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“创新教育”，2014年，第5期，第963-968页
用参数求解方程
摘要: 本研究考察了高中学生和学生教师如何处理以各种方式呈现的方程式。 一些表达式是非标准的，例如必须用“x”（通常认为是变量）表示“a”（通常被认为是参数）。 我们调查学科如何解决这些方程式以及学生和学生教师之间的差异。 我们的研究结果表明，含有参数的方程比没有参数的方程更难求解。这些困难与应该表达的字母和等式的排列有关。本研究的结果可能会扩大教师对具有参数的方程式的知识，以及学生在解决方案过程中遇到的具体困难。
关键词:方程，参数，高中生，学生教师，数学教育，数学知识，认知和数学
1.理论框架
“参数问题深刻地检验了求解者的数学知识，并发现了他的弱点”（Sedivy，1976年）。 Sedivy还声称，学生在使用参数方程时遇到的困难比实际情况要多。 包含参数的代数方程与没有参数的方程相比，代表更大的方程组和更一般形式的定量关系。
戴维斯和亨金（1978）一般写二次方程的重要性，尤其是参数系数。 他们描述他们如何理解二次方程。 他们提供了一个长长的技能列表以及理解和求解二次方程所需的数学知识。 戴维斯和亨金认为，理解和解决具有参数的方程可以提高斯图对一般方程的理解。
Skemp(1987)认为，没有理由的学习规则只允许学生在狭窄的范围内发挥作用。仅仅处理标准问题。 然而，这种方法限制了学生的理解，他们无法应付更复杂的任务。 理解使学生能够处理非机械应用公式无法解决的非标准问题。Fischbein和Muzicant (2002) 表明学生主要以程序方式学习，因此他们往往无法区分概念知识和程序).
人们普遍认为，重要的是教师要认识到他们的学生如何看待数学主题，特别是犯错的具体原因（Almog＆Ilany，2012).
在基础课程中，学生习惯x程序知识。 许多学生发现很难认识到一个字母代表了一个数字，并且不知道如何使用符号值（基兰，1992年，2014年（以及后来的y和z）作为变量，诸如a，b，c的字母是常数或参数。 然而，在更高级的课程中，他们遇到了不同的字母使用问题，他们发现它很混乱。 例如，其中x是固定的，y是变量的集成问题。 或者a，b，c被用作变量的数量问题。
学生在学校解决无数的方程式练习，其中字母x表示一个变量，应该用字母a，b，c等表示变量......在这项研究中，受试者被给予各种带有非标准表达的方程，如上文提到的。
2.目的
受试者如何根据其他字母和研究目标是研究和确定高中学生和在职学生教师在解决具有参数的方程中的困难。 另外，要找出学生和学生教师在解决这些方程时是否存在显着差异。 在使用参数求解方程时遇到了哪些过程以及遇到了哪些困难。
3.研究问题：
-
- 参数表达各种字母的参数来解决方程式？ 特别是当方程没有以标准方式排列时。
- 学生和学生教师在解决这些方程式方面存在差异。 如果是这样，有什么区别。
在文章中调查的方程式的例子（问题的编号跟随调查问卷的编号）：
问题16：在关于a的方程中找出x（关于自变量x和参数a的标准方程）
问题1：在关于x的方程中找出c（因为它需要用x来表示c，所以它不是标准方程）
问题9：在关于x的方程中找b（因为它的形式需要改变，用x来表示a，所以它不是标准方程）
问题21：下面是关于x的线性方程，但可能会被错误地认为是关于a的二次方程式
我们将解决简单方程所需的必要知识称为程序性知识。解决非标准的方程式需要更灵活的方法。
4、方法
研究样本由三年级和四年级的115名数学学生教师和四所中学的133名十二年级数学高年级学生（5个单元数学学科）组成。
仪器：为这项研究设计了一份问卷，并对两组进行了管理。 问卷的一部分由六个问题组成，其中包括带参数的方程。 本研究报告了两个一级方程问题（问题（5）和（21））和三个二次方程问题（问题16,1和9）的发现。 这些问题列在表格1和表3。
程序：为了解受试者的解决过程，采访了五名学生和六名学生教师。 面试问题是在调查问卷填写和分析后设计的。 目的是澄清和推动调查问卷的结果。 此外，为了仔细研究受试者的反应，进行了公开的观察。
表1.问题5和21，分析结果（带参数的一阶方程）。
|
题 目 |
正确答案的百分比\ |
计算的百分比 错误 |
％的错误信 用法 |
没有答案 |
||||
|
P |
ST |
P |
ST |
P |
ST |
P |
ST |
|
- 在（关于x的）等式中找到m：
