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基于半解析有限元法的衰减波频散曲线计算
Audrius Neciunas, Rimantas Barauskas, and Vitalija Kersiene
考纳斯理工大学信息学院
学生50-407，考纳斯，立陶宛
摘要：半解析有限元（SAFE）方法用于对弹性波在波导横截面沿传播方向均匀的传播进行建模，得到表示传播波的角频率与波数之间关系的频散曲线。考虑传播波的线性比例阻尼，将模拟结果与文献中可用的理论和实验数据进行了比较。
关键词：半解析有限元法；频散曲线；弹性波；复数波数
1.简介
导波具有悠久的应用历史并且被用于各种各样的领域，特别是无损检测和超声波测量。有限元方法被广泛用于波传播的建模和仿真。基于3D弹性元素的有限元结构非常适合于对复杂几何体中的波形进行建模。通过应用半解析有限元（SAFE）方法可以有效地处理诸如轨道，杆，梁，管道等无限均匀结构中的波。在这些条件下，可以很好地预测沿着均匀波导长度的波的特性[2]。
本文的目的是延伸半解析有限元法以获得阻尼波导中的频散关系。频散曲线显示波速随角频率的变化而变化。Lagasse[5]和Aalami[1]首先提出了SAFE方法。Gavric假设沿着传播波的方向的位移相对于波导横截面的二维位移场有pi;/ 2的相位变化[4]。Viola等人[7,8]进一步发展了这种技术，进一步将复杂刚度构件引入模型可使得在阻尼介质中建传播波模。本文探讨了在波动方程中使用阻尼项以便表示波衰减现象的可能性。
半解析有限元法将沿着均匀波导长度的传播波的解析解与在波导界面三维位移场的数值解相结合。与传统3D有限元法相比，半解析有限元法是以简便的计算得到结果的。同时，因为避免了沿着波导长度的位移场的多项式 [8]，它能够对非常短的波进行建模。只要沿着波导长度的形状保持一致，横截面可以是任何几何形状。相反，纯解析法仅适用于横截面为特定简单的几何形状。
2.控制方程的推导
考虑各向同性均质介质中的弹性波，在关于应变应力关系的胡克定律成立的基础上，我们说弹性传播波的半解析有限元结构动力学方程为:
， (1)
其中[M]，[U]，[K]是相应的质量，阻尼和刚度矩阵。[U]是谐波的节点复位移矢量：
， (2)
其中是振幅的真实向量，k是波数（以rad / m为测量单位的空间波特性），omega;是角频率（时间波特性，测量单位rad / s），t表示时间，i为虚部，z是沿波传播方向的坐标。位移的一阶和二阶时间导数R：
， (3)
公式（1）现在可以变为:
(4)
对于波导位移的任何点，应变和应力之间的关系可以在笛卡尔坐标系中表示为：
(5)
而
E为杨氏模量，v为泊松比。应变可以表示为：
(6)
其中
(7)
在半解析有限元法中，有限元离散化仅在波导的横截面上进行，因此得到了具有两个变量描述横截面上的振幅频率的a(x,y),b(x,y)和c(x,y)的单元形函数 [8]。
波导矩形截面的有限元离散方案如图1所示。 我们采用四节点第一顺序偶数元素，其节点位移呈现为:
(8)
其中(ak,bk,ck) 是沿着Ox，Oy和Oz方向的第k个节点的位移，Nk(x,y)是第k个节点的形函数，{de}= {a1 b1 c1 ... a4 b4 c4}T表示所有单元模型节点的位移[NN4(x,y)] 包括所有形函数：
(9)
而且
在（4）中的指数项表示时间上和沿着传播轴的谐波位移。该解是通过计算横截面上的所有节点位移a，b，c和一个包含w或k的未知项得到的。如果选择波数k作为自由参数，则获得函数w(k)。如果自由参数选择角频率w，则可以得到函数k(w)。 指数项是解的解析部分，而振幅矢量通过有限元（FE）模型得到。将这两个项组合成一个解是半解析有限元法的基本思想。 被认为是波导横截面中所有有限元元素幅度的向量。
图1 代表波导横截面的有限元素
现在单元中的应变可表示为：
(10)
通过引入矩阵 和 ,关系式（10）可以变为：
(11)
通过使用哈密顿原理，可以证明[8]中的项作为有限元元素在式(4)中可以表示为：
, (12)
, (13)
, (14)
, (15)
其中rho;是介质的质量密度。横截面的全局矩阵通过组合结构矩阵得到：
, (16)
Nel定义横截面元素的数量。
（1）中阻尼项[C]与刚度和质量矩阵成正比，则：
(17)
其中alpha;和beta;是比例系数,为了简单起见，假设阻尼与质量成比例,可以表示为:
(18)
其中mu;是材料的阻尼系数,然后得到全局阻尼矩阵：
(19)
方程式（4）的最终形式为：
(20)
求得该方程的非零解，得到对应广义特征值问题：
(21)
需要求解与波导横截面的总数自由度相等数值维数的特征值问题。特征值问题的解决需要给定的omega;或给定的k。 在波数k自由选择的情况下，特征值问题被简化为：
(22)
其中K(k)矩阵包含复数并且它的数值决定于波数k。
作为复值特征问题要解决，它的维数需加倍以涵盖真实和复杂的部分。用符号：
, (23)
式（23）可以写为：
(24)
在自由变量选为角频率w时，特征问题可以用[A]2，[B]2矩阵和{Q}向量简化为另一形式：
(25)
,
(26)
3.结果
矩形截面0.01times;0.01 m的波导，材料为密度rho;= 2700 kg/m3，杨氏模量E = 6.9times;109Pa，泊松比v = 0.32的铝。 我们研究角频率值的集合在于横截面上的网格修正在选定的1 rad/m的恒定波数下增加。 第一到第五五种模式的结果如下所示（图2）。
图2 波的角频率值omega; 在网格的波数k = 1 rad/m条件下是增加的。(a)第一和第二模式（b）第三模式（c）第四模式（d）第五模式。
