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虚拟仪器的测量不确定性评定
摘要：这篇文章研究了虚拟仪器的测量不确定性。首先，对测量不确定性的主要来源：传感器、信号调理、A/D转换以及DSP等过程进行了详细分析研究。两种评估直接测量和间接测量不确定性的方法被提出。第一种方法通过应用物理定律直接测量变量，它的步骤包括：第一步，通过基于Gram-Chariler 级数的测量不确定度表达指南的B类评定方法来依次评估传感器、信号调理、A/D转换以及DSP的组合测量不确定度；第二步，计算它们相应的相对测量不确定度，并且用均方根值评估直接测量的全部相对不确定性；第三步，通过测量结果和直接测量的全部相对不确定性的值来评估直接测量的组合不确定度。第二种方法需要测量的变量是几个独立变量的函数；而这些变量可以直接通过各自的测量确定。变量的测量不确定度可以通过应用测量不确定度表达指南的不确定性传播法来评估。文章最后给出了一个案例研究来说明这些方法的应用。
关键词：直接测量，Gram-Chariler 级数，间接测量，测量不确定度，相对不确定度，虚拟仪器
1 介绍
虚拟仪器被广泛应用于工业、教育和其他领域。然而到目前为止仍然没有虚拟仪器能被广泛接受的标准定义，功能上它可以被视为真正的基于计算机的工具，虚拟仪器承担测量或监视的任务,并通过在电脑屏幕上的虚拟面板操作；控制数据采集，信号处理，结果展示等过程，并且由在传统仪器中的软件而不是硬件实现。
随着LabVIEW,HPVEE等虚拟仪器开发平台的出现，用户成为这些仪器的主人，这些软件的强大功能使他们能根据他们自身的需要设计和制造工具。虚拟仪器由于其成本效益、灵活性、可重用性、以及界面友好等特性而优于传统仪器。除此之外，它们能够集成许多虚拟仪器。图一展示了一个典型的虚拟仪器，它的工作原理是，物理量转化为电信号，然后在合适的频率下调节并采样，此外它们可以转换为由一个合适的DSP处理过的数字代码，。最后的结果显示在虚拟面板上或存储在计算机硬盘或其他存储介质里。
图1.一种典型的虚拟仪器结构
虽然VI有很多优点，但它仍然存在一些问题。什么因素影响虚拟仪器的准确性呢？怎样以一个经济而又可接受的方式来评估它的测量不确定性呢？为了解决这些问题，Nuccio和Spataro[1]提出了两种方法来评估虚拟仪器测量结果的不确定性。他们采用了一种数值计算方法来模拟A/D转换的物理过程，并近似的推出了一种应用测量不确定度表达指南的不确定性传播法则的理论方法。Ghiani et al[3] 也提出了一种基于蒙特卡罗概率理论的数值方法来估算虚拟仪器的不确定性，并讨论了这种方法的特点。然而在这些论文里,传感器和信号调理的不确定性并未被考虑，因此组合测量的不确定性无法评估。为了填补这一空缺，本文展示了考虑测量链的主要部分的评估虚拟仪器组合不确定性的方法。
2 虚拟仪器不确定性的来源
如图1所示，典型的虚拟仪器测量链由以下几个模块组成：
（1）传感器:传感器执行的任务是将被测变量转换为电信号。（2）信号调理辅助程序：它们承担原始信号过滤，信号放大或衰减以及将非电压信号转变为电压信号等任务。（3）数据采集装置：它的承担的任务是将来自于信号调理辅助程序的信号进行采样和A/D转换。（4）用于测量的应用软件：它的作用是进行数据采集控制，信号分析，DSP以及展示测量结果。（5）计算机:它是一个为测量提供强大数据计算和数据加工功能的平台。
显然，测量的不确定性来源于以上的五个模块，而本文只讨论了传感器、信号调理、信号采集以及DSP的不确定性。
2.1传感器的测量不确定性来源
传感器测量的不确定性很广泛，它们通常支配虚拟仪器测量链中的其他部分。传感器的通常主要的不确定性来源如图2所示。由于它具有非线性、长期稳定、滞后、可重复性、温度漂移、敏感、补偿、分辨误差等特点，厂家通常会确定一个误差在技术规格内的区间。
