基于博弈论方法和超组合成本的调度问题外文翻译资料

 2022-04-26 10:04

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基于博弈论方法和超组合成本的调度问题

摘要

在本文中，我们考虑了调度的不同算法和博弈理论特征。我们运用合作博弈理论的概念来研究一组经纪人遇到超组合成本的状态。这些情况出现在调度因素的多样性中，比如设备位置和网络设计。虽然当成本是超组合的时候合作是不可能的，避免合作可能会导致负外部性的增加。我们研究合作游戏的最小核心价值，作为说服合作的手段。我们证明了计算最小超组合成本合作游戏的核心价值是一个困难的np难题,我们为这个问题设计一个近似结构,产生一个幅度(3 sigma;)估计算法。我们也应用我们的近似结构，得到了两种基于调度和矩阵优化的超组合成本合作博弈的结果。

关键字 博弈论 调度 合作游戏 矩阵优化 超组合成本

1介绍

调度是指随着时间的推移，将有限的资源分配给特定任务的问题。在许多领域都遇到了调度问题:例如制造、项目管理、计算机操作系统设计、编译器优化和网络广告。然而，许多调度问题是很难解决的。因此，从数学角度对调度问题的研究，往往促使了数学规划理论和实践中的原始概念的发展[1]。本文对调度算法和博弈论问题进行了研究。

现在，博弈论方法在涉及与经济相关的学科时被大量使用。对于调度，它主要集中在并行计算系统或电力系统中的调度问题。综上所述，关于这个主题的文献分为两组。一是工作调度总是发生在一个车间，虽然在网络化制造的情况下，工作分配可能发生在不同的分布式商店甚至公司，这使得作业调度问题更加复杂。另一方面，虽然博弈论在调度问题的案例中被慢慢地应用，但由于这种类型的作业调度问题的复杂性，并没有提出在网络化制造环境中对作业调度问题的理解。在这两个领域更严格的研究的有可能的。

可预料的是，在面临超组合成本的逻辑经纪人中，合作是不可能的:增加一个特殊经纪人的成本会随着参与者数量的增加而增加，从而降低了合作的需求。然而，避免合作的动机可能会导致负外部性的增加。在这种情况下，一种力量可能对说服这类情况合作的方法感兴趣。一种方法是直接将外部性的成本包括到处理成本中，尽管这些外部性成本有时很难精确地解释[2]。在此，我们研究了计算超组合成本合作博弈最小核心价值的计算复杂度和算法特征。为了说明这些博弈研究的意义，我们指出一类特殊的优化问题具有超组合最优成本。这个类包括组合优化问题的多样性，主要是机器调度问题。我们表明，计算超组合成本合作博弈的最小核心价值是强NP-hard，并建立一个结构来估计这些游戏的最小核心价值。经过最近在子模块功能的工作,我们的结构产生(3 sigma;)估计算法计算最小的核心价值。

我们还将我们的估计结构应用于两种特殊的超组合成本合作游戏:调度游戏和矩阵增益游戏。调度游戏是一种合作博弈，其中一个联盟的成本是由单个机器上的加权完成时间的最小总和[3]获得的。通过对偶然性超组合成本合作博弈的研究，证明了Shapley值是调度游戏中最小核心的成本分配。此外，我们设计了一个完整的多项式时间估计计划来计算这些游戏的最小核心价值。矩阵增益游戏是具有子模块收益率的合作游戏;一个联盟的收益来自于一个独立的矩阵集合的最大重量[4]。我们证明了在最小的核内的成本分配和矩阵增益游戏的最小核心价值可以在多项式时间内计算。

2鼓励合作，共享超组合成本

2.1介绍

考虑一种立场，其中一组经纪人可以选择分担他们共同行动的成本。例如，一组经纪人，每个人都有一份必须在特殊机器上处理的工作，他们可能会试图分担在一台单独的机器上最优处理所有工作的成本。在这些职位上，经纪人可能会或不愿意合作，这取决于他们的成本结构。合作博弈理论提出了一种研究当事人合作行为的数学结构。合作博弈是一对(B,c),B = { 1,hellip;,i }描述一组经纪人,和c(S)描述了成本经纪人Ssube;B的一个子集。

在本文中，我们将自己限定在经纪人面临超组合成本的状态。一组函数c:→real;超结合如果

超组合通常在成本自然与集群效应相关的状态中发展。研究表明，某些形式的设施选址问题具有超高的组合成本[5]，我们稍后将会指出，调度和网络设计中存在的一些问题也包括超组合成本。

很明显，面对超组合成本的逻辑经纪人之间的合作是不可能的:随着一个协会的规模的增长，与增加一个特殊的经纪人相关的边际成本增加，降低了合作的吸引力。合作博弈论的不同概念帮助我们将这种行为形式化。假设是一个成本分配向量:所有描绘了成本分配给代理。解决这类问题的一个重要概念是核心[6]。合作博弈的核心(B,c)是所有成本作业如下所示。

