离散群的几何(节选)外文翻译资料

 2022-12-29 11:12

本科毕业设计(论文)

外文翻译

离散群的几何(节选)

作者:Alan F. Beardon

国籍:英国

出处:离散群的几何

从一开始,我们假设接受和理解欧几里德几何:我们没有讨论几何公理基础并且也不打算这样做。现在的问题是我们应该如何处理双曲线几何。我们不能假设读者像熟悉欧几里德几何学一样熟悉它,但在双曲几何中,它确实必须有一些可用的更基本的结果,我们将使用这个(而不是欧几里德几何)为本文的其余部分。事实上,我们已经在前面的章节中看到了双曲几何的重要性。

我们将用欧几里德几何描述双曲几何,因此可以认为这是欧几里德几何的从属关系。点,线和其他配置将被定义为欧几里德平面的子集,这样我们就不需要讨论双曲几何的公理。当然,确实存在适当的公理集,一旦我们证实这些公理在我们的模型中成立,我们就有权使用那些可以从这些公理中得出的定理:但是,我们不会遵循这条道路。在欧几里德几何的局限内我们应尽可能的严谨和完整。

7.5 凸集

双曲线平面的子集被称为凸集,当且仅当对于中的每个和时,我们具有.关于凸性的以下事实易于验证。

根据定义,测地线是凸的。映射是双曲线测地线对欧几里德测地线的形态,它保留了“之间”的关系。我们推断出这些段是双曲线测地线的唯一凸子集。

开放的半平面是测地线的补充的组成部分,并且任何开放的半平面都是凸的。 为了说明Klein模型的使用,让成为7.1节中描述的映射。 这将Poincareacute;模型的测地线映射到中的欧几里德段,因此当Poincareacute;模型中的子集是凸的,当且仅当在欧几里德意义上是凸的时。 特别是,庞加莱模型中的半平面映射到与欧几里德半平面的交点,这在欧几里德意义上确实是凸的。 通过这种方式,Klein模型使我们能够将双曲凸性指向更熟悉的欧几里德凸性背景。

通过(2),闭合的半平面是凸的。 如果现在是任何半平面族(开放或闭合),那么的补码是半平面的交叉,因此是凸的。 例如,双曲面圆盘D是凸的,因为它是(阴影)半平面的联合的补充,如图7.5.1所示。 还有另外两个类似性质的例子我们将在后面使用。 一个双曲区域是欧几里德圆的内部,它与无穷远处的圆相切。 通过取模型并作为相切点,我们可以假设双曲区域是。 该区域是凸的,因为它是形式的所有半平面的并集的补充:,因为在实线上变化。 为了将来参考,一条双曲线是一个双曲区域的边界。

我们以闭凸集的特征结束。 当且仅当中的每个具有开放的邻域使得是凸的时,集合是局部凸的。 凸性和局部凸性的概念在欧几里德和双曲空间中都是有意义的,它们以明显的方式延伸到闭合的双曲面。

定理7.5.1。 设P是欧几里德平面或闭合双曲平面。 F的闭合子集E是凸的并且仅连接并且局部凸起。

证明。 如果当是欧几里德平面时结果为真,则庞加莱和克莱因模型之间的关系表明,当是闭合双曲面时,结果也是正确的。 因此,仅需要证明如果是闭合的,连接的,局部凸起的子集,那么是凸的(反向暗示是微不足道的)。

我们说中的两个点是多边形连接的,如果它们可以通过位于的多边形弧连接。这是一个等价关系,的局部凸性意味着等价类在中相对开放。当连接时,那里 只有一个等价类,因此任何两个点都可以用中的多边形曲线连接起来。因此,证明如果欧几里德段, 位于中那么就足够了段。 如果, , 是共线的,那么这是微不足道的:因此我们假设这些点不是共线的。

7.6 角

我们对双曲面中角度的态度与第7.1节中概述的策略一致,即我们用欧几里德几何描述双曲几何的角度。在双曲线几何中,点处的角度是来自的无序光线对。令为处的角度,并假设和不在同一测地线上的时刻。射线确定测地线,例如,并且不符合。由此得出位于一个开放的半平面中,即,与互补。类似地,位于半平面之一,例如与互补。我们现在将角度的内部定义为。很容易看出的内部是补体的一个组成部分:另一个组件称为的外部。如果和位于相同的测地线上,则是测地线(并且没有规范的内部或外部选择)或,在这种情况下,我们将内部定义为空,外部为是的补充。

给定处的角度,和定义不同的测地线,的内部是凸的,因为它是半平面的交点。 为了补充这一点,外部不能是凸的,否则和上的分段连接点将位于的内部和外部。 当然,我们可以用通常的方式测量处的内部和外部角度,测量值分别在和。

7.7 三角形

设, 和为双曲线平面中的三个非共线点,并且让和分别为从到和的光线。 然后是处的角度:我们用表示它的内部。 以类似的方式,和是和处的角度的内部。 通过对图7.7.1的一瞥可以很容易地吸收这种符号。 注意,通过凸性,(参见第7.6节)。

