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WannierTools：一种用于新型拓扑材料的开源软件包
摘要：
我们提供了一个开源软件包WannierTools，这是一种用于研究新型拓扑材料的工具。该代码在紧密绑定框架中工作，该框架可以由另一个软件包Wannier90生成（Mostofi等，2008）。它可以通过计算Wilson环来帮助对给定材料的拓扑相进行分类，并可以获得表面状态光谱，该光谱由角度分辨光发射（ARPES）和扫描隧道显微镜（STM）实验检测。它还可以识别Weyl / Dirac点的位置和节点线结构，并计算布里渊区（BZ）一部分中封闭动量环附近的Berry相和Berry曲率。
- 介绍
在过去的几十年中，新颖的拓扑状态吸引了很多关注。他们提供了许多探索新物理学和实现新量子装置的机会[1,2]。由于在2005年预测了量子自旋霍尔效应（QSHE）[3]，并于2007年在HgTe / CdTe量子阱中实现了量子自旋霍尔效应[4,5]，因此发现了越来越多的拓扑新状态，例如3D拓扑绝缘体[6-8] ]，狄拉克[9,10]，魏尔[11-13]半金属，沙漏费米子[14]，节点线半金属[15-17]和节点链金属[18]等。如今，出现了许多新的拓扑阶段，并且越来越多的材料被认为在拓扑上是无关紧要的。
拓扑材料的一个重要特征是受拓扑保护的表面状态[19]，它对白噪声无害，并且由于自旋动量锁定特征而具有新颖的传输特性[5]。在实验中，表面状态和传输特性是可检测的，因此，可以作为体带结构中非平凡拓扑的证据[5,6,20]。这里的逻辑是体边缘对应原理，该原理表明，如果d维体中的拓扑特性不平凡，则存在受拓扑保护的d-1维边缘状态。 在理论部分，除了计算表面态光谱和传输性质外，我们还可以计算拓扑数，例如Z2数[21]，陈恩数[22]和威尔逊环[23]（与Wannier电荷中心相同[24]） ）直接研究材料的能带结构的拓扑。
目前，有越来越多的团体加入对新型拓扑材料的研究。但是，到目前为止只能使用几个软件包。 Z2pack [25]是使用Wannier电荷中心（WCC）对实际化合物的拓扑特性进行分类的软件包。通过使用Z2pack，可以从紧密绑定（TB）模型或第一原理软件包（例如VASP，ABINIT和Quantum-espresso）中获得WCC。 PythTB [26]是使用TB模型的Python实现的另一个软件包。对于PythTB中的任意维系统（晶体，平板，带状体，团簇等），有许多功能可以建立和求解系统电子结构的TB模型，并且可以计算Berry相和相关属性。
在这里，我们介绍一种称为WannierTools的依赖于结核病的开源软件包，该软件包可用于新颖的拓扑材料研究。与Z2pack不同，它可用于计算材料的表面状态，并且与MPI并行化，它比PythTB更快。它是在Fortran90中实现的用户友好高效的单一程序。运行它唯一需要的就是一个输入文件，其中包含一些描述您的系统的参数，以及一个以Wannier90_hr.dat格式编写的TB模型[27]。使用WannierTools，可以计算本体系统的Z2number或Wilson回路之类的拓扑数，以探索材料的拓扑特性。它还可以帮助在金属系统的BZ中搜索Weyl / Dirac点或节点环结构。还有许多其他功能，例如研究平板和带状系统的电子结构特性，研究本体系统的Berry曲率，研究节点线系统BZ中一个动量环附近的Berry相，等等。
本文的组织如下。在第2节中，我们简要回顾了与此软件包相关的一些基本理论。在第3节中，我们介绍了此软件包的功能。在第4节中，我们介绍安装和基本用法。在第5节中，我们介绍了一种新的拓扑材料HfPtGe，以向您展示如何使用WannierTools探索新的拓扑阶段。
- 方法
2.1.TB方法
TB方法是通过将系统的哈密顿量投影到一系列局部轨道上来研究固态系统电子结构的半经验方法。有多种构建TB模型的方法，例如Slater–Koster方法[28]，最大局部Wannier函数（MLWF）[29]和k·pmodel的离散化[30]到网格上。在这些方法中，MLWF方法[29]被对真实材料模拟感兴趣的人们广泛使用。 MLWF是在Wannier90中实现的，它具有许多接口，这些接口可以与VASP，WIEN2k等不同的第一原理软件包一起使用。因此，MLWF TB模型可以与Wannier90 [27]一起根据第一性原理自动获得。
