对柯西 - 施瓦茨不等式的一些细化
Shuhei Wa
Department of Information and Computer Engineering, Kisarazu National College of Technology,
2-11-1 Kiyomidai-Higashi, Kisarazu, Chiba 292-0041, Japan
Received 11 April 2006; accepted 27 July 2006
Available online 18 September 2006
Submitted by T. Ando
摘要：在Kubo和Ando的意义上，如果A和B是希尔伯特空间上的半正定算子，如果是一个算子平均数，那么算子不等式
成立。这种不平等是一些精致的柯西–施瓦茨不等式的推广。
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AMS分类：47A63 26D15
关键词：柯西-施瓦茨不等式；算子平均数
1.引言
许多作者已经研究了柯西-施瓦茨几种推广形式。其中由于Daykin–Eliezer–Carlitz[5]，结果引起了我们的兴趣。它描述的是一对函数对任意正实数和,满足
这个不等式是通过推导如下类型的矩阵不等式得到的：
其中F和G是方阵的二进制运算，A和B是对角正定矩阵，#是几何平均数。从这个角度来看，我们研究的只是上面提到的矩阵不等式。如果F和G分别是一个算子平均数及其对偶，我们来拿这个不等式的事实来说明一些著名的数值不等式。
本文的主要目的是给上述的矩阵不等式一个算子的推广。
定理1：令A和B是一个希尔伯特空间上的半正定算子，那么
(1)
其中和是Kubo和Ando意义上的一个算子平均数及其对偶。
2.准备工作
在本文中，一对希尔伯特空间上的半正定算子的二进制运算，称为算子平均数，起着重要的作用。他这部分的目的是召回有关算子平均数的一些著名结果。
令A，B，C，D是希尔伯特空间上有界线性算子，次序关系通过被定义（即是半正定的）。如果是正定的，那么我们由表示。事实上，半正定算子强制收敛于A和,由表示。
下面通过Kubo和Ando给出的算子平均数公理（见[6.7]）,在锥P（）内的一个二进制运算的在希尔伯特空间上的半正定算子是一个算子平均数，如果他满足下面的条件：
一个实值连续函数在（0，）上,当时，如果，则被称为算子单调。众所周知，一个算子单调函数是一个凹函数（见[2]）。如果是上的一个非负算子单调函数，那么这个二进制算子在上通过
被定义是一个算子平均数，其中.定义映射必然包含以下属性：
满足这个属性的映射被称为一个仿射同态。除此之外，这个映射具有保序这一重要属性，即如果是算子单调函数满足，那么
命题2：映射建立一个保序仿射同构从这类在上的非负算子单调函数映射到这类算子平均数。
备注：很明显映射的逆是一个映射从一个算子平均数到一个算子单调函数且满足这个算子单调函数被成为的函数表示。
从前面的命题，由此得出每个算子平均数能通过利用一个算子单调函数而被定义。例如，算术平均数和几何平均数#分别能通过 被定义。映射具有保序这一属性的事实，接下来的算子算术-几何不等式可以被证明：
.
注意：能被写成.
从前面的命题，很明确的知道每个在这类算子平均数上的映射能通过利用在这类非负算子单调函数上的映射而被定义。例如，令是算子单调函数与。算子平均数被称作的对偶满足表示函数关于满足=.
3.细化
在这一部分中，我们第一种情况是细化一个通过Daykin–Eliezer–Carlitz获得的离散柯西-施瓦茨不等式[5].
命题3：（Daykin–Eliezer–Carlitz）.令是正实数，和令是有两个变量的正函数，不等式
(2)
当且仅当
前面的命题也认为如果第三个条件被 代替是容易证明的。
在这种情况下，和的算术平均数及其对偶，即得到的不等式（2）描述如下.
命题4： 令是非负实数，则有以下不等式成立：
.
这个结果被称为米尔恩不等式[8].
如果和是次幂平均数和次幂平均数，即和，则下面的不等式被称为Callebaut不等式[3].
命题5：令是非负实数，则以下不等式成立：
，
其中.
在[3]中，Callebaut也证明了函数的单调性
命题6：令是非负实数.如果或，则
，
特别是在的情况下获得以下结果。
推论7 ：令是正数，如果，则
.