定义7.7.1: 三角形是。

是顶点,是边,是T(z1,z2,z3)的角度。 作为内角的每个角度小于它。 为简洁起见,我们为写. 观察到每个都是凸的,所以是.而且,也是的角度,对于任何足够小的开放盘与中心,例如,我们有的感觉。

由于是连接的(实际上是凸面的)并且与不相交它位于内部或外部。 但是,满足,因此,因此。

在公理化处理中,有时需要将从到中的点的光线必然与侧面相遇的事实作为公理。 在我们的例子中,我们观察到(连通的)区段与(在)的内部相遇并且不能与侧面或相遇。 由于是无界的,它的闭合在无穷远处遇到了圆,因此必须满足。

下一个结果经常用于推导三角公式(因此必须独立于这些公式进行证明)。

7.8 符号

在接下来的六个部分中,我们将关注双曲三角形,并且采用允许我们容易地表达三角关系的标准符号是方便的。 三角形将具有标记为,和的顶点,并且与这些顶点相对的侧面将分别具有长度,和,并且顶点处的内角将为,和。 通过图7.8.1的一瞥可以很容易地吸收这种符号。 由于等长线保持长度和角度,三角公式在等距线下保持不变。

7.16 多边形区域

多边形的内角是由确定的所有足够小的圆盘的中心角度注意,这不一定是由的两边确定的角度的内部,只有这个内部角度是 如果。 我们允许顶点位于无穷远处的圆上:如果是这样的无限顶点,那么。

定理7.15.1:如果是具有内角hellip;hellip;的任何多边形,然后

.

证明:对于(第7.13节)的情况已经证明了这一点,并且由此通过将细分为个三角形来实现凸多边形(细节被省略)。 值得注意的是,定理15.1适用于所有多边形,无论是否凸。

非凸多边形的证明也可以细分为三角形:细分不易处理,但我们可以通过使用欧拉公式来弥补这一点。 我们首先将的每一侧扩展为完整的测地线。 这提供了将整个双曲面平面细分为有限数量的非重叠凸多边形(凸起,每个都是半平面的交点)。

我们现在只考虑那些位于原始多边形中的细分的多边形。通过凸性,每个可以细分为三角形。 我们现在已经将细分为非重叠三角形,使得的每个顶点是某个的顶点,并且的每一边是其他的一侧或者是的一侧的一部分(而不是任何其他的一侧)。

让的这个三角剖分具有个三角形,个边缘,个顶点,并且存在位于的边的边缘。欧拉的球面公式的公式

.

7.17 四边形

定理7.16.2的直接结果是,存在四边形,角度为,,,当且仅当时:如图所示这样的四边形7.17.1。 这种四边形被称为Lambert四边形(在J.H.Lambert之后,1728-1777)。 如果我们反射一侧获得一个角度为的四边形, , 。这个四边形(如图7.17.2所示)被G. Saccheri使用(1667鈥3 )在他对平行假设的研究中,被称为Saccheri四边形。

下一个定理参见图7.17.1。

7.26 断面

设和为不相交的测地线。 一个测地线是一个-转移()的和,如果只是一个,那么和的角度为.作为-横截如何出现的一个例子,自然会考虑的等距和 由给出的测地线.如果是任何测地线会合,则是和的横向。 我们需要研究横向存在的度量关系。

和的共同正交是和的唯一横向。 我们将看到,对于的所有其他值,恰好有四个横向。 令为和的公共正交,并且令为和的平分线。 我们将在工作。

我们以更多术语结束本节。首先,如果点,,hellip;hellip;位于一条测地线上,则它们是共线的。每条测地线都有两个端点,每个端点位于无限远的圆上。扩大段的表示法以包括测地线是很自然的,即使它们位于无穷远处的圆上。因此表示具有端点和的测地线段。从出发的射线是一段线段,其中位于无穷远处的圆上:每条测地线到完全确定是从出发的两条射线,即和。

The Geometry of Discrete Groups (excerpt)

Author: Alan F. Beardon

Country: Britain

Source: The Geometry of Discrete Groups

From the outset we have assumed both an acceptance and understanding of Euclidean geometry: we have not entered into a discussion of the axiomatic foundations of the geometry and we shall not do so. The question now arises as to how we should treat hyperbolic geometry. We must not assume that the reader is as familiar with this as with Euclidean geometry yet it is necessary to have available some of the more basic and elementary results in hyperbolic geometry for we shall be using this (rather than Euclidean geometry) for the remainder of the text. Indeed, we have already seen the importance of hyperbolic geometry in the earlier chapters.

We shall describe hyperbolic geometry in terms of Euclidean geometry, thus it can be thought of here as being subordinate to Euclidean geometry. The points, lines and other configurations will be defined as subsets of the Euclidean plane and in this way we avoid the need to discuss the axioms for hyperbolic geometry. Of course, appropriate sets of axioms do exist and once we have verified that these axioms hold in our model we are entitled to use those theorems which are derivable from these axioms: we shall not, however, follow this path. Within the limitations of Euclidean geometry we shall be as rigorous and complete as possible.

7.5 Convex Sets

A subset of the hyperbolic plane is said to be convex if and only if for each and in , we have . The following facts regarding convexity are easily verified.

By definition, a geodesic is convex. The mapping is a homeo

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