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针对自动纤维铺放并联机构的2T2R的优化设计
本文介绍了一种在航空零件制造领域运用并联机构的自动纤维铺放技术（AFP）的新概念。通过调查系统需求，一个四自由度的并联机构由两个转动-棱柱-球形接头（2RPS）和两个通用-棱柱-球形关节（2UPS）（可分解成两个转动（2R）和两个平移（2T）运动）组成。机构的逆向和正向运动学模型都经过了分析研究，基于总体雅可比矩阵螺旋理论，奇点轨迹得以展现，并且自由奇点的工作空间能被准确的阐释。为最大限度的提高自由奇点的工作空间，对2UPS的平台和底座的位置尺寸进行优化，这给了四自由度并联机构一个新设计。无量纲雅可比矩阵也被定义，并且他的条件数通过优化运动学性能来优化过程，从而为AFP设计一个呈现物理限制因素的数字模拟试验台。
关键词：并联机构，2T2R，运动学，奇点，工作空间，纤维自动铺放
1.介绍
AFP是复合材料航空零件制造业的重要工艺，并受到广泛关注，因为未来飞机项目，如波音787和空客A350XWB，机身上先进复合材料的用量都超过的50%。与传统制造技术相比，基于AFP的机器人有许多优点，包括对丝束的切断和重送功能，压实和固结原位材料，精确控制纤维布置的角度和高度的可重复性。此外，使用机器人的操纵器增加了纤维铺放过程的灵活性，并且适用于加工复杂结构的零件。目前对AFP的研究讨论了生产率，转向和控制，加工条件，材料，建模与仿真，功能集成等方面。机器人的工作主要集中在为AFP进行路径规划，通过点阵引导铺放头将材料压实到模具表面。
虽然许多基于机器人的AFP系统已经被提出和研究，但是这种技术仍然不能广泛应用于工业，其中，由于成本的约束和复杂模具的制作水平有限，手工操作仍然是主要方法。此外，由于串行机器人被广泛发展并应用在自动化工业中，所以以前都是使用串行机器人作为操作臂来支撑纤维铺放头。然而，串行机器人由于其串联机构一般具有较低的刚性和较大的惯性，从而在高紧凑力的应用中影响其力学性能和精度表现，如AFP。对比串联机器人，并联机器人有多个低惯性和高结构强度的支撑四肢，有着良好的定位精度和高速度。在此基础上，它们被广泛地应用在要求高速和刚度的工业中。因此，在本文中首次在AFP中引入并行机制，并提出最优化设计作为AFP的基础。
在一般情况下，一个六自由度的纤维铺放机能够灵活铺放各种复杂结构的零件。考虑到需要一个移动平台来支持并联机构和连接铺放头的主轴的旋转，所以一个由两平移和两旋转组成的四自由度的并联机构对AFP是合适的。在并联机构的研究中，六自由度被广泛研究，Steware-Gough平台后来对并行机制的研究焦点移动到了小于六自由度的三自由度上。由于移动、旋转和奇点之间复杂的耦合关系，四自由度的并联机构尚未被研究，针对它的相关工作主要是合成。关于非对称2T2R并联机构的文献和使用螺旋理论的对称并联机构的文献大量发表，着眼于2R运动，文献合成了使用一般功能设置和李群理论的新的2T2R并联机构。2T2R并联机构的解耦螺旋和平移运动也被在文献中提出，考虑到一个移动基部和一个旋转主轴的要求，2T2R并联机构已经被应用到五轴或六轴机床上。一个针对五轴机床的使用由两部分组成的加入了旋转关节的移动平台的2PRR-2PUS已被提出，具有两个球形关节的2PSS-2PUS并联机构的可达工作空间已被研究应用于机床的四种可能的奇点配置。近来，使用旋转理论合成了针对精细操作的2T2R并行机制。然而，针对奇点自由工作空间的分析和2T2R并联机构的优化设计的工作才刚刚开始。
在本文中，提出了将AFP其中的运动由2RPS-2UPS的拓扑机构来实现的概念，该机构的大小主要由2RPS的四肢确定。在优化设计中，寻找2UPS四肢的最佳位置是主要目的，以此来为自由奇点提供更大的工作空间，并运用无量纲Jacobian矩阵来达到最佳的性能表现。比较平移运动和旋转运动的工作空间，提出了以角度为基础由均匀单元表示的在旋转中平移的3D空间概念，并且优化配置的机制和关节部件的影响效果已被运用到AFP和其他实用设计中。
本文章节布置如下：第2节介绍了基于AFP系统的2T2R并联机构的配置和逆/正向运动学的分析；第3节介绍了整体雅克比和无量纲雅克比矩阵的发展；第4节是对奇异轨迹基于角度-3D坐标系的说明；第5节展示了优化程序；第6节给出了针对未来机械限制考虑的实验台设计实例；第7节给出结论。