4.算子不等式
4.1 柯西-施瓦茨不等式
令是一个希尔伯特控件，令A和B是在H上的有界性算子，则算子 在上可以通过被定义。对于每个和线性延伸到（见[2]）. 从这个定义看,我们很明确半正定算子张量积是正定的。令A和B是两个矩阵，如果，则可以写成：
．
在定理1中的不等式（1）中，这部分
(3)
在以下很容易被看出。通过定义#和，
和
和通过算子算术-几何平均数不等式，
这就说明了不等式（3）。
当希尔伯特空间是有限维的，A和B是对角矩阵的情况下，我们可以考虑推导（3）的两边。推导（3）的两边给出了离散柯西-施瓦茨不等式。
命题8：令是非负实数，则以下不等式成立：
.
4.2柯西-施瓦茨不等式的细化
令是上的一个正标量值连续函数，正定算子A和B，一个二进制运算通过被定义，利用这一点，慨括命题5和4.
命题9： 令A和B是希尔伯特空间上的正定算子，和是正的标量值连续函数满足命题3的三个条件，如果通过，则
.
证明：第一个不等式，这足以证明
由于这个等式表明了通过算术-几何平均数不等式的预期结果。前面的等式等同于以下式子
,
其中.从假设和满足命题3的第一个条件，即 ，我们有，这个等式说明
=.
第二个不等式，我们放上.上述等式表明预期不等式等同于以下式子
令E是C的普测度（见[4]），即
.
那么议题上不等式的左边
右边是
.
它从命题3的第三个条件，即
和
我们有
这表明在议题上的不等式成立。
当（因此）是算子单调，命题9声明的是广义半正定算子的情况下。
定理1：令A和B是一个希尔伯特空间上的半正定算子，那么
(1)
其中和是Kubo和Ando意义上的一个算子平均数及其对偶。
证明：令和是正算子单调函数，到和的程度.通过命题9，对于任意的在定理1中的不等式（1）中有效的和分别代替A和B，利用算子平均数的属性，像，左侧长期，中期和短期分别收敛到右侧
和
这就证明了不等式（1）.
当时次幂平均数的情况下，即一个算子平均数的代表函数是，上述定理是一个命题5和6的算子说法。
推论10： 令A和B是一个希尔伯特空间上的半正定算子，则
此外，这个函数
在上单调递减，在上单调递增。
证明：第一部分紧跟着定理1，最后一部分，足以说明非负实数的函数的单调性，推论7表明.
在结束本节前，我们给出定理1的一个应用。我们证明不等式（1）不仅是一个Milnersquo;s不等式和Callebaut不等式的推广，而且推广关于矩阵的舒尔乘积的几个不等式。
人们已经知道n阶矩阵A和B的舒尔乘积，即A和B的entry-wise乘积，是张量积的n阶主子阵，因此定理1表明了下面。
推论11 如果A和B是半正定矩阵，则
.
其中，表示A和B的舒尔乘积.
备注：在和的情况下，上述不等式通过Ando被证明[1].
致谢
我们衷心感谢与教授F. hiai对本文中几点有帮助的讨论。我也感谢裁判对文章的评论。
参考文献
[1] T. Ando, Concavity of certain maps on positive definite matrices and applications to Hadamard products, Linear
Algebra Appl. 26 (1979) 203–241.
[2] R. Bhatia, Matrix Analysis, Springer-Verlag, New York, 1997.
[3] D.K. Callebaut, Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality, J. Math. Anal. Appl. 12 (1965) 491–494.
[4] J.B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York, 1985.
[5] D.E. Daykin, C.J. Eliezer, C. Carlitz, Problem 5563, Amer. Math. Monthly 75 (1968) 198, 76 (1969) 98–100.
[6] F. Kubo, Theory of Operator Means, Doctor thesis, Hokkaido Univ., 1991.
[7] F. Kubo, T. Ando, Means of positive linear operators, Math. Ann. 246 (3) (1979) 205–224.
[8] E.A. Milne, Note on Rosselandrsquo;s integral for the stellar absorption coefficient, Monthly Notices Roy. Astronom. Soc.
85 (1925) 979–984.
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