在不同的TB方法中，基函数可以是相互正交的或非正交的。但是，WannierTools仅能够处理具有正交基函数的TB模型。幸运的是，用于MLWF TB方法的Wannier函数（WF）满足了此限制。在本节中，我们简要介绍了一般的正交TB方法。参考文献中提供了有关如何构建MLWF TB模型的详细信息。 [31,29]。
让我标记原子，mu;标记轨道，m标记{imu;}的组合，R标记3D晶体中的晶格矢量，而tau;i标记原子在原始晶胞中的位置。在R tau;i的第i个原子的中心的局部轨道可以写为
轨道的正交性要求。哈密顿量的TB参数由于布洛赫定理而具有平移对称性，可以通过
一旦有了TB哈密顿量Hmn（R），就可以通过傅立叶变换（FT）获得k空间中的哈密顿量[29]。 FT有两种约定[26]。一个是
另一个是
可以证明这两个约定的特征值相同，但特征向量不同。第一个公约方程的特征向量。（3）类似于布洛赫波函数。第二个约定的特征向量（4）类似于布洛赫波函数的周期部分，这在贝里相位和贝里曲率或Wannier中心计算中非常重要。因此，在WannierTools中使用了第二个约定。
根据体边缘的对应关系，如果体能带的拓扑不平凡，则存在受拓扑保护的表面状态。为了研究这种表面状态，我们必须构造一个平板系统，该系统沿表面的两个方向是周期性的。实际上，用晶格矢量定义了一个新的晶胞，
其中是本体系统原始单位晶格的晶格矢量，和是目标平板表面中的两个晶格矢量，是位于表面之外并满足体积的另一个晶格矢量固定条件，
由于平板系统沿方向是非周期的，因此具有二维动量的平板系统的哈密顿量可通过以下FT来计算
其中和是一个限制，即仅对具有不同c的a和b进行求和。我们将沿着的层索引标记为i，j。因此，具有ns层的平板系统的哈密顿量可以用层索引矩阵形式编写，
哈密顿量的对角元素是平面内元素，非对角线元素是平面间元素。等式中的元素。（10）可以显式地理解为
最终，可以直接获得平板系统的能带，以将等式对角化。（10）。
顺便说一下，可以用与平板系统相同的方式获得带状系统的哈密顿量。区别在于，在带状系统中存在两个局限方向，，这会增大哈密顿量。
2.2.Wannier电荷中心计算
拓扑数[21]和Chern数[22]分别用于对时间反转不变性和时间反转对称破坏系统的拓扑性质进行分类。在反演对称不变系统中，Z2拓扑数可以通过将布里渊区中的时间反转不变矩（TRIMs）上的占据带的奇偶性乘以[32]来计算。有几种方法[33,23,24]用于计算反对称破坏系统中的数。其中，证明了威尔逊环[23]和Wannier电荷中心（WCC）[24]方法彼此等效，并且对于时间反转对称中断系统也有效。在WannierTools中，我们采用Refs中介绍的算法。[24,25]。混合WF [34]定义为
其中是Bloch波函数。混合式Wannier中心定义为
是Bloch函数的周期部分。在实践中，ky的积分由离散ky的求和转化而来。等式可以使用离散的Berry相公式[35]重新公式化（14），
引入了与规范有关的重叠矩阵。但是，混合的Wannier中心的在kx规范不变量[36]上的总和，即总电子极化。如参考资料所示。[35,37]，还有另一种获得的方法。首先，我们通过执行单个值分解来获得每个重叠矩阵的“ 整体部分”，其中V和W是单一的，而Sigma;是实数正和对角线。然后我们设置。矩阵的特征值lambda;n均为单位模量。最终，将混合的Wannier中心定义为lambda;n相，
我们可以从沿着kx 线的演化中得到kx- ky面的拓扑特性。参考文献中讨论了这种WCC或Wilson回路分类的细节。[23,37,24]。更多信息可以在参考资料中找到。[25]。
2.3.Berry相和Berry曲率
在本节中，我们给出了计算布洛赫状态的贝里相位[38,39]和贝里曲率[40,41]的基本形式主义。首先，我们介绍了单频带情况，其中能带彼此隔离。Berry相位是与外部参数空间k中的闭合曲线C上第n个状态的相位演化相关的几何相位，定义为
其中Berry连接是，，引入Berry曲率
第二，对于多带情况，通常将占用非交换带视为一个联合带流形，称为“非交换”情况。从单波段到多波段情况下的Berry相位和Berry曲率的形式概括如下:
其中Berry connection [39]是，Berry曲率是
并定义
其中，Tr表示占用频带上的迹线。
在实践中，等式的整合(21)在离散的k网格上实现。循环C被离散成一系列紧密间隔的点kj。因此，Berry相成为
其中重叠矩阵与等式(15)中的相同，即.
