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分数阶偏微分方程的李雅普诺夫型
不等式问题
Mohamed Jlelia , Mokhtar Kiraneb,c , Bessem Sameta,*
a Department of Mathematics, College of Science, King Saud University, P.O. Box 2455, Riyadh, 11451, Saudi
Arabia
b Laboratoire LaSIE, Pocirc;le Sciences et Technologie, Universiteacute; de La Rochelle, Avenue M. Creacute;peau, 17042 La
Rochelle Cedex, France
c Nonlinear Analysis and Applied Mathematics, (NAAM) Research Group, Department of Mathematics, Faculty
of Science, King Abdulaziz University, P.O. Box 80203, Jeddah 21589, Saudi Arabia
摘要 在类似狄利克雷边值问题条件下, 我们提出了有界开集中分数阶p-Laplace算子的李雅普诺夫不等式, 其中, , 并分成两种情况讨论:和.
关键字 分数阶索伯列夫空间; 分数阶p-Laplace算子; 李雅普诺夫不等式; 特征值
1.引言
文献[1](或[2])中标准的李雅普诺夫不等式表明, 若是
的一个非平凡解, 其中是一个连续函数, 则
. ( 1.1 )
不等式( 1.1 )可运用于多种方面, 包括振动论, 周期性微分方程的稳定准则, 非共轭性区间估计及常微分方程的特征值范围. 文献[1-29]中的不同问题存在不等式( 1.1 )的一些总结和推广.
文献[10](或[24])中, 埃尔伯特把不等式( 1.1 )推广到一维p-Laplace方程, 由[10]中已知结果表明, 如果是
其中, , 则
. ( 1.2 )
令, 可得标准的李雅普诺夫不等式( 1.1 ).
文献[19]将不等式( 1.2 )推广到下列含有-Laplace算子的问题
其中是一个满足某一条件的单调不减的凸函数. 其他含有一维p-Laplace算子的结论, 可参考文献[20, 26, 27, 30].
近来, 已有一些一维分数阶边值问题的李雅普诺夫型不等式. 这个方向的最先成果由费雷拉提出，他在文献[11]中确立了分数阶边值问题的一种分数不等式, 这类边值问题包括Riemann-Liouville分数阶为的导数，其中. 为了得到米塔格-累夫勒函数无实零点的区间，他也提出了一个好的应用方法. 推广文献[11], 其他分数阶边值问题的一些李雅普诺夫型不等式也能得到，可参考文献[12, 15, 16, 21, 25, 31].
另一方面，有关偏微分方程的李雅普诺夫型不等式的文献很少. 文献[6, 7]得出了
的李雅普诺夫不等式, 其中是一个有界正则域, 且是的法向导数. 作为应用, 作者得出了一些界限, 包括第二Neumann特征值. 并且，在叶戈罗夫和孔德拉季耶夫的书[32]中, 有一些涉及高阶线性微分方程的李雅普诺夫不等式的结果.
在文献[18]中, 那不勒斯和皮纳斯科得到了一些有意思的结论, 它们包含在狄利克雷边值条件下p-Laplace算子, 的李雅普诺夫不等式. 让我们来回想[18]中已得的一些结论.
定理1.1 ( pgt;N ). 设是一个开集, 是一个非负权重函数, 且是
的一个非平凡解, 则
, ( 1.3 )
其中是的内径, 是一个仅取决于和的常数.
定理 1.2 ( plt;N ). 设是一个光滑区域, , . 设是
的一个非平凡解, 则
, ( 1.4 )
其中是的内径, C是一个仅取决于和的常数, 且区域为.
因此, 作者在文献[18]中得到了在零狄利克雷边值条件下，p-Laplace方程第一特征值的更小范围.
在这篇文章中, 我们把上述结果拓展至有界开集中，且在类似狄利克雷边值条件下的分数阶p-Laplace算子, 其中, . 进一步, 我们考虑下述问题
, ( 1.5 )
其中加权函数. 分成两种情况讨论: 和. 对于每一种情况, 我们都能得出一个包含领域内径和权重函数的规范形的李雅普诺夫不等式. 其次, 在类似狄利克雷边值条件下, 已得到的不等式为分数阶p-Laplace方程第一特征值提供了更小的范围. 且此时, 我们不需要考虑的情况. 当, 时, 我们参考了文献[33]中的一些有关结论.
