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在考虑跨单元运输和柔性路径的条件下工件的多单元动态调度方法
摘要：针对具有柔性加工路径和需要访问多个作业车间内机械的特殊零件的调度问题，本文提出了一种使用群体智能的信息素方法，其中启发于蚁群算法（ACO）的各种类型信息素作为各个部分交流的基础。通过消除多余路径和构造联盟代理，降低了信息传递损耗和协商复杂度。更重要的是，优化了调度的整体表现。通过实验来验证了PBA算法的表现，实验考虑的因素包括平均完工时间，最大完工时间，平均迟到，延误的部分比，单元间移动比例。计算结果表明，在性能措施方面本文提出的PBA算法明显优于许多启发式算法。
- 介绍
单元制造系统（CMS）的问题大致可以被分为两个部分[1,2]和单元操作。单元设计包括单元信息和单元布局，单元操作包括单元制造系统中的计划和调度。在这些问题中，调度问题是实现有效单元制造的关键问题。然而，这一领域相对于单元设计问题还没有被广泛研究。在单元中的调度目标是确定零件在零件组中的序列从而优化某些参数，比如如完工时间，总加权完工时间，总加权延迟等等。目前存在两种单元布局：流水线布局和作业单元布局。因此单元制造系统的调度问题也应该针对流水线布局和作业制造布局分别提出。
大多数研究者在流水线制造单元中解决这一问题。Baker在一个包含两个机械的流水单元中考虑这个问题，他考虑了时间滞后和序列独立启动时间[3]。Wemmerlov和Vakharia提出了在有三台及以上机器的流水线制造单元中，零件族调度的两步骤启发式方法，并且这两个过程都是整个零件族在流水车间调度的扩展[4]。Skorin-Kapov和Vakharia提出了六步骤的禁忌搜索启发式算法。Sridhar和Rajendran提出了一种在流水线制造单元中以完工时间最小为目标的遗传算法。Logendran等人和Schaller调查和比较了几种在流水单元中调度零件族中零件的组合式启发式算法的表现[7,8]。Reddy和Narendran提出了一种启发算法，该算法在零件调度过程中考虑了序列依赖开始时间，从而提高了流水线单元中机器的使用[9]。Logendran等人提出了一种在柔性作业单元中使完工时间最小的LN-PT方法，从而解决机器的单一设置和多重设置[10]。Logendran等人提出了一种禁忌搜索算法，解决了在柔性作业单元中具有序列依赖性的成组调度问题[11]。Gupta和Schaller提出了一种分支定界法，该方法能够解决在流水线制造单元中具有独立开始时间的模型速率扩展问题[12]。Hendizadeh等人提出了一种使完工时间和有序列依赖的开始时间最短的禁忌搜索元启发方法[13]。Venkataranmanaiah提出一种模拟退火算法，该算法最小化完工时间、总流动时间和空闲时间三者加权的三维目标[14]。Zandieh等人提出了一个以禁忌搜索、模拟退火和遗传算法为基础的三步骤元启发式方法，并且将该算法应用于有序列依赖安装时间的成组调度中[15]。Karimi等人提出了一种在柔性作业车间中通过优化完工时间和总加权延迟时间的多相位遗传算法[16]。Ying等人考虑了在有序列依赖设置的流水制造单元那种的置换和无置换调度。Lin等人提出了基于禁忌搜索、模拟退火和遗传算法的三步骤元启发方法，解决了无置换并且存在序列依赖安装时间的流水线制造单元中的调度问题[18]。Zandieh和Karimi提出了一种自适应群遗传算法，该算法通过同时最小化总加权延迟时间和最大化完成时间，解决了在具有序列依赖开始时间的混合柔性流水车间中的多目标调度问题[19]。Sakmasi等人使用最小化总流水时间的数学规划模型解决了流水单元的成组调度问题[20]。
一些学者解决了在作业布局制造单元中的调度问题。Mahmood等人提出只能调度启发式算法，该算法注重于交货期的限制同时减少在作业布局制造单元中的总体安装时间[21]。Tsai和Li提出了一种基于交货期的启发式调度算法，该算法应用于以能力约束资源为基础的在车间作业单元制造系统[22]。Naumann和Gu将模糊调度应用于单元制造中[23]。Bo等人加入以成组科学为基础的模糊约束，在此基础上考虑调度问题[24]。Gou等人提出一种基于拉格朗日松弛的方法来解决在车间作业单元中的问题[25]。Kesen等人提出一种基于启发式方法的遗传算法来解决虚拟制造单元中的调度问题。