2.4.表面态计算
理论上，我们有两种方法来获得对应于体拓扑的表面光谱。一个是我们计算平板系统的能带结构，这是在2.1节中介绍的。另一个是计算半无限系统的格林函数(SGF)，这将在本节中介绍。在20世纪70年代，最流行的GF方法之一是基于“有效场”和转移矩阵[42–44]，它们的收敛相对较慢，特别是在奇点附近。现在，广泛使用的用于获得SGFs的方案是在20世纪80年代开发的迭代格林函数方法，[45，46]。有一个有效的主层概念(这个层足够大，可以保证相邻层之间的跳跃可以忽略不计。)，迭代过程可以节省大量的计算时间。方法[45，46]包括用有效的两个主层代替主层，并且这些有效层通过比原始层弱的依赖于能量的剩余相互作用相互作用。这种替换可以反复进行，直到有效层之间的剩余相互作用变得如期望的那样小。每次新的迭代都会使新的有效层中包含的原始层的数量翻倍。也就是说，经过n次迭代后，一个晶格常数链就变成了原来的晶格常数链，每个有效层取代了原来的晶格常数链。算法的细节在参考文献[47]中给出。为了论文的完整性，我们列出了在WannierTools中重用的主要迭代。迭代I最重要的参数如下
其中初始化，其中是原理上的跳变参数在层之间，是原理层的最近邻居之间的跳变参数。
等式的迭代等式（27）应收敛到和。可以得到SGFs 和bulk GF为
其中为双表面的SGF。可以从SGF的虚部获得表面光谱函数
表面态的自旋纹理也可以用[48]获得
其中sigma;是Pauli矩阵。
2.5.搜索节点/线的算法
结点是最高价带和最低导带之间的无间隙点。根据简并性，可将节点分为Weyl，Triple，Dirac，hyper-Dirac点，分别具有简并2倍，简并3倍，简并4倍或更高简并。它们之间的连通性还可以将它们分为节点和节点线。搜索Weyl / Dirac点和节点线结构对于此类节点系统非常重要。容易找到位于高对称线或镜面中的一些受对称保护的节点或节点线。而位于BZ中任何位置的其他节点需要更多的努力才能找到。在这里，我们介绍一种试图找到所有节点的算法。
基本上，节点是3D BZ中能隙函数的局部最小值。局部最小值可以使用一些众所周知的多维最小化方法来获得，例如Nelder和Mead的下坡单纯形法[49]，共轭梯度法[50]，拟牛顿法[51]等。但是，从这些方法获得的局部最小值取决于初始点。一个初始点仅给出一个局部最小值。因此，为了找到所有节点，我们必须在整个3D BZ中选择不同的初始点。 WannierTools将第一个BZ的均匀网格作为Nelder和Mead的下坡单纯形法[49]的一组初始点。最终，将从一组局部最小值中选择节点。通过增加初始点网格，很容易检查节点数量的收敛性。该算法非常适合对新的Weyl，Dirac半金属和节点线金属进行高通量搜索。已经发现在WTe2 [13,52]，MoTe2 [53]中找到Weyl点非常有效。
- WannierTools的功能
WannierTools可以完成两种任务来研究新颖的拓扑材料。a.一种是获得材料能带结构的拓扑。 b.另一个是探索与体拓扑相对应的表面状态的属性。对于a部分，我们需要研究体带结构，3D费米表面，状态密度（DOS），以检查体材料是带绝缘体还是金属。进一步，采用WCCs计算得到带绝缘子的Z2拓扑指数或切恩数，节点搜索算法和能隙函数计算用于Weyl / Dirac点位置或结线结构的搜索。贝里相位和贝里曲率计算也有助于拓扑的分类。完成拓扑分类后，可以转到b部分，这意味着要研究与本体拓扑相关的特性，例如与光导率[54]，平板的电子结构相关的联合
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