21.在（关于a的）等式中找出x：
67 88
p=0.02
36 73
29 10
3 0
p=0.04
41 14
1 6
P=0.05 p=0.00
1 2
22 7
注：（P =学生，ST =学生教师）。 \受试者正确表达了x，但其中一些未能指定有效定义域，然后简化表达式。 看到表2了解详情。
数据分析：定量分析通过描述性统计（列出成功率的表格）,测试和t测试。如上所述，通过观察和访谈进行定性分析。 然后根据新出现的标准分析结果。
5.结果
第一阶方程5和21的结果显示在表格1。
表格1显示大部分高中生（22％）没有回答问题21.只有很少一部分正确表达x的受试者也指出了解决方案的正确定义域。 一些主题只处理需要直接方法的标准问题。 总体而言，只有36％的学生和73％的学生教师完全解决了问题21。
在问题5中，受试者被要求表达字母x的最小项。 m是通常被认为是参数的字母（Ilany，1997，1998）。 在这个问题中，我们有一个一级方程，其解决过程应该很简单，但只有67％的学生给出了正确的答案，29％的错误。 我们认为这些错误源于与非标准使用参数和变量相关的混淆（下面给出了例子）。 对于学生教师来说情况更好，88％正确解决，10％与非标准呈现相关的错误。
在问题21中，方程
是关于x的一阶方程，并且x必须用字母a来表示。
这个方程的表示与题目的解过程中的各种错误有关，因为x通常被认为是一个变量。（Ilany，1997）。 值得注意的是，方程21在x中实际上是线性的，因为x是一阶的变量。 然而，由于方程式\的存在，一些学生感到困惑，并认为方程式为二次方程式。
为了解决上述等式，需要打开括号，收集相似的表达式并重新排列等式。 对（ane;-1）有一个限制，需要几个代数运算来解决这个方程。 试图解决这个问题的学科，尤其是学生，犯了许多错误。 只有36％的学生以正确的方式表达x。 也就是说，他们发现：
然而，大多数正确表达x的学生未能指定正确的定义域，并简化了所得到的方程表2
对于学生教师来说，情况更好：73％的学生正确回答了问题21。 对这些错误的分析显示，41％的学生相比14％的学生教师造成了与“非标准”字母相关的错误（参见表格1).
我们选择在这项研究中探索三个二阶方程。 在每个等式中，都需要由另一个表示给定的字母。 错误分为两种类型：计算错误和由于与不熟悉的字母使用有关的混淆导致的错误：忽略字母，发现字母的错误字母和圆形表达。 （例子将被引用表3：问题16,1和9）。
根据表3，很高比例的学生（16％）没有回答问题9.在所有三个问题中，学生教师和高中学生之间存在显着差异。 这三个方程具有相似的结构（表3）。 它们之间的区别在于问题16（5x\ 8ax 4a\= 0），必须找到x，根据Ilany（1997，1998），而在其他方程中应该找到的字母是b或c。 这些字母通常被视为参数，因此造成混淆。
表2.问题21-正确表达x的受试者（其中一些未完成该过程）。
|
21.在等式中找到x |
％的受试者正确分离x |
％正确表达x ％的受试者 ％的人正确 ％的人正 的受试者指定 没有减少没有 表达指定的 确表示x 了正确的 指定的定义域 定义域，但 正确减少 定义域 没有减少由 但没有 此产生的 正确说明 方程 定义域 |
|||||||
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正确的答案：对于ane;-1： 对于a = -1： x可以是任何数字 |
|||||||||
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P ST 36 73 p = 0.05 |
P 1 |
ST 19 p = 0.00 |
P 8 |
ST 30 |
P 0 |
ST 5 |
P 27 |
ST 19 |
|
注：（P =学生，ST =学生教师）。
表3.问题16,1和9，结果分析。
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这个问题 |
正确答案的百分比 |
计算错误的百分比 |
％的错误信使用率 |
没回答 |
|
P ST |
P ST |
P ST |
P ST |
16.在等式中找出x（a）
1.在等式中（通过x）找出c
70 88
p =0.004
63 70
18
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