重机的速度如何。这确保满足线性化假设。此外，直接
使用线性模型可以大大减少实时求解控制器方程的计算量，从而简化控制器的实现。
方程(5)中的运动方程证明了在上述假设下，桥式起重机在X和Y方向上的动力学解耦，系统具有两种谐振模式。
3.DRNC综合
3.1.DRNC结构
如导言中所述，DRNC的目标是使负载跟踪规定的参考路径，而不管小车的路径和摆角分量的存在，也不管可修改以实现精确跟踪的运动的执行时间。根据这些规定，并利用小车与负载运动之间的动态耦合，本工作建议通过两个控制动作执行负载控制:
1 .在不改变路径槽空间的情况下负载参考轨迹的时间偏移。因此，假定规定的负载参考路径是标量动作参考参数的已知和显式函数。动作参考参数可以被认为是“延迟时间”，并且基于负载跟踪误差ε( t )的感测值来计算，负载跟踪误差ε( t )是要控制的变量:
通过及时移动位置基准来控制运动使人回忆起原始DRC[1]，然而，其中受控变量是theta;(t)而不是ε(t)。这种控制动作对于补偿与路径相切的跟踪误差分量特别有效，因为时间上的移位仅允许沿着计划路径移动。
2 .相对于所述负载中的一个负载对通过所述小车移动平台的空间的所述参考路径进行加法调节。这种调整通过附加校正项来执行。校正gamma;应当基于要补偿的负载跟踪误差来计算。这种校正项主要针对与负载路径正交的负载跟踪误差分量进行补偿，因此不能仅通过及时移动负载参考轨迹来进行补偿。
上述两个项导致了支配DRNC方案的一般方程:
由于l和gamma;都是基于负载跟踪误差实时计算的，因此和负载基准都是基于时变l实时计算的。相比之下，是一种先验的、明确的、预先计划好的关于l的函数。
以下各节将介绍如何计算l和gamma;，以满足控制要求。首先，为了得到l与受控跟踪误差之间的直接关系，忽略了gamma;的贡献。在计算gamma;时，考虑了两种控制作用之间的耦合。
DRNC的实现导致级联控制回路结构，如图2所示，其包括:
◎用于小车位置控制的内部共位控制回路，旨在使跟随 。这种位置控制器的综合在本文中通常已经在机器人起重机中得到；
◎外部非共线控制回路，用于计算用于内部回路的合适平台参考，以确保负载的规定运动。外部控制回路包括所谓的DRNC块和轨迹规划器，DRNC块基于所感测的跟踪误差计算l(t)和gamma;(t)。
这种多回路级联结构是DRNC方案相对于大多数反馈控制方案的一个优点，这些反馈控制方案强制修改小车位置回路(图2中的内环)以执行负载运动控制。相反，DRNC可以通过仅闭合上述外环来实现。起重机标准位置控制器不需要修改，可以采用任何调节器，只要它能确保足够的动态响应(见第3节)。值得一提的是，近年来，多回路控制方案的使用引起了许多作者的注意，因为它易于实现并且在稳定和控制系统方面有效[30]。
3.2。负载参考延迟
在DRC的公式中，l表现为延迟时间，定义如下:
在公式（8）实标量时变量tau;(t)称为时延(即使它可以取负值)。tau;通过在时间上加速或减慢轨迹以限制振荡而不改变通过空间的路径，在时间上移动负载位置基准。
为了综合一种系统而直接的方法来计算tau;以实现控制特性，让我们关注负载的摆状行为，如公式（5）中的前两行所示:
公式（9）右侧平台绝对加速度的矢量可视为直接施加于载荷的外部“力”，称为f，因此：
f ( t )是公式（5）和公式（9）中可控的系统，它既能激励和控制负载振荡，也能控制负载运动。因此，f ( t )的适当设置可以导致跟踪误差减小。
因此，DRNC的目的是对起重机运动至l (因此tau;)的时间历程进行整形，以设置适当的力f ( t )。特别地，为了阻尼负载跟踪误差振荡，tau;被计算为使得f ( t )，并且因此表现为与所感测的负载跟踪误差ε的一阶导数成比例的阻尼力:
这种选择类似于在DRC方案中提出的选择，其中阻尼力需要与要控制的负载角速度成比例。可通过与线性补偿器(其脉冲响应为kappa;(t))卷积来提供f(t)的更一般定义，所述线性补偿器被引入以允许对闭环系统频率响应进行整形，从而改善控制器性能:
在上面的等式中，符号n表示卷积乘积。作为一个典型的例子，kappa;(t)可以表示为消除不希望的信号分量或增强某些特定频率下的控制作用而采用的滤波器。这里，为了提供对控制技术的更清楚描述，DRNC的理论开发将如等式（11）那样（kappa;(t)一个代数调节器: ）假设地进行。不管怎样，对任意kappa;(t)的扩展是直接的。
在公式（11）中解方程中控制问题的一种显式简化方法是由于忽略小车跟踪误差而导致的，因此通过用方程式（11）中的参考加速度代替实际平台加速度。值得一提的是，这一假设在大多数起重机运动控制的工作中是常见的，尽管它通常被认为是理所当然的，并且没有明确地介绍，因为当今的工业控制器允许满足这一假设。
其次，通过线性化负载参考的时间历程，即通过在一个区间上用线性函数局部逼近tau;，并忽略gamma;的贡献，可以使tau;的关系更为明确
beta;为负载参考速度，仅用于控制器综合目的，在有限间隔内恒定。公式( 14 )允许写入起重机加速度作为时间延迟的显式函数，从而导致下面的方程组:
假定beta;取有限值不允许在需要改变位置步长时计算时间延迟。因此，步骤输入不能用作建议的DRNC的位置参考。这不应该被认为是该方法的缺点:实际上，在机械系统的运动规划中通常采用平滑的位置基准。
方程组(14)是两个线性独立微分方程的超定系统，标量未知tau;。tau;同时满足所有方程的唯一值在一般情况下不存在。另一方面，计算标量时间延迟和动作参考参数是保证协调运动和精确空间路径的必要条件。(14)的第一个解可以通过将控制问题转化为优化问题并通过寻找使线性系统(14)的剩余欧氏范数最小的标量tau;来找到:
公式(15)承认由左伪逆提供的解析解。而不是直接求解方程(15)，在此项工作中建议改进控制器综合问题的提法，以解决三个相关问题:
1.如果，则方程组（15）的解不存在；
2 .伪逆的计算常常是病态的，其数值通常高估了实际解，并且对参数不确定性非常敏感[ 33 ]；
3 .较大的值为时，起重机会产生较高的加速度以进行振动控制，从而产生较高的控制力。由于不可避免地存在致动器力饱和和转矩控制回路的有限带宽，因此在处理现实世界系统时通常不考虑这种情况。因此期望tau;(t)的平滑时间历程，以确保控制动作的可行性。
为了处理上述三个问题，并确保最优解的存在和正确计算，而不管beta;的值如何，最小化问题( 15 )中包括术语，其采用以下形式：
标量实值lambda;，，通常称为Tikhonov正则化项(
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