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4.连续随机变量和概率分布
本章大纲
4-1
概率分布和概率密度函数累积分布函数
连续随机变量的均值和方差连续均匀分布
4-2
4-3
4-9
4-10
指数分布
erlang 和 gamma 分布4-10.1 Erlang 分布
4-4
4-5
4-6
4-11
4-12
学习目标
在仔细研究了本章之后，您应该可以执行以下操作：
- 从概率密度函数确定概率。
- 从累积分布函数确定概率，从概率密度函数确定累积分布函数，反之亦然。
- 计算连续随机变量的均值和方差。
- 了解呈现的每个连续概率分布的假设。
- 选择适当的连续概率分布以计算特定应用程序中的概率。
- 计算概率，确定呈现的每个连续概率分布的均值和方差。
- 标准化正常随机变量。
98
第 4 章连续随机变量和概率分布
- 将该表用于标准正态分布的累积分布函数以计算概率。
- 一些二项式和泊松分布的近似概率。
光盘材料
- 使用连续性校正可提高二项式和泊松分布的正态近似。
本书结尾是大多数奇数练习的答案。单击框可以在电子文本中访问编号被框包围的练习的答
案。电子文本中还提供了某些练习的完整有效解决方案。这些在“练习答案”部分中用练习编号旁边的框表示。练习也可用于仅出现在 CD 上的某些文本部分。这些练习可以在相应部分之后的电子文本中找到。
4-1
连续随机变量
先前，我们讨论了细铜线中电流的测量。我们注意到，由于在我们的实验中无法控制
的变量的细微变化（环境温度变化，导线化学成分中的杂质少，电流源），每天的复制结果可能略有不同。漂流等等。
另一个例子是从一天的生产中选择一个零件并非常精确地测量尺寸长度。实际上， 由于多种原因，例如振动，温度波动，操作员差异，校准，切削工具磨损，轴承磨损 和原材料变化，实际测量的长度可能会有很小的变化。甚至测量程序也会在最终结果 中产生偏差。
在这些类型的实验中，感兴趣的测量（铜线实验中的电流，机加工零件的长度） 可以由随机变量表示。用实数（有限或无限）的间隔对随机变量的可能值范围进行建模是合理的。例如，对于加工零件的长度，我们的模型可以使实验测量结果得出实数区间内的任何值。由于范围是间隔中的任何值，因此该模型可提供长度测量中的任何精度。但是，由于随机变量 X 的可能值的数量是无限大的，因此 X 与先前研究的离散随机变量的分布明显不同。X 的范围包括以实数为间隔的所有值；也就是说，X 的范围可以视为连续体。
在应用中经常会出现许多连续分布。描述了这些分布，并且在本章的其余部分中提供了概率，均值和方差的示例计算。
4-2
概率分布和概率密度函数
密度函数通常在工程中用于描述物理系统。例如，考虑长而细的梁上的载荷密度，如
图图 4-1。 对于沿光束的任何点 x，密度可以用一个函数（以克/厘米为单位）来描述。具有较大负载的间隔对应于该函数的较大值。将点 a 和 b 之间的总载荷确定为从 a 到
b 的密度函数的积分。这个积分是面积
99
4-2 概率分布和概率密度函数
f (x)
P(a lt; X lt; b)
x
图 4-1 长而细的梁上荷载的密度函数。
a
b
x
图 4-2 由f（x）下的面积确定的概率。
在这个区间上的密度函数下，它可以粗略地解释为这个区间上所有载荷的总和。
同样，概率密度函数 f（x）可用于描述连续随机变量 X 的概率分布。如果间隔可能包含 X 的值，则其概率很大，并且对应于 X 的大值。 f（x）。X 在 a 和 b 之间的概率被确定为 f（x）从 a 到b 的积分。见Fig. 4-2.
定义
概率密度函数提供了概率关联的简单描述-
用随机变量只要 f（x）为非负且
0 lt;P1a lt;X lt;b2 lt;1，因此适当地限制了概率。概率密度
00 f 1x2 dx = 1
J-00
对于 x 不可能出现的值，函数为零，并且在没有特别定义的地方假定为零。
直方图是概率密度函数的近似值。见 Fig. 4-3. 对于直方图的每个间隔，条形图的面积等于间隔中测量值的相对频率（比例）。相对频率是测量落入间隔中的概率的估计。类似地，在任何间隔内 f（x）下的面积等于测量值落入该间隔的真实概率。
重要的是 f（x）用于计算一个面积，该面积表示 X 承担[a，b]中的值的概率。对于当前的测量示例，X 导致的[14 mA，15 mA]的概率是 X 在此间隔内的概率密度函数的积分。X 产生[14.5 mA，14.6 mA]的概率是
载入中
对于连续随机变量 X，概率密度函数是这样的函数：
(1) f 1x2 gt; 0
00
- ff 1x2 dx = 1
-00
b
- P1a lt;X lt;b2 =ff 1x2 dx =从 a 到 b 在 f 1x2 下的面积
a
对于任何 a 和 b (4-1)
100
第 4 章连续随机变量和概率分布
f (x)
f (x)
0.05
x
0
10
20
x
图 4-3 直方图近似为概率密度函数。
图 4-4 的概率密度函数示例 4-1
相同的函数 f（x），但间隔较小。通过适当选择
f（x）的形状，我们可以表示与任
何连续随机变量 X 相关的概率。f（x）的形状确定 X 取[14.5 mA，14.6 mA]中的值的
概率如何比较长度相等或不同的其他间隔的概率。
对于长细梁上载荷的密度函数，因为每个点的宽度均为零，所以任何点的载荷均为零。类似地，对于连续随机变量 X 和任意值 x。
P1X = x2 = 0
根据此结果，似乎我们的连续随机变量模型是无用的。但是，实际上，当观察到
特定的电流测量值（例如 14.47 毫安）时，该结果可以解释为实际在例如 14.465
lt;x lt;14.475 范围内的电流测量值的舍入值。因此，将舍入后的值 14.47 作为 X 的值的概率是 X 在间隔[14.465，14.475]中采用不为零的值的概率。同样，由于每个点的概率为零，因此无需区分不等式，例如连续随机变量的lt;或lt;。
例 4-1 设连续随机变量 X 表示在细铜线中测得的电流，单位为毫安。假设 X 的范围为[0，20 mA]，并假设
对于 0 lt;x lt;20，X 的概率密度函数为 f 1x2 = 0.05。什么是当前测量值小于 10 毫安？
概率密度函数显示在图 4-4。假定在没有特别定义的地方，f 1x2 ＝ 0。请求的概率由 F 中的阴影区域指示 ig. 4-4.
10
P1X lt; 102 = ff
0
10
1x2 dx = f0.05 dx = 0.5
0
如果 X 是连续随机变量，则对于任何 x1 和 x2，
P1x1 lt; X lt; x22 = P1x1 lt; X lt; x22 = P1x1 lt; X lt; x22 = P1x1 lt; X lt; x22 (4-2)
101
4-2 概率分布和概率密度函数
f (x)
12.5 12.6
x
图 4-5 的概率密度函数示例 4-2
再举一个例子
20
P15 lt; X lt; 202 = ff 1x2 dx = 0.75
5
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