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天然河道水流的一维和二维有限元模型的计算
E. Bladeacute; uArr;, M. Goacute;mez-Valentiacute;n, J. Dolz, J.L. Aragoacute;n-Hernaacute;ndez, G.Corestein, M. Saacute;nchez-Juny
摘要：现在有多种洪水模拟模型可供选择。其中一些人使用一维方法和其他人则是二维的，但也有一些可以实现1D-2D混合模型。这些模型中后者模型在优化计算成本方面具有重要的优势，通常在河道中使用1D方法，在洪泛区中使用2D方法。1D和2D混合模型通常确保质量守恒，并且使用简化的堰型或摩擦斜率方程，但忽略两个域之间的动量传递。本文提出了一种完全保守的一维和二维域耦合方法，用于基于有限体积的数值方案。该方法基于数值通量的离散化，确保质量和动量的守恒，通过简单的测试案例进行验证。将该方案与基于方程源项的标准方法进行比较，并将其应用于位于西班牙埃布罗河的河流-水库系统的水动力特征描述。
关键词：洪水模型1D、2D模型数量有限动量守恒浅水方程
1 引言
洪水模型已被证明是解决河流动力学问题和制定洪水管理策略的非常有用的工具。不同的方法已被用于这种建模技术。目前，建模工具存在着广泛性：商业模型，自由模型，开源模型和研究模型。伴随着空间离散化技术，大多数建模工具使用一维或二维方法。
近年来，已经提出了一些发展，其中一维和二维方法被集成到单个建模工具中。通过混合方法，可以在需要的地方使用2D方案的更精确的流程描述，并在其他地方使用1D方法。通过这种方式，节省了计算机时间和内存，因为一维方案中的计算点的数量比2D方案中的计算点数量低得多。当模拟大面积时，2D模拟中涉及的点的数量将与面积成比例，而一维模型中横截面的数量将取决于河段的长度。大面积的完全二维模型可能涉及数百万个元素，而同一个覆盖范围的一维模型可以用不到一千个部分完成。这种差异导致计算时间和计算机内存需求方面的重要节省，这可能是2D模型应用的限制因素。计算时间通常随着涉及元素的数量以指数方式增加至1.5至2之间的功率。方法之间的时间差异可以从1D的几秒到几分钟到2D的几小时，几天甚至几周。当使用混合1D-2D模型时，可以使用1D方法研究的每公里河流可以节省大量的时间和内存。混合1D-2D模型在使用方面也具有一些优势，例如，当在河流的一维模型已经可用的区域或当存在关于河流的横截面的几何形状的信息的区域中完善泛洪平面流模拟时，但是没有全球数字高程模型。在2D模型的边界条件存在不确定性的情况下，一维模型可以耦合到2D模型以扩展域并以合理的成本更好地逼近边界条件。当使用显式方案时，1D-2D模型在时间步长受到Courant条件限制的情况下也具有优势。在河流和泛滥平原的二维模型中，河流通常是时间步长限制因子，因为那里的深度和速度大于在漫滩中。如果在1D-2D中对相同面积进行建模，则可以使用大于2D元件的尺寸的横截面之间的间隔来增加时间步长的值。
第一个集成的1D-2D模型是作为现有1D模型（当时唯一可用的方法）的扩展而开发的。在这方面的一项开创性工作是湄公河三角洲在1975-1976年的模型[1]，其中利用Preissmann方案求解圣维南方程的环形通道流的一维模型与存储单元算法使用质量守恒方程来连接域。这种方法后来被称为1D准二维模型，并很快在第一版Mike-11中被采用。它后来被稍微有些变化的其他人使用，如[2]中的情况以及现在的Hec-Ras版本。如果河床的高程比洪泛平原高，或者它们之间有堤防或路堤，准二维方案可以以非耦合的方式使用[3]。在这种情况下，不包括回水效应[4]。当回水效应的影响不可忽略时，需要一维和准二维方案的耦合[5-7]。准2D方案在确定洪泛平原上的前浪和后退方面总是受到限制。
