用于uid-结构相互作用的沉浸有限元方法外文翻译资料

 2022-04-27 08:04

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用于uid-结构相互作用的沉浸有限元方法

LT Zhang*，M. Gay

美国纽约州特洛伊伦斯勒理工学院机械，航空和核工程系

2006年3月23日收到; 接受2007年1月20日

2007年5月18日在线提供

摘要

在本文中，我们提出了数值方法的详细推导，浸没有限元法（IFEM），用于解决结构间相互作用问题。 该方法基于由Peskin发起的浸入式边界（IB）方法开发，具有处理非均匀和独立网格以及在uid和固体域上应用任意边界条件的额外功能。 从无网格方法之一采用更高阶插值函数，再生核粒子方法（RKPM），其减轻了uid网格的均匀性约束。 提出了两个2-D示例问题来说明算法的功能。 数值分析的准确性表明，IFEM算法是一种可靠且稳健的数值方法来解决流体和变形的固体相互作用。

关键词：浸没有限元法; 流体 - 结构相互作用; 浸没边界法; 再现核粒子方法

1.介绍

对结构相互作用类型问题的数值研究需要可靠的数值模拟和模拟工具。 在研究复杂的物理现象时，特别是在生物科学和生物医学领域，有效而强大的建模技术是必不可少的。 在过去的几十年中，许多研究工作已经被引入到用于流体 - 结构相互作用的方法开发中。 方法开发的Tezduyar等人。 （1992年）, 约翰逊和 Texduyar（1995年，1997年，1999年），广泛用于模拟流体颗粒和流体 - 结构相互作用，例如降落伞空气动力学研究（Stein等，2001）。 任意拉格朗日欧拉（ALE）数值方法用于休斯等人。 （1981年）, 刘（1981）, 刘和马（1982）, 韦尔塔和刘（1988）, 刘等人。 （1988）, 胡 等人。 （2001年），和Zhang等人 （2003年）是另一种适应复杂的uid结构界面的技术。 然而，对于ALE算法，网格更新或重新网格化过程在计算上可能是昂贵的。Belytschko和Kennedy（1976）, Belytschko（1980）, Belytschko等人 （1980年）, Belytschko和Mullen（1981）, 刘等人。 (1986) 使用数值模拟来进行流体结构影响分析。Fortin和Glowinski（1983）, Glowinski 等人。 （1999年，2001年） 开发了分布式拉格朗日乘子法来研究颗粒流。 最近研究人员已经应用扩展有限元法（XFEM）来研究流体相互作用（瓦格纳 等人，2001; Chessa等人，2002; Chessa和Belytschko，2003年).

在为uid-结构相互作用开发的计算方法中，最引人注目的贡献之一来自于Peskin（1977）他开发了浸入式边界（IB）方法来研究心脏瓣膜周围的血流（Peskin，1972,1977; McCracken和Peskin，1980; McQueen和Peskin，1983; 佩斯金和 McQueen，1989年，1990年，1991年，1992年，1993年，1994年，1995年，1996年; McQueen和Peskin，2001年）。 IB方法的数学表达采用欧拉和拉格朗日描述的混合物来描述uid和固体域。 uid和结构之间的相互作用通过分布节点力和通过Dirac delta函数的平滑近似在欧拉和拉格朗日域之间插入节点速度来实现。 IB方法的优点是自动跟踪uid结构接口，这避免了昂贵的网格更新算法。 然而，IB方法的一个主要障碍是假设为柏状浸入式弹性结构。 这种假设限制了对可能需要复杂本构定律的结构的现实建模，并且准确地表示它们在uid域内占据的有限体积。 尽管如此，IB方法在计算领域做出了巨大贡献。 它为未来的科学家和工程师铺平了道路，将数值计算技术提高到一个新的水平。

本文的目的是提出一个新的数值算法的详细推导和评估，称为沉浸有限元法（IFEM），用于求解uid-结构相互作用问题（Liu等人，2004a，b;Y.Liu，2006; Gay等人，2006; 刘等人，2006）。 该算法是基于IB方法的基本概念而构建的，但是通过采用扩展浸没边界法（EIBM）的特点，消除了IB方法的上述缺点，王和刘（2004）。 IFEM还依赖于在无网格方法中常用作形状函数的delta函数属性（Liu等人，1996a，b; 李和刘，1996年，1999年，2002年， 2004），例如再现核粒子方法（Reproducing Kernel Particle Method，刘等人，1995; Liu和Chen，1995; Zhang等人，2002）。 这种无网格三角函数不仅在uid和固体域之间使用的耦合程序中提供了更高阶的平滑度，而且还提供了处理非均匀uid网格的能力，这在数值方案中提供了灵活性和鲁棒性。 IFEM的基本概念如图所示Zhang等人 （2004年）。 但是，它缺乏该方法的详细推导和准确性分析。 本文介绍了这种IFEM方法的完整形式和全面的解释和分析。

这个文章的概述如下。 运动方程首先在第二节中得到，具体的运动学和uid和solid的控制方程以及交互插值。 第3节给出了两个验证示例。第一个是位于通道中的软盘，其中磁盘的终端速度可以与刚性磁盘的解析解相比较。 第二个例子显示了由正弦波流驱动的薄叶片的运动。 这两个例子都是为了展示IFEM的主要特性，功能和效率。 最后，第4节得出结论。

