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新物理学杂志
基于局部共振声子板的带隙
摘要。利用有限元方法，研究了一种单层或双层短柱周期性地沉积在薄均质板表面的新型声子晶体（PC）结构的声学特性。数值结果表明，局域共振机制可以打开兰姆波的极低频带隙。我们发现，这种BG的宽度很大程度上取决于树桩的高度和横截面积。给出了振动模态的位移场分布，解释了模态耦合如何引起BG的开度。在我们的声子结构中，打开LRBG后的物理现象可以用一个简单的“弹簧质量”模型来理解。
内容
1.一个简单的树桩：硅橡胶树桩。
2.一种复合短管：带铅帽的硅橡胶短管。
弹性波在被称为声子晶体（PC）的周期性复合材料中的传播在过去十年中受到了广泛的关注[1]–[7]。由于声带隙（abgs）的存在，PC机的结构可以有许多潜在的应用[4，6，7]，产生abgs的主要机制是基于布拉格散射和局部共振（lr）[8]–[11]。对于第一种机制，bg通常属于结构周期阶的波长区域，而对于第二种机制，由与散射单元相关的共振频率施加的共振，它取决于结构的周期性和对称性。一般来说，基于这种机制的ABG频率范围可以比频率范围内通常的布拉格间隙低近两个数量级。Liu等人[8]首先介绍了LR机制。他们证明了在三维（3D）PC中极低频率存在BG。其他研究人员也对这种行为进行了研究[9，10]，[12]–[17]。在以往的LRPC研究中，所提出的结构都是由具有软材料的LR单元或具有软材料涂层的重芯的LR单元构成，嵌入硬矩阵中，形成二维或三维无限系统，在其中可以获得体波的低频ABG。近年来，徐、吴[9]和肖等[11]研究了一种二维LR薄板结构，认为在弹性薄板的周期性钻孔中填充软橡胶也可以获得兰姆模的LR ABG。另一方面，Wu等人[18]和Pennecet等人[19]独立报道了短柱板的弹性行为。所研究的结构与本文将要研究的结构相似，但我们将毫不犹豫地指出，ABG在其模型中的打开不是由于LR机制造成的。关于LRPC的应用，一些参考文献[16，20]对一些与低频BG相关的有希望的应用作了介绍，本文将介绍一种新型的LRPC板，并表明，与[9，11]中所建议的模型相比，我们的系统可以更容易地准备，物理行为也可以更清晰地呈现。如图1所示，研究系统是通过将圆筒lr短柱垂直放置在薄弹性均质板（由环氧树脂制成，整个研究中厚度e等于0.05a）的表面来构建的。将考虑两种LR短管：一种简单的短管，由一层软硅橡胶气缸制成，另一种复合短管，由硅橡胶气缸上的铅（Pb）层制成。柱头的厚度h=h1 h2，其中h1和h2分别是硅橡胶层和铅层的厚度，以及其横截面的半径r。对于一个简单的存根，这意味着只考虑硅橡胶，我们将有h2=0。我们的计算是用有限元方法，利用COMSOL多物理，在周期性边界条件下进行的。材料密度和纵波和横波速度分别为rho;=1180 kg mminus;3，cl=2534 m sminus;1和ct=1157 m sminus;1 环氧树脂，rho;=1300 kg mminus;3，cl=24 m sminus;1和ct=6 m sminus;1对于橡胶和rho;=11 400 kg mminus;3，cl=2160 m sminus;1和ct=860 m sminus;1对于Pb[9，13，21]。在有限元方法中，空间网格的大小必须适应于解的变分行为。使用的网格尺寸越小，可以获得的计算收敛性越好，但必须使用的计算时间越长。因此，选择一个能使我们在可接受的计算时间内有足够好的收敛性的自适应网格是很重要的。在我们的模型中，由于橡胶比环氧树脂和铅更软，因此位移场在橡胶中显然更为重要。因此，在橡胶域中的网孔尺寸必须比为环氧树脂或铅域选择的更细（图1）。对于主题元素，我们选择了comsol multiphysics 3.5a提供的默认四面体网格。
图1。所研究的PC的示意图，由沉积在环氧树脂板上的圆柱形网格（单层橡胶的短柱或带铅帽的橡胶层）制成。短柱的半径为r；h1和h2是短柱的两个不同层的厚度。h2=0只表示单层简单短截线，由于结构的周期性，只考虑一个单元单元。根据布洛赫-弗洛奎特定理，我们使用自由曲面的无应力边界条件和最近单元单元单元单元间界面的周期边界条件，ui（x a，y a）=ui（x，y）eminus;i（kx a ky a），其中i=x，y，z和kx和ky是布洛赫波矢量。作为收敛性的测试，r=0.03a，h1=0.5a，h2=0的系统在点（kx/2=0.01a，ky=0）处的固有频率是网格单元数的函数，从图2可以看出，当使用3000个网格单元时，可以获得良好的收敛性。