将一维模型与二维模型耦合可能有其他几种方法。开发了完全整合一维和全二维方案的第一项研究，以利用有限元方案研究威尼斯泻湖的流体力学[8]。它采用了一种原始的方法，其中一维通道可作为低水位的开放通道工作，而二维要素下方的压力导管可用于高潮流。数值结果与现场数据[9]以及完全二维模型[10,11]进行比较，结果令人满意。后来，有限体积的泥沙输送模块被添加到模型中[12]。集成的一维和二维数值方案也用于荷兰的食物造型，使用Sobek软件的隐式方案[13]。在这里，Sobek使用两个独立的计算层，通过水位兼容性相互连接。后来，相同的软件采用放电兼容性[14]结合了两种模式化的可能性。这种方法用于伊朗的锡斯坦-俾路支斯坦河流域[15]和菲律宾的比科尔盆地[16]。
1D和2D方法的其他组合也被采用。利用LISFLOOD-FD软件[17-19]，在1D中求解河道主河道水流，用扩散波方程[4]求解河岸淹没区域。此外，河流中的有限体积和黎曼解算器已经与漫滩中的存储单元结合[20]。在其他情况下，准2D方法已被用于提供全2D模块的输入水文图[21]。在[22]中提出了一种用于稳定流动的创新方法，或者可以忽略衰减效应的情况。通过质量守恒方程，使用抛物线浅水方程（PSWE）（SWE的简化版本）实现了1D-2D集成。
本文提出了耦合一维和二维有限体积方案的数值方法。在一维和二维区域，有限体积法已被用于求解完整的圣维南方程或浅水方程。有限体积法特别适用于不规则网格和有冲击和不连续性的流动[23]，例如在地中海河流中发生的流动。最近，这种技术已被用于许多研究模型，以及用于洪水分析的商业软件包，如Infoworks[24]，MikeFlood[25]或Guad2D[26]。这里介绍的方法来自CARPA建模系统，由加泰罗尼亚理工大学Flumen研究小组开发[27]。最近，CARPA已经进行了各种改进。一方面，对数值方案进行了改进，例如本文的一个主题。另一方面，基于GiD[28]开发了一个用户友好的界面，这是一个有限元预处理和后处理软件，有限差分和有限体积方案[29]。有了这个接口，就可以从常见GIS格式的数字地形模型中读取数据，离散剖面和网格中的几何体，分配条件，运行模拟和分析结果。本文介绍的集成1D-2D方案的发展确保了质量和动量守恒。该方案通过简单的测试案例进行验证，并应用于真实案例（Ribarroja与Flix大坝之间的埃布罗河）
2 控制方程和数值计算方法
1D和2D数值方案都使用高分辨率Godunov方案和Roe的Riemman求解器和TVD函数[30]。这里使用的1D数值方案的详细描述可以在[27]或[31]中找到。在最后的参考文献中，为了确保该方案在不规则几何形状的稳定流动的情况下提供满足能量方程的解决方案，提出了一些改进，这是以前存在的一些方案所不能达到的[32]。以下小节概述了1D方程的基础知识和更完整理解下面介绍的1D-2D发展的数字方案。
2.1 一维流动
不规则通道保守形式的一维圣维南方程组为：
其中U1D是守恒变量的向量，F1d是通量向量，H1D是源项，A代表湿润的横截面积，Q是流量，g是重力，S0是通道坡度，Sf是摩擦坡度，h是水深b沟道宽度和ql横向放电。这些方程的有限体积数值方案可以写成：
其中F1D是数值通量，H1D是有限体积中源项积分的数值表达式，其中包括了河床坡度和粗糙度的影响。对于一维方法，每个有限体积对应于由一个横截面表示的长度为Dx的段或河段，而U1D是在有限体积内平均的守恒变量，如图1所示。在这项工作中，提出的方案在[31]中详细解释了一维方程。它由一个有限体积的全变差递减Roe方案和不规则（非矩形和非棱柱形）通道的源项上升式组成。在有限体积方案中，质量和动量通过数值通量在元素之间传递，这将是用于连接1D和2D的方法的关键。
U1D，I1，U1D，I和U1D，i 1是每个有限体积上守恒变量的向量，近似解U1D（x）。F1D是每个细胞间的数值通量，Dx是横截面之间的距离。
在一维模型中，一种常用的技术（也用于这项工作）是分离主通道（C），右岸（R）和左岸（L）。在这种情况下，三个小节中的流量分布可以从每个小节的运输KL，KC，KR的计算中获得。整个横断面输送是K=KL KC KR。放电分布QL，QC，QR与传输量成正比（假设整个横截面上的唯一摩擦斜率），并且可以获得对应于每个子分段vL，vC，vR的速度：
2.2 二维流动
对于2D方法，使用保守形式的二维圣维南方程（或浅水方程）：
现在U2D是守恒变量的向量，F2D是通量张量，H2D是源项：