图2.传感器的不确定性来源
2.2信号调理的测量不确定性来源
信号调理的测量不确定性来源如图3所示，同样的，有非线性,长期稳定、温度漂移、补偿和增益等特点，厂家也确定了一个误差在技术规格内的区间。
图3.信号调理的不确定性来源
2.3 A/D转换的测量不确定性来源
A/D转换的测量不确定性来源如图3所示，一样的，它具有非线性、长期稳定、温度漂移、补偿、分辨误差等特点，厂家也规定了一个误差在技术规格内的区间。而量化误差在plusmn;0.5 LSB（最低有效位）的范围内。通常噪声误差也能在技术规范内以一个均方根值的形式获得。设置的时间是信号被放大达到一个确定的精度并保持在规定的精度范围内所消耗的时间，并且它的误差也可在提供了最大采样频率和全面的步骤的规范内得到。它的串扰是由多通道采集的各通道之间相互干扰引起的，它的误差也能在规范内得到，并且能够表示为信号均方根值和干扰信号均方根值之间的最小比例。时间抖动与信号的衍生品有关，在最坏的情况下它的不确定性可以由下面的表达式计算得到：
（1）
其中是信号的最大频率部分，是孔径抖动的均方根值。
图4.A/D转换的不确定性来源
2.4 DSP的测量不确定性来源
DSP的测量不确定性主要有两个来源，即它与DSP算法的偏差及舍入现象有关。前者，也称为截断偏差，是由测量算法实施的有限性引起的，并且表示真实测量结果和仪器应该产生的的理论响应之间的绝对偏差。截断误差要随处理的问题改变而改变。舍入现象是由微处理器的有限字长引起的，它会发生在每一个用浮点表示法执行的乘法和加法中，舍入现象引起的不确定性可分别由方程2和3评估。它也会发生在以定点表示法执行的每一个乘法运算中，其不确定性可以由方程4确定。
（2）
（3）
（4）
其中用来表示小数部分的位数，p因子取决于舍入现象发生的概率，表示固定的字长。
3 评估直接测量的组合不确定性的方法
当能得到传感器、A/D转换和DSP的不确定性时，虚拟仪器的测量评估就能进行。然而评估方法也随着测量方法的变化而变化。测量本身可以分为直接测量和间接测量，前者指通过直接应用物理定律对目标参数进行测量，如通过应用霍尔效应测量电路的电流；而后者指通过对几个参数的数学变换进而对目标参数进行测量，而这几个参数包含在目标参数里并能通过依次直接测量获得。一个典型的例子就是通过计算电流以及电压对功率进行测量。因此有不同的方法来评估直接测量与间接测量的不确定性。
就直接测量而言，其测量的不确定性来自于传感器、信号调理、A/D转换、以及DSP。因此，有必要依次对这四个部分的综合不确定性进行评估，进而计算出总体测量的不确定性。对于上述每一个部分，它所有的误差源可以被认为是随机的、相互独立的，所以测量其组合不确定度的方法转化为确定N个相互独立的随机变量的组合不确定度的问题。因此，这个问题将下面的文章中讨论。
3.1评估n个相互独立随机变量的组合不确定性的方法
假设有n个相互独立的随机变量，置信区间依次是（i = 1，2，...，）。因此，随机变量 的标准不确定度i为：
（5）
其中是能通过随机变量在区间的概率分布规律而决定的置信系数。主要的规律是正态的，矩形，三角形，U型分布，它们相应的置信系数依次是3、、、。
从理论上来说，如果能够得到所有的概率分布规律，那么组合概率分布就能通过对这些分布的n-1卷积的方式获得，从而获得相应的置信系数。然而，这种方法是不适用的，因为它是难以计算的多重卷积。因此，下面提出了基于Gram-Chariler级数来评估组合置信系数这种合适的方法。
3.1.1 Gram-Chariler 级数
设f（x）表示随机变量X的概率分布密度，并假设其数学期望Ex为0，其差异。函数可以用Gram-Chariler级数展开，表达如下：
（6）
其中
. . . （7）
且
. . .