2.基于AFP系统的2T2R并联机构
在AFP系统中，纤维束通过连接在机器人末端的铺放头导向并被小心地铺放在预定轨迹上，如图1所示。为把纤维牢固地粘贴在模具上，在机器人移动的同时他们被加热和压制到模具表面。对于六自由度的串行机器人，有效载荷的质量与机器人的质量之比非常小，如图1中的库卡机器人，其比例大约是210kg/1150kg=0.18，而对于并联机器人，这个比例可以达到10以上。在这种情况下，对同样的210kg的有效载荷，一个21kg的并联机器人可能就足够来支撑它。因此，考虑到空间占用和系统成本，并联机器人的优势很明显，尽管并联机器人相比于串行机器人占用更小的空间，但它的移动基座通常需要很大的空间，这在工业用串行机器人中也很常见，如图1所示。
图1 基于AFP系统的串行机械臂
考虑到一个移动基座提供一个平移自由度，一个旋转头提供一个旋转自由度，所以2T2R的并行机制能够有效的避免冗余运动。目前的AFP系统如图2（a）所示，包括一个可以沿轨道移动的基座，这个基座可以沿X轴平移，并且它的铺放头可以绕垂直于机构平台的轴线旋转。因此，该并联机构还需要沿Y轴和Z轴的两个平移运动以及绕X轴和Y轴的两个旋转运动。
目前所提出的2T2R并联机构由2RPS肢体和2UPS肢体组成，如图2（b）所示。在每个肢体，旋转或万向接头连接在底座上，球关节在平台上，并通过棱柱进行连接。RPS结构上的两个旋转关节在基座上的位置是彼此平行的，使两肢的工作在同平面垂直于这些旋转头。所有基座和平台上的结合中心都被限制在同一平面上，每个UPS肢体不限制平台，每个RPS肢体产生一个通过球形关节中心的约束并平行于旋转关节。该平台的所有运动受两个平行约束的限制，失去了沿这些约束方向的平移运动和垂直于这两个约束的旋转运动。四个棱柱关节被选择作为四自由度并联机构的驱动部分。
图2 基于AFP系统的2RPS-2UPS并联机构
（a）AFP系统 （b）2RPS-2UPS并联机构
本研究的初步假设是2RPS的肢体是相对固定的，而2UPS的肢体可自由选择，这就导致不同的布局产生不同的工作空间和运动性能。因此，下面的研究是相对于RPS，优化2UPS肢体的位置和平台与基座的尺寸，来获得具有可接受运动性能的自由奇点的最大工作空间。图2展示了一种通常的布局，即2UPS的肢体在RPS的两侧，但最佳结果是在同侧，来为自由奇点提供更大的工作空间。
3. 2T2R并联机构及其逆/正向运动学分析
3.1 2RPS-2UPS并联机构的多样化布局及其运动学模型
目前2RPS-2UPS并联机构的运动学模型如图3所示，其中四肢的编号为1到4,2RPS肢体编号为2和4，用Bi表示基座关节中心，Ai表示平台肢体的球形接头。设置基准坐标oxyz在B2B4中点处，z轴垂直于平面B1B2B3B4，x轴垂直于直线B2B4，直线Ob2是y轴。设置平台坐标系orsquo;xrsquo;yrsquo;zrsquo;在A2A4的中点处，zrsquo;轴垂直于平台平面，xrsquo;轴垂直于A2A4，当平台处于初始位置时，平台坐标与基准坐标平行，基于这些坐标系的设置，该平台将具有沿y轴和z轴的两个平移运动以及绕x轴和y轴的两个旋转运动。
图3 2RPS-2UPS并联机构的运动学模型
让ai表示平台结合中心的位置矢量，Ai在平台坐标系orsquo;xrsquo;yrsquo;zrsquo;中，bi表示基座结合中心矢量，Bi在基座坐标系oxyz中，然后肢体距离的关系可以表示为：
其中li表示相应肢体的长度，R是关于绕x轴和y轴的两个旋转运动的3times;3旋转矩阵，P=（0，Py,Pz）T是点orsquo;在基准坐标oxyz中的平移矢量，ai是点Ai到orsquo;的距离，Oslash;ai是Ai在平台坐标中相对于xrsquo;轴的角度，bi是点Bi到o的距离，Oslash;bi是Bi在基准坐标系中相对于x轴的角度，基于上述定义，Oslash;b2=Oslash;a2=/2,Oslash;b4=Oslash;a4=3/2,a2=a4=a,b2=b4=b,a1=a3,b1=b3,这些结果会被用到优化设计中。
