一类非线性扩散方程行波解的渐近方法外文翻译资料

 2022-12-18 03:12

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一类非线性扩散方程行波解的渐近方法

莫嘉琪 张伟江 何铭

  1. 安徽师范大学数学系，芜湖241000
  2. 湖州师范学院数学系，湖州313000
  3. 上海交通大学数学系，上海200240
  4. 上海交通大学电子研究所计算科学处，上海200240

电子邮箱：mojiaqi@mail.anhu.edu.cn

摘要 本文研究了一类非线性反应扩散问题的行波解。利用同伦方法和行波变换理论，得到了相应问题的近似解。

关键词 行波解，同伦解法，反应扩散2000 mr主题分类35b25，35k57

1 介绍

非线性问题是国际数学界非常有吸引力的研究对象[1]。最近，许多学者，如张[2]、哈斯明斯基、尹[3]和马科斯[4]做了很多工作。运用微分不等式和其他方法。还考虑了一类非线性边值问题[5]–[12]

考虑下列非线性反应扩散方程

(1)

它是一个广义的费希尔方程，至今仍在各种应用中出现，包括生态入侵和伤口愈合。许多更复杂的反应扩散模型，广泛应用于研究生物许多领域中的各种类波现象，与广义费希尔方程有很强的数学相似性[13,14]。在本文中，我们用一种特殊而简单的方法构造了方程（1）的近似解，就是同伦方法[15,16]和行波变换理论，从而得出有效近似。

lowast;2005年11月20日收到。国家自然科学基金资助项目（40676016和10471039），国家重点基础研究项目（中国科学院重点项目（2003年CB415101-03和2004 4CB418304）），部分由上海市教育委员会电子研究所（N.E0300）和国家自然科学基金会资助。泽江，中国（Y606268）。

显然，方程（1）的波前解是其两个稳态（u=0和u=1）之间的平稳移动过渡，它接近于一个稳态，即x→minus;infin;和x→＋infin;。我们首先寻找相似变量z=x ct的函数，其中c是波速。通过使用这个，方程式（1）变成

（2）

其中u（x，t）equiv;U（z）。如果cgt;0，我们得到边界条件u（minus;infin;）=0。在不丧失一般性的情况下，我们将取cgt;0，给出单调递增的波。

2 同伦映射

现在我们首先构造U和V的近似展开式。

引入一组同伦映射[15，16]Hi（U,V,p）：Xtimes;Ytimes;I→R,i=1,2:

（3）

（4）

其中X=[0，1]，Y=[0，infin;），I=[0，1]，R=(minus;infin;， infin;），p为正参数，而线性

运算符Li，i=1，2，是

（5）

（6）

并且（U0，V0）是系统（2）解的零次近似。

显然，从（3），（4），Hj（U，V，1）=0，j=1，2，与系统（2）相同。而系统（2）的解（U（z），V（z））与Hj（U，V，p）=0，j=1，2的解相同，如p=1.

3 构造近似

从（5）,(6)来看，令

（7）

（8）

当U0(minus;infin;) = 0，可得

（9）

（10）

其中C0是一个任意常数。令

（11）

（12）

考虑到（11），（12），（3），（4），发展到p的幂级数，比较等式两边p中相同幂的系数，从p中的零次幂的系数，我们仍然有

（13）

（14）

从（3）、（4）和p中的一次幂系数，我们得到

（15）

（16）

当U1（minus;infin;）=0时。从（15），（16），我们有

（17）

（18）

其中，C0，C1是任意常数。

从（3），（4），p中的二次幂系数，我们得到

（19）

（20）

当U2（minus;infin;）=0。从（19），（20），我们有

（21）

（22）

其中C2是一个任意常数。

4 结论

因此我们得到系统的二阶近似解（2）

（23）

（24）

其中Ui、Vi、i=0、1、2分别由（13）、（14）、（17）、（18）、（21）和（22）决定。

用同样的方法，我们可以得到高阶近似解。

将z=x ct代入（23），得到反应扩散方程（1）的行波近似解，c=ccrit=1/

（25）

其中C=C0 C1 C2，Ci，i=0，1，2为任意常数。

参考文献

1、de Jager E M, Jiang Furu. The Theory of Singular Perturbation. Amsterdam: North-Holland Publishing Co, 1996

2、Zhang F. Coexistence of a pulse and multiple spikes and transition layers in the standing waves of a reaction-diffusion system. J Diff Eqns, 2004, 205(1): 77–155

3、Khasminskii R Z, Yin G. Limit behavior of two-time-scale diffusion revisited. J Differential Equations, 2005, 212(1): 85–113

4、Marques I. Existence and asymptotic behavior of solutions for a class of nonlinear elliptic equations with Neumann condition. Nonlinear Anal, 2005, 61(1): 21–40

5、Mo Jiaqi. Singular perturbation for a class of nonlinear reaction diffusion systems. Science in China, Ser A, 1989, 32(11): 1306–1315

6、Mo Jiaqi, Han Xianlin, Chen Songlin. The singularly perturbed nonlocal reaction diffusion system. Acta Math Sci, 2002, 22B(4): 549–556

7、Mo Jiaqi. A class of nonlinear singularly perturbed problems for reaction diffusion equations. Acta Math Sci, 2003, 23B(3): 377–385

8、莫佳琪。一类非线性方程的激波解。数学科学学报，2003，23A（5）：530-534

9、莫佳琪。反应扩散方程的非线性奇摄动问题。数学科学学报，2003，23A（3）：374–378

10、莫家奇，韩香林。非线性方程的渐近激波解。数学科学学报，2004，24a（2）：164-167

11、Mo Jiaqi, Wang Hui, Lin Wangtao. Perturbed solution of sea-air oscillator for the El Nino/La NinoSouthern oscillation mechaism. Acta Math Sci, 2005, 25B(4): 710–714

12、Mo Jiaqi, Lin Wantao. A nonlinear singular perturbed problem for reaction diffusion equations with boundary perturbation. Acta Math Appl Sinica, 2005, 21(1): 101–104

13、Kay A L, Shereatt J A, Mcleod J B. Comparison theorems and variable speed waves for a scalar reactiondiffusion equation. Proc Royal Soc Edinburgh, 2001, 131A: 1133–1161

14、Holmes E E, Lewis M A, Banks J E, Veit R R. Partial differential equations in ecology: spatial interactions and population dynamics. Ecology, 1994, 75(1): 17–29

15、Liao Shijun. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. New York: CRC Press Co, 2004

16、何继欢.工程和科学中的近似分析方法。郑州：河南科技出版社，2002年。

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