以上研究都是在单元内部进行而没有考虑跨单元移动。所有零件制造的机器需求理想上可以在一个制造单元内实现。然而，在现实中这很难实现，因为不同单元中的零件生产可能需求特殊机器[27]。尽管这个难题可以通过购买额外的机器实现，但是经济上很难实现一个单元独立制造。因此，在两个或以上的单元间运输零件是很常见的。需要在两个或两个以上单元制造的零件在本文中成为特殊零件。这种额外的零件运输被称为跨单元运输。这种特殊零件造成的单元间运输行为打破了独立单元制造理论，但是对于在制造中减少生产成本是很有必要的。所以我们需要去研究在多个制造单元间的调度[20]。目前已经有一些调度问题的研究考虑了多制造单元和跨单元调度。
一些研究者在多流水线单元中考虑了跨单元制造问题。Yang和Liao提出一个分支定界法来解决这一问题[29]。他们提出了一个包含两个加工单元的制造系统，并且在每个加工单元中每个加工零件只存在不超过一个的可加工机器。然而，一个制造系统中经常包含多个加工单元而且每个零件可能在每个加工单元中有多个可加工机器。Solimanpur等人提出了一个启发式方法来解决这一问题并且通过对比LN-PT方法来验算法表现[30]。Tavakkkoli-Moghaddam等人提出了一个同时考虑了完工时间、跨单元移动，延迟时间和序列依赖安装成本等多目标的分散搜索算法[31]。他们将这一问题分为两个子问题：决定零件次序的内部调度一集决定单元次序的跨单元调度。
一般来说，每个零件有不同的加工机器次序需求。一些研究者在多车间作业单元中解决跨单元调度问题。Tang等人提出了一个非线性规划模型和一个基于分散搜索的元启发方法来解决这一问题[1]。基于Tang提出的模型，Elmi提出了一个整数线性规划模型和模拟退火算法来解决这一问题，在算法中零件可以与机器非连续的多次匹配[2]。
然而，从以上研究可以发现跨单元路径已经被认知和解决。事实上，在实际生产中更常见的是由于机器的重叠能力，一个工序可以由多台机器执行，这被Lin和Solberg定义为柔性路径[32]。尽管柔性路径在现实中是很常见的，但是他们还没有将其加入跨单元调度问题中。
因此，本文解决具有柔性路径的跨单元调度问题。据我所知，这是第一篇同时考虑柔性路径和跨单元调度的文献。
针对加工柔性，本方法的解决方案分为四个步骤：启发式规则、软计算方法、智能群系统以及以上方法的组合。
启发式规则：在具有柔性路线的动态调度中启发式规则已经被多个研究证明有效。在这些方法中，使用当前阶段生产状态来计算每个加工操作的优先级。根据优先级索引，选择指定操作集中的一个操作作为接下里的路径和工序。Tunali 在选择机器过程中，使用了11种启发规则，并使用了先进先出规则来排序零件[33]。Subramaniam等人提出了应用于动态作业车间的三种机器选择规则[34]：最低成本、最小平均加工时间以及综合考虑最低成本和加工时间。在这种规则下，通过四种调度规则进行零件排序：随机、先进先出、最早结束时间和最短加工时间。Tuncel通过启发式规则为具有柔性加工路线的零件选择了合适的加工路径[35]。
软计算方法；软计算法主要以非精确、非确定性和接近最优为特征。Jawahar等人[36]、Morad和Zalzala[37] 和Candido等人[38]使用遗传算法解决调度问题。Xia和Wu针对多目标柔性作业车间调度问题提出了一个混合方法，该方法将粒子群算法和模拟退火算法结合[39]。Zhang等人将改进的粒子群算法和禁忌搜索算法相结合来解决有几个目标冲突和不可比较的多目标柔性车间调度问题[40]。
多代理系统：MAS方法优势在于真实时间规划以及调度过程中有良好的的灵活性和鲁棒性。一个多代理系统通过代理系统之间的协调来实现灵活性和鲁棒性发。Lin和Solberg提出了一种基于自主代理的综合作业车间和模拟系统来探索路径的灵活性[41]。基于协商协议和买入价格来调整算法，代理之间协商来分配工作。MacChiaroli和Riemma提出了一种以竞争为基础的迭代模型来解决动态制造调度问题[42]。模型中代理实现了一种基于不断出价竞争的迭代过程来解决调度问题。Wang和Usher将工序和机械都作为代理建模，工序和机械之间使用合同网协议进行协商[43]。Siwamogsatham和Saygin提出了一种以排位为基础的的迭代算法，该算法用于解决带有替代路径的柔性调度制造系统的真实时间调度问题[44]。在Rajabinnasab和Mansour的论文中阐述了一种多代理调度系统来解决考虑了动态事件的柔性制造车间中的调度问题[45]。他们提出了一种基于信息素的方法来协调代理人。