一个简单的存根：硅橡胶存根图2显示了兰姆波的带结构，在一个简单的硅橡胶存根环氧板。对于不同的贴图，圆柱形短柱的半径分别为r=0.3a、0.36a、0.4a和0.48a，其中a是晶格常数。对于所述的所有结构，短柱的厚度为h=0.5a。可以观察到，除了剪切、对称和反对称兰姆振型的传统平板振型外，还可以找到许多非平面振型，即能量主要集中在软短柱中的共振振型。因此，由于上述两种模式的耦合，ABG出现了。该系统中打开的ABG在频率范围内比布拉格散射机制低两个阶。这意味着我们实际上处于LR机制的存在之中。图3显示了打开这样一个ABG的关键点之一，即获得与兰姆模耦合的低共振“平带”。这意味着，为了获得具有所需频率位置的ABG，“下卧平带”的位置应可由结构调整。然而，从图中可以明显看出，“平带”的位置与圆柱半径r无关，这意味着，要得到低频abg，需要改变结构的另一个可调参数h（圆柱厚度）。在进行此操作之前，我们要对存根中的模共振行为进行定性估计。请注意，共振模式在短柱中是强局部化的。它们的共振频率可以用孤立的“弹簧-质量”模型[15，22]粗略估计：f无限接近radic;k/m，其中k是有效弹性常数，m是子质量。假设橡胶的单位面积为k0，单位厚度为h0，则截面为s，厚度为h的短柱应具有有效弹性常数（s/s0）/（h0/h）k0（对于简单短柱，我们的h2=0）；增加短柱的横截面是增加有效弹性常数的一种手段。但是，由于同时我们还得到了m=rho;sh，其中rho;是橡胶的质量密度，因此短柱中的共振频率f应独立于r。相反，基于上述讨论，短柱的厚度可以有效地调整“平带”的位置。我们需要注意的是，在图3（r=0.36a）中，我们有两个abg，由一个平带分开。
在图4中，我们分别给出了h=0.1a、0.2a、0.4a和0.5a的系统的带结构。所有的系统都是固定的，r=0.48a，从中我们可以看到，实际上，随着h的增加，“平带”被压入低频区。然而，我们必须指出，要在足够低的频率下打开ABG，必须考虑得到的低频“平带”，即共振带和AMB模式也非常重要，因为只有当“部分”打开的DBG可以相互重叠时才能获得ABG。从图3和图4中，我们发现共振“平带”只能选择性地耦合到平板模式；模式耦合的关键点是颗粒的切变在界面上应具有相同的位移运动。对共振模式的弹性位移分布进行了详细的数值计算。然而，在所考虑的频率范围内，短截线中有三种振荡：“伸长”模式、“剪切”模式和“呼吸”模式。如图5所示，“伸长”模式的位移在X和Y方向对称，且不为零（图5（c））。“剪切”模式的位移沿x或y方向（分别参见图5中的模式“a”和“b”）。然而，对于“呼吸”模式，位移沿x和y方向对称，Uz几乎为零。我们知道，在低频区，S0和SH模式的主导表面运动主要是平面内运动，因此可以耦合到“剪切”模式。对于a0模式，主要的表面运动是Uz但是Ux稍小，因此它可以同时与“伸长”（图5中的模式“c”）和“剪切”模式耦合。最后，对于“呼吸”模式（图5（d）），没有板模式可以与之耦合。图3还表明，ABG的宽度取决于短截线R的半径。在具有中等R的系统中可以获得相对宽的ABG。从板和短截线之间的接触强度方面可以理解这种行为。在短柱具有较大R的系统中，短柱与板的接触很强，共振模的能量在短柱中的局部化程度较低，近短柱之间的相互作用成为可能。因此，周期结构引起的多次散射出现，导致了ABG宽度的明显调整。
图4。带结构的PC与简单的存根。选择H=h1=0.1a、0.2a、0.4a和0.5a作为残茬的厚度，通过固定R=0.48a得到所有的结构，由此我们可以清楚地看到随着H的增加，“平带”被压入低频区。
图5。图3中标记为（a）–（d）的模式的位移分布。可以清楚地看到，模式（a）和（b）具有“剪切”振荡，（c）具有“伸长”振荡和（d）具有“呼吸”振荡。还检查了图3中的其他点（e）–（g）等。
2.复合短管：带铅帽的硅橡胶短管。