（8）
称为埃尔米特多项式，它有以下的正交性：
（9）
将式子7代入式子6
（10）
系数可通过用乘以式10求得，之后将它们的结果整合在区间之内，同时要注意埃尔米特多项式的正交性：
因此，
（11）
所以，
. . .
其中， （12）
（13）
（14）
被称为偏置系数，它用来描述函数f（x）的对称性，它是变量t的第三中心距。如果f（x）是对称的，那么。Ce被称为峰值凸系数，用来表征函数f（x）的凸性，它是变量t的第四中心距，gamma;称为偏置峰值系数。
关于函数f（x），把和代入公式10：
（15）
因此函数可以扩展成正态分布密度和它的各阶导数的和。由于这种扩张的唯一性，可以利用式子15确定系数。
3.1.2置信系数与偏置峰值系数gamma;之间的关系
假设变量x的置信限度是e，如果置信水平（称为显著性水平）被确定，那么置信系数就根据定义得到。因此，置信系数与偏置峰值系数gamma;之间的关系可由式子15决定，同时要注意函数的对称性。
（16）
在式16右边有无限项。然而，只考虑前两项以便获得和gamma;之间的近似关系。
对于密度函数，存在：
既然，那么存在：
（17）
因此，对于正态的、均匀的、三角形、双三角形、弧，两点，和椭圆分布，存在：
正态分布： ；
均匀分布： ；
三角形分布： ；
双三角形分布： ；
弧分布： ；
两点分布： ；
椭圆分布：
因此，通过以上分布及公式16能得到表1.
如果能得到一个确定的分布偏置峰值系数gamma;，并且明确在相应置信区间内的显著性水平，那么可由表1中的数据近似确定置信系数。
3.1.3确定组合不确定度的方法
假设所有的误差变量是相互独立的。这些变量的和的分布密度函数也能被扩展成Gram-Chariler级数，并且只要能得到偏差峰值系数gamma;及置信度水平，那么置信系数就能由表1数据近似确定。因此，下面的理论可用于gamma;的测定。
定理：n个独立误差变量的第四中心距可由下式确定：
（18）
表1.置信系数与偏置峰值系数gamma;之间的关系
其中和（i=1,2）是变量的第四中心距和方差。
证明：（通过数学推导）
- n=2
设
既然和是独立的且，
（19）
因此，当n=2时定理成立。
- 假设当n=k,i,e时定理成立
根据式子19，
将代入上述表达式，
因此，当n=k 1时定理成立，则定理成立。（数学归纳法）
而式子18能被写成：
（20）
其中组合方差和变量的偏置峰值系数为：
（21）
（22）
因此联合概率分布的偏置峰值系数为：
（23）
只要得到的值，那么近似的置信系数的值就能由表1中的和值确定，因此组合不确定度为：
（24）
需要指出的是，这种确定n个相互独立变量的组合不确定性的方法可以获得足够的精度以满足应用的要求。这可以被正态，矩形，三角形，和U—形状分布验证。
3.2评估直接测量不确定性的方法
基于厂家的的技术规范，传感器、信号调理、A/D转换以及DSP的标准不确定度的评估能通过依据测量不确定度表达指南的B型评估法获得，这种方法是适用的并且也是便宜的。
3.2.1传感器、信号调理及A/D转换的组合测量不确定度
传感器、信号调理和A/D转换的测量不确定性的来源如图2-4所示。假设传感器有个独立的误差源，信号调理有m个独立的误差源，A/D转换有n个独立的误差源。对于每个来源，厂家都会确定一个误差在范围内的区间。根据测量不确定度表达
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