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厚环形扇形板的横向振动
- Xiang，K. M. Liew，S. Kitipornchai
文摘：研究不同支撑边界条件下厚扇形板的自由振动问题。瑞利-里兹法是用于能量的方法，包括剪切变形和转动惯量对导出的特征方程进行求解。数学上完整的两维多项式集（P-2）作为容许位移和转动函数。引入基本函数（B）来满足规定的自由，简支和固定支撑边界条件。这导致瑞利-里兹法得到厚扇形板不同半径（截断率）、扇形角、相对厚度比、不同边界条件下沿径向和圆周边缘的解。目前的结果尽可能地与公开文献中现有的公开的值进行比较。
引言
对薄环扇形板的自由振动问题已引起了许多研究者的关注。分析方法（Ben-Amoz 1959;Yonezawa 1962;Ramakrishna和 Kunukkasseril 1973;Rubin;1975;Bhattachrya 和 bhowmic 1975;Harik 和 Molaghasemi 1989） 和数值方法（Cheung and Cheung 1971;Lrie 1979;Ramaiah 1980;Srinivasan and Thiruvenkatachari 1983;Liew and Lamrsquo;1993）已经提出了解决这类问题的办法。然而，在实际应用中，通常需要的是厚板的解决方案，这些分析方法并不总是有效的。这是因为厚板的分析需要考虑剪切变形和转动惯量的影响。
在这些研究员中、Mindlin（1951）是最早考虑剪切变形和转动惯量对厚板振动（Mindlin和Deresiewicz 1954）的影响。剪切变形理论由Mindlin提出并到了广泛的应用，这主要是因为它在数值求解上的简单性。
环扇形板的Midlin振动已经被Kobayashi等人用贝塞尔函数分析了，还有离散化方法，有限元法如（BapuPao等人 1977；Guruswamy ang Yang 1979),和（Srinivasan and Thiruvenkatachari 1985）以及（Benson and Hinton 1976; Cheungand Chan 1981: Mizusawa 1991）也已经被用过了。
在本文中，第二页瑞利-里兹法（(Liew and Wang 1992等人，在出版社，1993）是适用于厚环扇形板的自由振动问题。该解决方案采用了经典的瑞丽-丽兹方法，数学上完整的两维多项式（P-2）已被用来作为容许位移和旋转功能函数被套用来满足自由运动边界条件；简支和固支边界用基本函数执行（B），从分段边界表达形成。
本文证明了该方法对不同半径（截断率），相对厚度比和四边边界条件的几种厚扇形扇形板的适用性和准确性。讨论了剪切变形和转动惯量对这些厚扇形板振动特性的影响。在某些可能的情况下，将计算结果与已发表的文献值比较。
瑞利-里兹分析法
考虑一个平的，厚的，各向同性弹性环扇形板厚度t，外半径、内半径，杨氏模量E、扇形角，和泊松比v如图1所示。问题是要采用Mindlin板理论确定的板的自由振动频率，板的应变能。
采用Mindlin板理论，板的极坐标的应变能(王等人 1993)可以得到如下
=板的横向变形；弯曲在径向平面坡度；弯曲分面；=板的抗弯刚度；K = 5/6 =剪切修正系数.
图1.环扇形板的几何和坐标系统
表1 环扇形Mindlin板的频率参数（SSSS和SFSF边界）
表2 环扇形Mindlin板的频率参数（SSSS，CCCC，SCSC边界）
对于简谐自由振动，板的最大动能:
（2）
其中 =角频率；P =单位面积的板密度、极坐标是转化得到一套新的无量纲坐标的关系：
（3-a）
（3-b）
将（3）替换为（1）和（2）推导出
和
环状扇形明德林板总能量泛函：
Mindlin板块的几何边界条件已经被Bliew等人给出了，对于环扇形Mindlin板，横向偏转和弯曲的斜率可以参数化
其中，PS = 1, 2，3 =度的完全多项式方程；cm，dn和El为未知系数随着给定m值的变化而变化
其中表示边AB，ε 1=BC边，n 1=CD边函数，ε-1=AD边函数，Omega;j，j=1，2，3，4，取决于下面给定的支撑边界条件。
1.关于横向位移Phi;1的基本函数
当两端是自由的 （14a）
如果两边固支或简支 （14b）
2.对于挠度的基本函数psi;r1
Omega;f=1如果两边是自由的（F）或简支（S）在Phi;方向上 （15a）
Omega;f=1 如果两边固支（C）或简支(S)在r方向上 （15b）
3.对于挠度的基本函数psi;Phi;1
Omega;f=0 如果两边缘是自由的（F）或简支（S）在r方向上 （16a）
Omega;f=1 如果两边固支（C）或简支（S）在Phi;方向上 (16b)
将总能量泛函式（9）最小化得出未知系数
表3 环扇形Mindlin板的频率参数（SSSS边界条件）
其中K＝板的刚度矩阵；M=板的质量矩阵，未知系数c、d和e 如下
表4 环扇形Mindlin板的频率参数（CCCC边界）
表5 环扇形Mindlin板频率参数 （SFSF边界条件）
对刚度矩阵K和质量m的各种元素的表达式在附件1中给出
频率参数通过求解广义特征值问题的定义得到。
结论和总结
式（17）的导数解求出振动的特征值。特征值是用无量纲频率来表示
表6 环扇形Mindlin板频率参数（FCFC边界条件）
图2.考虑边界条件
图3.环扇形Mindlin板频率参数lambda;与扇形角alpha;的变化（SSSS边界）， T/B和A / B如情况1
用一个计算机程序，对数值积分进行评估，然后用标准的EISPACK子程序求解本征函数。当泊松比和剪切修正系数K已分别为是0.3和5/6已经求出。八种不同的边界条件（即厚的扇形板，SSSS，CCCC SFSF，FCFC，SCSC，CSCS。SSCC。和FSFS）已经被考虑到了。如SFCF，代表简支，自由，固支和自由在边AB，BC，CD，和AD上，如图1所示.。