在分析简单短截线的情况时，我们可以期望“平带”的频率也可以通过短截线顶部的额外重质量来改变（pb用作系统的帽），这意味着可以使用复合短截线来实现这一目的。在这种情况下，由于带帽铅的刚度远大于橡胶的刚度，铅帽可以被视为“刚性”体，因此短柱的有效弹性常数主要由橡胶层决定，添加铅帽的唯一效果只是声纳总质量的变化。因此，“平带”也可以通过增加PbH2的厚度（实际上是通过增加短棒的质量）或仅增加橡胶h1的厚度（同时增加质量和降低有效弹性常数）压入低频区。在图6中，我们给出了具有固定短柱厚度（h=h1 h2=0.1a 0.3a）但r=0.3a、0.36a、0.4a和0.48a的系统的带结构。由此我们可以看出，对于r=0.48a的系统，出现了一个相对较宽的abg。在图7中，我们给出了固定r和h1（r=0.3a，h1=0.1a）存根的带结构，但对于h2=0.1a、0.2a、0.3a和0.4a，分别给出了带结构。由此，我们可以清楚地看到随着H2的增加，“平带”被推入低频区的趋势。
图6。与图3相同，但对于复合存根。对于所有这些系统，橡胶和铅层的厚度分别固定在h1=0.1a和h2=0.3a。我们发现，当r=0.48a时，可得到omega;a/ct=0.04附近相对较宽的abg。
为了证明添加盖子的效果只是谐振器总质量的变化，我们还在图7（情况h2=0.3a）中给出了钢[19]覆盖的短截线的结果（而不是Pb，但总质量与Pb盖子相同）。我们可以看到，虽然帽的弹性常数不同，但两种带结构有很好的重叠，这意味着，无论是铅还是钢，帽材料都可以被视为一个“刚性”体，只起到质量的作用。从上面的讨论中，我们可以看到带复合短柱的系统可以被视为一个特殊的C。简单短截线系统的ASE：改变铅帽的高度可以改变谐振器的总质量，但不会改变有效的“弹簧常数”，只会导致共振频率（平带）位置的偏移。在这种情况下，为了调整lr abg的宽度，我们必须通过改变橡胶层的温度来改变兰姆和共振模式的耦合强度。值得注意的是，正如引言中提到的，最近，Wu等人[18]和Pennecet等人[19]独立地报告了短接板的弹性行为。所研究的结构与本文介绍的结构类似，但不是使用非常软的橡胶短管，而是在薄板（分别是铝和钢）上使用硬短管构造结构。在这里，我们认为在他们的模型和我们的模型中打开ABG的机制在某种意义上是相似的：这两者都是兰姆模式和存根模式之间耦合的结果。然而，两者之间的差异也很明显。关键的区别在于，与Wu和Pennec的模型相比，我们的模型中的兰姆模式和存根模式之间的耦合非常弱，因为板和存根之间的“链接”较弱，导致存根模式的强局部化（以及一个大质量因子（q））。然而，在WuandPennec的模型中，兰姆模和短截线模之间的耦合很强，导致Q很小，这意味着短截线模的共振频谱很宽。因此，在我们的模型中，即使是通过一个共振耦合也可以得到ABG，但是在Wu和Pennec的模型中，共振耦合非常强，这是一个布拉格散射过程，这意味着必须使用周期结构来获得ABG。另一个问题是，基于ABG的LR通常比基于Bragg散射过程的LR窄，同样可以理解为：小（大）Q因子意味着尖锐（宽）频谱，当板和短柱中出现模式耦合时，会导致窄（宽）ABG。
图7。与图4相同，但对于复合存根。对于所有现有地图，不同地图的橡胶层厚度和半径固定为1=0.1a，r=0.3a；Pb层厚度ish2=0.1a，0.2a，0.3a和0.4a。对于h2=0.3a，钢/橡胶（红色分支）和Pb/橡胶（黑色分支）短柱的带状结构具有相同有效质量的良好重叠。用h2steel=h2·rho;pb/rho;steel表示。
最后，与肖等人[11]报告的结果相比，模型和结构与本参考文献中描述的主要区别在于PC形状和所用的数值方法。这两个结果都可以用“弹簧质量”模型来支持。实际上，在[11]中，所得结果表明，使用平面波展开法，我们可以通过调节一些物理参数来打开和放大基于lr机制的弯曲振动bg。该结构由板内嵌入的谐振单元组成。在我们的LR短板中，由于我们可以分别改变有效的“弹簧”常数和总质量，因此可以更容易地理解LR的物理特性。因此，在本研究中，我们研究了用一层简单的软短板和两层共层材料在两个短板中打开LR ABG的机理。临时存根。为了在结构中获得这种ABG，不仅需要通过调整软端头的厚度和横截面或在软端头上增加一个重帽来获得低频平面谐振模式，还需要在端头中的局域模式与板中的兰姆模式之间进行模式耦合。打开一个非常低频ABG让位给一个新的方法来处理所谓的声学超材料。
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[1] Martinez-Sala R, Sancho J, Saacute;nchez J V, Goacute;mez V, Llinares J and Meseguer F 1995 Nature 378 241<!--
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