在有信心的情况下，合作失败可能会增加负外部性。考虑下面的例子。一组经纪人必须处理他们的工作，在一台机器上产生不适当的环境污染。经纪人可以选择分担处理他们工作的成本。然而，由于在单独的机器上处理他们的工作的成本对每个代理来说更少，最终的结果是更多的污染。在这种情况下，权力可能对减少这种负外部性感兴趣。一种方法是直接在加工成本中吸收污染外部性的成本。然而，这些外部性成本可能很难准确地解释[7]，作为一种选择，人们可能会问:“为了说服所有的经纪人共享一台机器，我们需要多少钱来操作一台额外的机器?”对于一个随机的合作游戏，相应的问题是:“我们需要多少惩罚一个单独行动的联盟，以激励所有的经纪人合作?”这个想法与合作游戏的最小核心价值有关。也就是最小的合作游戏的核心(B,c)是一组最优的成本分配线性优化问题的答案[8,9]。

OP的最优值zeta;*是最小的游戏的核心价值(B,c)。在这些方面,最小的核心价值zeta;*是最小程度的惩罚,必须放置在一个单独行动,以确保联盟合作的一个基本动机:一个有组织的现实和稳定的成本分配。请注意，线性OP实际上与优化问题类似。

其中m(alpha;,S)=alpha;(S)minus;Ssube;B c(S)。m(alpha;,S)衡量的是一个经纪人S子集依据成本分配下的不满，其中当成本按照分配时，S所花费的额外成本。在最小的核心中进行成本分配，从而最大限度地减少任何代理的最大不满。

2.1.1相关工作

在以往的工作中，已经考虑了在运筹学和计算机科学方面的各种问题所规定的费用的合作游戏，如分配[10]，线性生产[11]，最小成本生成树[12]，旅行销售人员[13]，调度相关[14-16]，设备位置[17]，报摊和库存集中[18,19]，和经济批量[20,21]。Peleg和Sudholter的教材是对合作博弈理论的一个很好的介绍[22]。

在经济学和博弈论文献[23-26]中，对不同合作博弈的最小核心进行了大量的研究。另外，计算最小核中元素的计算复杂度在一定条件下也得到了考虑。例如，Faigle等人举例说明了在最小成本生成树游戏的最小核心计算元素是NP-hard[27]。Kern和Paulusma为基数对应游戏的线性优化问题提供了一个解释[28]。Faigle等人举例说明，如果使用椭球方法，可以有效地计算出一个合作博弈最小核心的预核元素，从而有效地计算出任何给定的有效成本分配[29]。然而，在所有这些研究中，最小核心价值的性质似乎大都被忽视了。

2.1.2作业调度的游戏

在博弈论中，作业调度游戏是一种模型，它可以模拟多个用户希望使用多个处理机器的情况。每个用户都有一个工作，他需要选择一台机器来处理它。每个用户的原因是让他的工作尽可能快。

作业调度游戏是一系列的问题:给定M机器和N个作业。每一项工作都连接到一个向量pi =(pi)。

pi =(pi1,hellip;, pim),类似于它的大小在每台机器上。玩家对应工作。每个玩家的策略集是一组机器。通常情况下，每个玩家都试图将所选机器上的总负载做个小计。标准的目标函数是最小化负载最大的机器上的总负载。

在各种各样的机器之间分配各种各样的工作以优化一些全球目标函数的问题是很普遍的，并且在计算机科学中得到了广泛的研究。在这类问题中，有一个主要的计划者决定将作业分配到机器中，所有共享对象都应该执行该协议。虽然，自从互联网出现以来，分配设置中的问题也得到了调查。在这类问题中，不同的机器和工作可能会被不同的战略目标所接纳，他们通常会试图优化自己的目标而不是全球目标。

2.1.3这项工作的贡献

在本文中，我们考虑了超组合成本合作博弈最小核心价值的计算复杂性和可逼近性。此外，我们还描述了一类最优化问题，其最优代价是超组合的。然后，我们证明了计算超组合成本合作博弈最小的核心价值是np困难。

此外，我们将我们的结果应用于两种特殊情况下的超组合成本合作游戏，它们源于调度和矩阵优化。我们研究调度游戏或合作游戏，其中的成本由单个机器上的加权处理时间的最小和决定。最后，我们考虑合作。

使用子模块增益的游戏:矩阵增益游戏。这样的游戏是合作游戏，在其中，联盟的增益由一组单独的矩阵的最大权重来表示。一些调度和网络设计问题被描述为发现一组私有的矩阵的最大权重的特殊情况[30]。