趋同与比较研究
表1显示了SSSS，SFSF边界条件下随着设置的各种数字多项式的前六阶频率参数
图3.环扇形Mindlin板频率参数lambda;与扇形角alpha;的变化（CCCC边界）， T/B和A / B如情况1
图4.环扇形Mindlin板频率参数lambda;与扇形角alpha;的变化(CCCC边界) T/B和A / B如情况2
收敛模式与瑞利-里兹法的上限行为一致。频率参数单调收敛从以上学位数集的多项式项增加。收敛速度稍快处厚扇形板（T／B = 0.20）较薄的。总的来说，当的多项式P1 = P2 = P3 = 14足以提供一个令人满意的收敛，在这项研究中，P1 = P2 = P3 = 14已进行所有的计算以确保准确的解决方案。
与先前的结果比较，有三环扇形板的侧重的边界条件（SSSS，CCCC和SCSC）。表2给出了薄的扇形板（B = 0.001），和Kunukkasseril Ramakrishnan（1973）求出的精确解。由Srinivasan和thiruvenkatachari（1983）使用积分方程，由基姆和狄金森（1989）利用瑞利利兹方法一组正交生成的多项式已经获得了大多数情况下的解。值得注意的是，由Ramakrishnan和kunukkasseril试验（1973）的alpha; = pi; / 4和A / B= 0.5的板存在收敛。对于厚环扇形板的比较（t/ b=0.10，0.20）也显示在表2。数值模拟的结果与那些由Mizusawa（1991）使用的有限元方法的结果接近达成一致了。因此，方法的正确性得到了验证。
图5 环扇形Mindlin板频率参数lambda;与扇形角alpha;的变化(SFSF边界)，T/B和A / B如情况3给的，
图6.S环扇形Mindlin板频率参数lambda;与扇形角alpha;的变化（SFSF） T/B和A / B在情况4给的
参数的研究
数值计算了不同剪切比A/B、相对厚度比T/B和扇形角A的板的频率参数A。表3-6示出了具有SSSS、CCC、SFSF和FCFC边界条件的环形扇形明德林板的前六个频率参数（情况1-4，图2），切口比A/B＝0.00001和0.4相对厚度比T/B＝0.001、0.1和0.2，扇形角alpha;=pi;/ 6，pi;/ 4和pi;/ 3，pi; / 2。这三个频率参数对切口比A / B的变化，扇形角，和板块相对厚度比T /b示于图。图3-6为四类边界条件SSSS，CCCC，SFSF，FCFC下对研究不同几何参数对振动的影响。
表7.环扇形Mindlin板频率参数（SCSC，CSCS边界条件（alpha;=pi;/4））
在图3中，我们看到SSSS，CCCC，SFSF边界条件对于任何给定的L/B和A/B比率，前三个频率参数随着扇区角度alpha;的增加而减小。对于任何给定的L/B和A/B比率，前三个频率参数随着扇区角度alpha;的增加而减小。这表明，随着扇形角A的增大，具有这些边界条件的板的弯曲刚度减小。然而，与边界条件部门环形板的结果（见图6）表明，扇形角角度的增加，一些模式的频率可能会增加。这意味着增加扇形角alpha;可能不一定导致弯曲振动频率的降低。
也可以观察到不同边界条件的影响。通过比较图3和4，很明显，对应于简支扇形板（SSSS）的频率参数比固支扇形板（CCCC）的频率参数要低得多。因此，可以得出结论，边界处的较高约束增加了板的弯曲刚度，并导致更高的频率响应。
在图5中，可以看出，截断率A / B对频率响应的影响对于SFSF环形扇形板不是很重要，但是对于FCFC环形扇形板可以观察到相反的趋势（见图6）。这可能是由于整体质量的变化和板的刚度，从而影响板固有频率参数。对于FCFC环形扇形板，很明显，当截断率A/B增加时，两个固定边增强了对板的约束。
表8.环扇形Mindlin板频率参数 （alpha;=pi;/4）（SSCC，FSFS边界）
在表7和表8= M / 4所示，相对厚度比T / B = 0.001，0.1，和0.2，和截断率A / B = 0.00001，0.2和0.4，0.5。我们可以从这些表得出，由于剪切变形和转动惯量的影响，频率参数随着相对厚度比T/B的增加而减小。频率参数的降低对于高频模式比低频率模式更为明显。这一观察与先前研究者（Mindlin 1951；MiSuaWa 1991）所得出的结论的完全一致。
结论
本文对厚环形扇形板进行了自由振动分析。将第二页Rayleigh-Ritz法推导出特征方程。在能量函数公式，用Mindlin板理论对不同半径（剪切率）的相对厚度比、扇形角和沿直边和圆周边的各种端部条件进行了参数化研究。该方法的收敛性和比较研究证实了该方法的准确性。
致谢
这项研究是由澳大利亚研究理事会（ARC）。作者要感谢WarrenH先生。Gutteridge Haskins和达维公司校对手稿的审核。也要感谢的澳大利亚访问期间土木工程系，昆士兰大学提供的援助。
附录I.
刚度矩阵K和质量矩阵M
参考文献
[1]. Bapu Rao, M. N, Guruswamy, P, and Sampath Kumaran, K S(1977).'Finitelement analysis of thick annular and sector plates. 'Int. J. Nuclear Engrg. andDesign,41(2)247-255。
[2]. Benson, P. R, and Hinton, E. (1976).'A thick finite strip solution for static, freevibration and stabilit
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