同一波导横截面网格为10times;10在无阻尼情况下（等式（22）中的[C] = 0）。 在omega;对k的特征问题，（22）可以变为：
(27)
三维自由度下对omega;有363实数解。获得如图3a的频散曲线。对比同一波导（1times;1网格）的横截面元素模型在三维下有十二解，如图3b所示。F0，F1表示第一和第二模式，TO第一扭转模式，L0第一纵向模式。
图3 横截面离散度10times;10（a）和单有限元素横截面1times;1（b）下的频散曲线
同一波导用半解析有限元法表示为公式（26）。这意味着波数为未知量，循环频率为自由参数。我们研究衰减对所得的频散曲线的影响。在特征式（26）获得的波数的二维复数解。我们只要形如的结果，而这样形式的结果要被省去因为它们是无意义的，这种形式的解将意味着增加传播波的幅度（这里的a和b是相同符号的标量）。波数的虚部描述了波包的空间衰减。 波导横截面中1times;1单个有限元模型网格的结果如（图4）所示，在阻尼项中的系数alpha;有不同值被使用。结果表示波数的实部的角频率。可以认为系数alpha;必须取相当大的值才能对频散曲线有实际的影响。
图4 阻尼波导下的频散曲线(a)alpha;=0,(b)alpha;=100,(c)alpha;=104,(d) alpha;=106
与公式（25）相比，解决（26）特征问题有更多可行的物理解决方案。图5显示了通过在波导横截面中使用3times;3网格获得的结果。W(k)比k(w)提供较少的结果。在无阻尼情况下，只有传播模式的解才能从（25）特征问题得到，而（26）特征问题则需要对角频率与复数波数k进行更深入的研究。在3D空间中绘制w,Re(k),Im(k)是合适的。郝刘建议通过频散曲线曲率对三维空间中的波数进行排序[6]。我们计划在将来进一步研究这个问题。
图5 在不同条件下获得的频散曲线：omega;（k）和k（omega;）
为了测试波导模型的有效性，我们选择计算具有以下性质的铜板上的相对于圆周频率的相速度：横截面积2bull;10-2times;2.83bull;10-5m2，密度p=8500kg/ m3，杨氏模量E = 99bull;109Pa，泊松比v = 0.37。[3]中给出了在这种板中兰姆波的实验测量数据。图6给出了在无阻尼情况下通过横截面上使用2times;4网格获得的结果。这些计算结果与[3]中提出的实验结果非常接近。
图6 铜板中的角频率与相速度
4.结论
半解析有限元法为均匀横截面波导的波传播建模和仿真提供了有效的方法。横截面可以是由不同的材料或层次组成，可以是各向同性或各向异性。半解析有限元法被成功地用于获得无阻尼以及比例阻尼结构中的频散曲线，模型的收敛和获得的结果得到了充分证明。然而，需要深入了解解中获得的波数的正确排序，并将所获得的模式自动分组到适当的类别。将角频率作为选定实数的假设与强制波传播的分析相似，本文不包括其中的讨论。这个话题将在不久的将来出现。值得一提的是，在这项研究中，我们提出了一种对于阻尼非常简单的方法，它只与质量矩阵成正比。
参考文献
1. Aalami, B.: Waves in prismatic guides of arbitrary cross section. J. Appl. Mech. 40, 1067–1072 (1973)
2. Drozdz, M.B.: Efficient finite element modelling of ultrasound waves in elastic media. Ph.D. thesis, University of London (2008)
3.Gao, W., Glorieux, Ch., Thoen, J.: Laser ultrasonic study of lamb waves: determination of the thickness and velocities of a thin plate. Int. J. Eng. Sci. 41, 219–228 (2003)
4. Gavrić, L.: Computation of propagative waves in free rail using a finite element technique. J. Sound Vibr. 185, 531–543 (1995)
5. Lagasse, P.E.: Higher-order finite element analysis of topographic guides supporting elastic surface waves. J. Acoust. Soc. Am. 53, 1116–1122 (1973)
6. Liu, H.: Wave modelling techniques for medium and high frequency vibroacoustic analysis including porous materials. Ph.D. thesis, KTH Royal Institute of Technology (2014)
7.Viola, E., Marzani, A., Bartoli, I.: Modeling wave propagation in damped waveguides of arbitrary cross-section. J. Sound Vibr. 295, 685–707 (2006)
8.Viola, E., Marzani, A., Bart
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