接下来的文章内容如下：下一个部分中进行了问题的描述。第三部分中详细阐述了基于以上定义和定理的PBA算法。在第四部分中进行了一系列的实验并列出了计算结果。在第五部分中展示了最终结论。
2.问题描述：
一个单元制造系统包括了许多制造单元。构成每个制造单元的零件族或族群以及相关的机械族已经被确定。机器被限制在每个单元之中，本文中的所有零件均为特殊零件。
2.1假设
本文中考虑的调度问题是基于以下假设；
零件动态到达。
每个零件都有许多加工工序以及需要在两个或以上单元的机械上加工。
由于机械的加工能力重叠，零件可以有替代的加工计划。然而，每个确定的工序在每个制造单元中只有不超过一个机器可以加工。
每个零件都有一个代表期望完成时间的截止日期。机器上的加工时间是已知的并且是固定的。安装时间和加工时间与加工次序无关并且安装时间包含在生产时间中。
每个零件的跨单元运输时间可能是不同的。与跨单元运输时间相比，单元内部运输时间可以忽略不计。
每个机器只能同时生产最多一个零件。
每个工序是没有先后顺序的的。
整个过程中没有材料短缺和缺少工序。
为了更方便阐述这一问题，范例如下。表一中描述了一个制造单元中的零件和机器负荷矩阵。其中的数据包括每个工序的加工时间以及每个零件的加工路径。从表一中可知，
表1
零件1的大部分的工序（O11-O14）可以在同一个单元（单元1）内加工。然而，工序O15和工序O16需要在另一个单元加工，因此就产生了跨单元运输。特别是因为单元3中的机器M8和单元4中的机器M11都可以加工O16.有两条跨单元路径产生（R1=1-2-3和R2=1-2-4）。表二展现的是每个零件的柔性加工路径。因为单元内部运输时间和跨单元运输时间相比可以忽略不计。跨单元运输时间被设定为每个零件1s。假设每个零件到达时间为0,1,2,3。图1展示的是一个可行解的甘特图。
表2
图1
2.2符号列表
采用以下符号来描述此问题：
索引：
I台标零件种类（i=1，hellip;，N）
J代表零件工序（j=1，hellip;，J（i））
C代表加工单元（c=1，hellip;，C）
M代表加工单元c中的机器（m=1，hellip;，M（c））
参数：
Oij代表零件i的第j个工序
Ui工序Jrsquo;和工序J都是零件i的加工工序，工序Jrsquo;优先于工序J
t代表提前被计算了的时间
Pijm代表零件i在机器m上进行工序J的加工时间
di代表零件i的完成时间
Tri零件i在跨单元运输时间
Hm，mrsquo;机器m和另一个单元中机器mrsquo;之间的运输距离
决策变量：
Sij表示零件i的工序j开始时间
Cij表示零件i的工序j的完成时间
Interi代表零件i跨单元运输的次数
2.3目标函数和约束条件
根据以上的假设和符号，解决该问题的数学模型如下：
解决调度问题的目标是使完成时间、拖延时间和平均跨单元运输次数最小，因此提出以下了目标函数公式1~3：
最小化 （1）
最小化 （2）
最小化 （3）
实际生产具有许多独特的特点，必须受到一些限制。 我们在数学上描述下面的特征和约束。
约束（4）描述的是每个零件至少有一个工序可以在两个或以上的单元将，从而使零件有可替代的制造计划。
（4）
约束（5）描述的是对每个加工工序来说，在每个加工单元中至多有一个机器可以加工
（5）
约束（6）描述了alpha;和beta;之间的关系。如果在加工单元中没有机器可以加工该零件，那么这个零件不能再该单元加工
（6）
约束（7）描述在同一时间一个零件只能在一个单元内加工
（7）
约束（8）描述了对工件的任何一个工序来说，如果零件可以在同一个单元内加工，
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