其中h是深度;u和v在x和y方向上的速度分量;Sox和大豆床坡的组成部分;Sfx和Sfy是摩擦斜率的组成部分;和iR雨强度。基于Godunov方案和Roe近似黎曼求解器[30]，使用有限体积高分辨率方案，这与上一节中提到的一维方案类似。根据[33]中提出的改善治疗的想法，对几何来源术语进行离散化时需要特别小心。以元素为中心或以单元为中心，使用有限体积：每个网格单元对应于有限体积。与一维方案一样，根据Harten的定义[34]，Roe的一阶方案被改进为高分辨率方案。为此，使用通量限制技术[35]，其实施方案的总变差递减性质（TVD）。由此产生的方案主要是精度的二阶，但是避免了冲击附近的虚假振荡。
适用于元素（有限体积）i的2D圣维南方程的任何显式有限体积方案可写为：
F2Diw是通过有限体积壁或边的数值通量，w是与单元i的每个壁对应的指数，并且Ni是边的数量。矢量ni，w与分量nx和ny是元素i的壁w的向外法向矢量，li，其长度，Vi是有限体积i的体积（在这种情况下，这是一个区域）。对于RoeTVD方案[35]，数值通量为：
其中j是通过壁w与元素i连接的元素，lambda;k和ek是Roe近似通量矢量的雅可比矩阵的特征值和特征向量：
ak系数或波浪强度：
和uk;vk和ck保守变量的平均状态：
其中vk=kkDt=Dx。通量限制器函数取决于rk，它表示解决方案的边界i，j上的分量k相对于其上风边m，n的跳跃，其可以在同一个元素上或另一个元素上：
在这项工作中，使用Minmod限制函数[35]：w（r）=max[0，min（r，1）]。
在CARPA中，该方案可以运行在不规则的三角形网格，四边形或两者的组合上。至于源项，则分解为摩擦和床坡的贡献：
和
在数值方案中，应用相同的分解：对于摩擦项，使用居中离散化。对于床坡度项，[33]证明如果使用类似于磁通矢量的迎风分解，则在源项离散化和等式部分之间的正确平衡被保证：
二维方案结合了[36]中提出的域的润湿和干燥算法，该算法可以成功地用于有限体积方案并确保零质量误差[37]。计算中只包括水深大于阈值的元素。
2.3 1D-2D集成
一维和二维圣维南方程在单个耦合模型中求解。在寻求精度和计算时间之间的最佳关系时，这具有一些优点。根据配置[38]，与一个系数高达2000的2D模型相比，耦合的1D-2D模型可能会导致计算时间的缩短。在流量主要为1D的地区（垂直于横截面的流线，河流相似的水位高度），1D方法具有计算时间少得多的优点，而在由于缺乏精度而无法接受该假设的地区（再循环区域，速度分布或河水宽度的重要差异），建议使用2D模块。在开发完全耦合方法的情况下，求解二维域时考虑了一维域的回水效应，反之亦然。
从几何连接的角度来看，它们被分为两种不同的类型，如图2所示：
1.当一维河流流入二维域时，或二维域流入一维河段时，在流动方向上的连接。在这种情况下，连接将涉及单个截面（第一个或最后一个截面）和一组2D网格元素。
2.如果河流横向流动到二维模拟的泛滥平原上，则为连接。在这种情况下，迁移区域由多于一个的横截面构成，每个横截面连接到一组2D元素。
图2集成的1D-2D模拟。侧向和流向连接。
从实际的角度来看，在两种情况下，模型都将包含一个使用横截面的一维模型和一个使用网格的二维模型（在我们的例子中可能是不规则的和非结构化的）。在分配模型的边界条件时，在1D到达结束的横截面或2D的边界线中，必须指出它是1D-2D连接。对于流动方向的连接，过渡部分的长度必须与一维横截面之间的长度相似。例如，对于位于下游端的连接，如果整个覆盖范围在1D中建模（图3），则2D域应覆盖下一部分所在的区域。对于横向连接，推荐的配置是横截面覆盖了河流的主要通道，而2D域只覆盖横断面终止处的漫滩（图4）。
这里使用的一维和二维数值方案是明确的，因此它们的稳定性受到Courant条件的限制。只要时间步长足够小，无论解决方案的平滑度如何，该方法都将始终保持稳定。一方面，深度和速度越大，时间步长越小。另一方面，1D中的横截面或2D中的元素之间的较大分离将允许较大的时间步长。主通道的速度和深度通常比洪泛平原更大，这就是为什么在具有统一单元
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