当, 我们重新得到了那不勒斯和皮纳斯特在定理1.1, 1.2中给出的关于p-Laplace方程的结论. 就我们所知, 这是解决分数阶偏微分方程的李雅普诺夫不等式的首要工作.
接下来的内容如下: 在第2部分, 我们将简要地回顾分数阶索伯列夫空间中一些基本概念, 分数阶索伯列夫不等式以及分数阶p-Laplace算子的性质, 这些在文章后面都会用到；第3部分, 在合适的函数空间中阐述问题( 1.5 )后, 陈述并证明在和的情况下, 所考虑问题的李雅普诺夫不等式. 最终, 算出在类似狄利克雷边值条件下, 分数阶p-Laplace算子第一特征值的更小范围.
2.预备知识
这一部分, 为了方便读者, 我们将后面会用到的一些基本结论集中列出.
设, . 分数阶p-Laplace算子（取决于归一化因数）可定义为
,
对足够光滑. 当时, 是阶的Laplace算子. 对于其他的分数阶Laplace算子, 我们可参考文献[34-36].
对于所有可测函数, Gagliardo半范数定义为
.
定义分数阶索伯列夫空间为
是可测的, ,
令其范数为
, .
设是带有光滑边界的一个开区域. 我们将研究线性闭子空间
,
它可通过等价地改进. 对于更多有关分数阶索伯列夫空间的内容, 可参考[37-39].
下述分数阶索伯列夫型不等式在后面将会用到.
引理 设是有界开区域, , , , 有一个常数, 使得
,
其中.
引理 设 , , 使得. 假设是一致有界区域, 其中存在一局部区域端点不满足边界条件. 则中含有一个-Hardy不等式, 即存在一个常数, 使得
,
其中是到边界的距离.
引理 设是有界开区域, , , 存在一个常数, 使得对任意的, 有
,
其中.
现在, 我们准备陈述并证明主要结果. 这是下一部分的目标.
3.主要结果
在这一部分中, 我们令, , 设是一个有界区域, 满足引理, , 给出的分数阶索伯列夫不等式所要求的规律. 定义为区域的内径, 即
,
其中是到边界的距离.
3.1 问题( 1.5 )的变分公式化
, 函数满足
(3.1)
3.2
我们第一个主要结论是, 当时, 问题( 1.5 )的李雅普诺夫不等式.
定理3.1 设是一个非负权重函数. 假设当时, 问题( 1.5 )有一个非平凡解. 则
, ( 3.2 )
其中, 是引理所给出的一个常数.
证 证明过程利用了引理给出的分数阶莫里不等式. 对(3.1), 令, 得到
,
即
. ( 3.3 )
因为, 在(特别是)上是连续的. 但是非平凡的, 则有使得
.
由引理, 我们有
.
令, 得到
,
从而得到
. ( 3.4 )
结合( 3.3 )和( 3.4 ), 得到
从而得到
.
因此, 证毕.
注3.2 通过在不等式( 3.2 )取极限, 我们得到了定理1.1所给出的p-Laplace方程的李雅普诺夫不等式.
3.3
第二个主要结论是，当时，得到的李雅普诺夫不等式.
定理3.3 设是一个非负权重函数, . 假设当时, 问题( 1.5 )有一个非平凡解. 则
, ( 3.5 )
其中
.
和分别是引理和 所给的常数.
证 设
,
其中
, .
考虑, , 其中. 另一方面, 有
. ( 3.6 )
用指数为的不等式, 且, 得到
再由引理和 , 我们得到
即
, ( 3.7 )
其中, 是引理中的正常数, 是引理中的正常数. 结合( 3.6 )和( 3.7 )，得到
,
即证.
注3.4 通过在不等式( 3.5 )中取极限, 我们得到了定理1.2所给出的p-Laplace方程的李雅普诺夫不等式.
对于, 分数阶p-Laplace算子与p-Laplace算子一致. 根据定理3.3, 我们可以推导出分数阶p-Laplace算子的李雅普诺夫不等式, 其中阶数.
推论3.5 假设. 设是一个非负权重函数, , 且是
的一个非平凡解. 则存在一个常数, 使得
.
3.4 特征值问题的应用
在这部分中, 我们用上述已得到的不等式, 给出了分数阶p-Laplace方程第一特征值的更小的范围.
非线性特征值问题
,
取决于参数, 其中, . 如果
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