方程（1）给出了2RPS-2UPS并联机构一般的几何约束，值得注意的是，给定的R和P，逆运动学解可以直接从等式（1）获得。正向运动学分析一般情况下更复杂，如3.2章节所述。
3.2 正向运动学分析
基于图3中的几何构图，Ai为球形接头中心在基准坐标oxyz中的矢量，ai0为：
其中ai(i=2,4)是肢体与直线B2B4之间的夹角，Ki（i=1,2,4）是通过平台内其他三点表示A3的系数，然后考虑平台和肢体的几何长度，存在如下关系：
第一个式子表示A2与A4之间的距离，第二个表示角度A1orsquo;A2，第三个式子表示A3与orsquo;的距离，第四个、第五个式子是肢体1和3的长度，将方程（2）代入方程（3），有：
其中fi（bull;）是一个关于（x1,y1,z1）的线性函数，方程（4）中的最后三个等式是关于（x1sup2;,y1sup2;,z1sup2;）的线性函数，然后通过这三个等式可以得到两个新的方程：
因此（x1,y1,z1）可以通过方程（4）中的f2和方程（5）中的f6,f7消除，
运用西尔维斯特的透析消除法，得到一个单变量方程：
其中hi是一个取决于机构参数和输入数据的常数。
求解方程（7），然后平台的位置和方向可以通过三个球形接头的中心确定。
4. 雅克比矩阵和自由奇点的最大工作空间
4.1 基于螺旋理论的总体雅克比矩阵
2RPS-2UPS并联机构平台的缠绕运动可以分解为每个肢体的的缠绕运动。
其中Sp表示整个平台的缠绕运动，Sij（j=1,2,3,4,5,6）表示第i个肢体的第j个单元体，li是肢体i上棱形关节的距离，Oslash;ij(j=1,2,3,4,5,6)表示肢体上一般关节与球形关节的比例。所以通过暂时锁定活动关节并对方程（9）两边取倒，求得一下表达：
其中x=（1,0,0）T，ui是肢体的单元方向向量，ia是输入系数，J是6times;6整体雅克比矩阵，前四排是雅克比矩阵Ja的数据，后两排是雅克比矩阵Jc的数据。0决定并联机构的整体雅克比矩阵的速度映射和奇异配置。由于某些机构布置的对称性，如肢体2和4，并且所有关节的设计都是在同一个基座和平台上，所以可以运用奇异性方程来对矩阵进行简化来求解。
4.2 无量纲雅克比矩阵的性能分析
由于2RPS-2UPS并联机构有两个平移和两个旋转运动，驱动雅克比Ja涉及线性和角速度映射，因此它的奇异值不在相同的单元并且它的条件数不能直接用于运动学性能评价。因此，一个无量纲雅克比矩阵被引入。一种方法是将平台速度映射到某些运动点的线速度上，该映射在线性平台点速度和肢体输入之间提供了一个统一的单元。考虑到2RPS-2UPS并联机构的运动，平台上三个点的四个线速度被选中，如图4所示。
图4 平台上点的选择和方向的确定
为了表达沿y轴和z轴的两个平移运动，在orsquo;点沿n1=(0,1,0)和n2=(0,0,1)的两个线速度被选中，对于沿x轴和y轴的两个旋转运动，在P3点沿n3=(0,1,0)和P4点n4=(0,0,1)的两个线速度被选中，然后将这些线速度通过在平台坐标内的平台速度来表示：
其中vi是被选定点沿ni方向的线速度。
i=(1,2,3,4),并且Pi是被选定线速度的方向向量,P1=P2=(0,0,0),P3=(0,0,a1),P4=(-a1,0,0).
通过方程（10）可以得到：
结合方程（11）和方程（12），选定的线速度的值可以直接通过线性输入方程得到。
其中是4times;4无量纲矩阵。
4.3 参数化和奇点轨迹
从第4.1部分可知，整体雅克比矩阵J在操纵者和输入者之间的速度映射满足几何约束，一旦机器人复合奇异配置，这个关系模型就会失去其功能，并且雅克比矩阵的阶数会小于六，这也可以解释为四个驱动力和两个约束力在矩阵中是相互制约的。反之，在工作区中识别为从属条件的约束力将揭示机器人的奇异配置，这可以通过采取行列式将矩阵归零来进行分析。
为了说明在统一单元中的奇点轨迹
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资料编号：[152014]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
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