2.2超组合优化成本的优化问题

首先，我们要解释一下用超组合成本评价合作游戏的重要性。在组合优化的许多领域都遇到了将线性函数最小化的问题，但主要是在调度[31]。

例如，Queyranne和Wolsey说明了在一台机器上可能完成时间矢量的凸结构是一个超组合多面体[32,33]。Queyranne和Schulz表明，在具有变化速度的并行机器上，单元作业的可能完成时间矢量的凸结构是一个超组合多面体[34]。他们研究的问题包含了不同的经典的调度问题。Goemans等人举例说明，对于调度条件，包括单个机器和具有发布日期的作业，独占调度的平均占用时间向量的凸结构是一个超组合多面体[35]。

超组合优化是一种传递相对静态或灵敏度分析的新方法，它决定了外部参数的变化如何影响模型的内部变量。因此，这种方法的使用渗透到经济学中，提取的目的往往是建立模型的主要动机之一。

这种方法的主要属性是，它基本上依赖于所期望的单调性目的的重要假设，并且免除了通常只需要使用经典方法的不必要的假设。主要的感觉真的很简单。如果在一个最大化问题中，目标表明内部变量与外部参数之间的互补关系，在这种意义上，有更多的外部参数会使外围的返回更多，那么之前的最优值将会在后者中扩展。对于多个内部变量，每个人都必须是互补的，这样就可以保证它们的增长是相互增加的。这个结论与先前的互补关系很明显，因此在不必要的假设之前是独立的。然而，内部变量有多个最优值。

这种分析框架的另一个伟大的理论上的进步就是超组合游戏理论，它在经济学中被称为具有战略互补性的游戏。这些游戏的基本属性是它们有不变的反应曲线，反映了自身行为与竞争对手行为之间的互补关系。超组合游戏是通过“战略互补”来区分的——大约，这表明当一个玩家采取更高的行动时，其他人也想做同样的事情。超组合游戏非常吸引人。首先，他们围绕着许多实用的模型。第二，他们有惊人的资产，许多解决方案的想法产生同样的预测。最终，他们倾向于分析兴趣——他们有相对的静力学性质，并在不同的学习规则下表现良好。很多理论都是由Topkis[36]、Vives[37]、Milgrom和Roberts[38]提出的。

许多熟悉的经济应用包括垄断理论，Cournot和Bertrand competition，一个两阶段的研发模型。其中的一些内容既包含了基数词，也包含了相互补充的序数概念，以便给出一些相对的观点。

现在，在博弈论中更好地解释超组合概念。超组合的概念在社会科学中被用来检验一个代理人的决定如何影响其他人的动机[38]。检查一个平衡的游戏和一个平的回报函数f解释了两个或两个以上玩家的。假设动作区域是连续的;为了清楚起见,假设每一个行动都是选择从一个间隔: [m,n]。关于f的超组合，说明玩家i 选择的ai扩展了所有其他玩家j的外围收益df /daj。换句话说，如果我选择了一个更高的ai，所有其他玩家j都有增加他们选择aj的动机。按照Bulow, Geanakoplos和Klemperer的说法，经济学家把这种情况称为战略互补，因为玩家的策略是相互补充的[39]。这是在协调博弈中多重平衡之前的基本特征[40]。

f组合下的相反情况对应于战略可替代性的情况。aj的增加减少了所有其他玩家选择aj的边际收益，所以策略被替换。例如，Bulow等人研究了许多有缺陷的竞争性公司的相互作用。当一家公司的产量增加提高了其他公司的边际收益时，生产决策就是战略补充。当一个公司的产量增加降低了其他公司的边际收益时，生产决策就是战略的替代品。主题的标准引用是Topkis[41]。

在这一节中，我们证明了在超组合多面体上最小化线性函数的最优代价是一个超组合函数。因此，通过考虑超组合成本合作博弈，我们可以获得对广泛情况的最佳成本分摊的一些见解。

现在我们讨论一些与超组合函数有关的定理。因为我们倾向于利用这些定理和所有后续命题的用法，我们不证明它们，只满足它们的表述。

定理1 B的范围有限, f:2 B↦real;是一个超结合功能。如果forall;iB:ge;0,那么该函数c: ↦real;定义为

是B的超结合。

定理2 B的范围有限,让f:2 B↦real;结合下一个函数。如果forall;jN:gjge;0,那么该函数c:2 b↦real;定义为

是N的超结合。

3计算复杂度和近似

我们现在讨论了随机超组合成本合作博弈(B, c)最小核心价值的计算复杂度和可逼近性，注意一个随机的超组合函数c可能不会被压缩编码。因此,在本节的其余部分,我们提出一个有价值的权威是用于c,至少有两个经纪人(bge;2)。这里我们接受这个定理，没有证明。

定理3计算超组合成本合作博弈最小的核心价值[43]

3.1通过修复成本分配来近似

以上的否定结果表明，在多项式时间内，我们能够精确计算出超组合成本合作博弈的最小核心价值是完全不可能的。事实上，我们可以说，即使已知最小的核心元素，也很难做到这一点。因此，我们用多项式运行时间的方法来探索这些游戏中最小的核心价值。

第一次尝试估计,我们修复成本分配alpha;,alpha;(B)

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