命名法

流体变量

FEXT 施加外力

Ffsica 互动力量

r 密度

x 网格位置

v 速度

r 柯西压力

固体变量

FEXT; S 施加外力

FFSI; S 互动力量

Rs 密度

xs 当前位置

vs 速度

一个s 促进

Us 移位

Xs 初始位置

Rs 柯西压

2.运动方程式

本节的主要目标是推导并介绍沉浸有限元法算法的运动方程。 为了简洁和清楚理解概念，我们从虚拟工作原理或弱形式开始推导。 如果弱形式解足够平滑以至少满足C0连续性，则派生方程的弱形式等价于其强形式。

图1.计算域分解。

2.1.运动学

让我们考虑一个占据有限域的可变形结构Os，它完全浸入流体中如图1所示。流体和固体一起占据整个计算域O和它们在共同界面GFSI处相交，其中FSI代表流体 - 结构界面（即， 。 如果是二维域，或者如果是三维的，则FSI表示一条线。界面GFSI与固体边界Gs重合。 涉及的命名可以分成两部分类别：一个属于固体，另一个属于流体。 与固体相关的符号有上标s以区别于那些流体。

2.2.重叠的域

我们首先假定uid存在于域的任何地方。这个假设允许我们生成uid和固体网格，并独立地解出uid和固体方程，从而避免跟踪uid结构接口所需的频繁网格更新方案。 在IFEM中，浸入uid域的固体占据计算域中的物理空间或体积。 因此，当构建固体域s时，它与使用uid填充的整个域重叠。 由于固体和“人造”uid共存于固体领域，s，我们将其命名为#39;重叠域#39;，macr;，即s macr;。 这个假设可能简化计算，但不符合实际的物理。 因此，在制定运动方程时，必须消除这种在固体领域中的“人为”流体效应。

另一个重要假设是uid和固体之间的界面必须遵守无滑移边界条件。 因此，坚实的结构可以追随到人造物品的任何地方，或者它可以被认为是由固体产生的力量引起的人造物品运动。

为了更好地说明和解释为这个重叠领域制定的方程式，我们首先通过推导具有测试函数dvs的固体领域的虚拟工作原理

等式的括号中的项。 （1）描述固体的控制方程，其中rs是与内力直接相关的应力。 术语rseth;dvs=dtTHORN;或rsus是惯性力，fEXT; S是施加的外力，

如重力。

i

我们现在想重写Eq。 （1）使与术语uid有关的术语包含在内而不矛盾均衡。 假设没有外力施加到uid域，方程 （1）变成

上面修改后的等式中的附加条款加下划线。 人们可以很容易地确定它们总和为零。 这个公式被重新排列，以便具有uid属性的术语可以组合在一起以产生

式.（3）现在包含两个术语。 第一个术语是固体领域中固体完成的工作，减去了专业用户所做的工作。 第二学期代表了这个重叠领域的艺术家uid所做的工作。 请注意，该方程仍处于平衡状态。

我们现在将相互作用力定义为，并用测试函数以弱形式表示它，dvi，

i

注意到由于macr;和s是等价的，因此方程 （4）变为macr;。 在重叠域中的实体速度vs可以用方程 （4），因为它们在该界面基于无滑移边界条件的假设是相同的。 用方程 （4）回到方程 （3）并重新排列这些项，我们得到了重叠域中固体的以下弱形式，

i

式.（4）和（5）完成了对固体和液体的控制方程的推导。 接下来的任务是将方程（1）中描述的macr; 式.（4）与uid域f中的实际或物理uid，使得uid可以在整个计算域中被均匀处理。

2.3.流体领域

在IFEM中使用Navier-Stokes方程来描述粘性牛顿流体。 这些变量是用欧拉描述定义的。 在这里，uid被认为是不可压缩的。 Neumann和Dirichlet类型的边界都可以应用在uid边界，尽管它们可能不重叠。 因此，uid域可以在形状和大小上是灵活的。 它提供了在任何需要的地方建模逼真的uid域的优点。 真正的uid占据域fs，即整个计算域减去固体域。 连续性和

在uid域f中的uid的动量方程是

其中r是作为压力和剪切应力函数的柯西应力，

如果我们假设没有外力施加到uid，即fEXT= 0，并且表达式 （6b）以其弱形式使用测试函数dv，Eq。 （6b）变成

现在，结合方程式中真实用户所做的工作。 （8）和方程 （4）随着总时间微分项，的扩展，我们得到

方程中的第一个被积函数 （9）与Navier-Stokes方程的动量方程相同，只是存在项ffsica。 这种相互作用力只存在于重叠区域及其周围。 其值在该地区以外的地方减少为零（我们将在下一节中详细说明）。 因此，方程（2）中的两个积分项。 （9）可以组合成整个计算域.

由于uid是同质的，并且物理和艺术用户都被假定为不可压缩的，所以我们可以将uid的完整控制方程写成

方程式的唯一偏差。 （11）从传统的Navier-Stokes方程是ffsica。 在IFEM公式中，这个术语可以被解释为施加在由人造尿液产生的尿液上的外

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