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第三章 模数转换与数模转换
科学和工程学领域中直接用到的信号大部分是连续信号；光强随距离而变化，电压随时间而变化，化学反应速率和温度相关。数模转换（ADC）和模数转换（DAC）是计算机处理日常生活中的连续信号必不可少的过程。数字信号与它所对应的连续信号的区别主要体现在两方面，抽样和量化。
这两个因素决定了一个数字信号能包含的信息量。本章主要介绍数据管理的内容，以便你知道哪些信息是重要的不可缺少的，而那些信息又是可以弃之不用的。然后，我们讨论模拟与数字信号转换过程中的抽样频率。抽样精度问题，以及模拟滤波器类型的选择。
首先，说一点题外话。正如你所知，这是一个数字化的计算机，而非数字计算机。处理的信息叫做数字化数据，而不是具体的数字。那么，为什么模拟到数字的转换通常被称为数字化和数字化处理，而不是以洋地黄治疗（digitalize）和洋地黄疗法（digitalization）？答案是出乎意料的，大约一个世纪以前，当电子学发展到开始研究数字技术时，这两个单词却已经被医学界抢先使用了，以洋地黄治疗和洋地黄疗法意指施用心脏刺激药物洋地黄（强心剂）。
图3-1表示典型的模拟到数字转换的波形图。图3-1a是待数字化的模拟信号。如图所示，这是一个随着时间改变的电压信号，为了使数字看起来更简单，我们假定电压能从0v改变到4.095v，对应的数字值从0到4095.可以由一个12位的模数转换器产生/需要注意到此方框图被分为两个部分，抽样保持阶段（S/H）和模拟到数字的转换阶段。正如读者在电类课程中所学一样，抽样保持是确保在模数转换过程中进入转换器的电压是常量的必须条件。然而，这并不是它被列在这里的理由。把数字化为两个阶段是理解数字化的一个重要理论模型。
正如图3-1a和图3-1b之间差别所示，抽样和保持的输出只是发生周期的改变。具体在什么时候改变取决于输入信号的瞬时值，输入信号在两次抽样之间的改变将完全被忽略，也就是说，抽样是指独立的变量（此例中指世界）从连续转换到离散的过程
正如图3-1a和图3-1b之间差别所示，模数转换器将图3-1b中每个平坦区间对应的电压值转换成0和4095之间的一个整数，这里将引入一个误差，因为每个抽样电压可能是0v到4095v之间的任意数值，不一定是整数，非常有可能是小数，但都将被量化为整数。例如，2.56000v和2.56001v都将会被转换成2056换言之，量化是指将因变量（此例中指电压）从连续状态转换到离散状态的过程。
需要注意的是，我们小心地避免了比较图3-1a和图3-1c，因为那样会将抽样和量化的概念混淆。把二者分开分析是因为它们采用不同的方式划分信号
一个针对自变量（时间），而另一个针对因变量（电压），而且在电子学上用不同的参数控制。也有单独利用抽样和量化的情况。比如说，开关电容滤波器就只是用了抽样而没有量化。
图3-1 量化过程的示意图。为将抽样和量化的影响区分开，整个转换过程被分为两个阶段。第一个阶段是抽样保持阶段，这一阶段保存的唯一信息是进行周期性抽样时的瞬时值。第二个阶段，模数转换讲电压值量化到最接近的整数值。这造成被数字化的每个抽样都允许有plusmn;1/2LSB以内的误差。如图d所示，量化通常能被视为将噪声引入信号的过程。
首先，我们看看量化的效果。数字化的信号中的任何抽样都会有最大plusmn;1/2LSB（最低有效位，表示相邻量化值之间差别的术语）的误差。图3-1d表示了此例的量化误差，是由图3-1c减去图3-1b得到的。换言之，数字化输出结果图3-1c与图3-1b的连续信号加上图3-1d中的量化误差等价。这种分析的一个显著特点是量化误差看起来就像是随机噪声。
这里设置了一个量化误差的一个重要模型。多数情况下，量化对信号来说无非是增加了特定量的随机噪声。同样地，增加的噪声也在plusmn;1/2LSB范围内，平均值为0，标准偏差为1/LSB(约0.29LSB).例如，当一个模拟信号通过一个8位的模数转换器，将增加0.29/256的噪声，或者是满量程的1/900，而12位的转换增加噪声为：0.29/4096=1/14000，16位的转换增加噪声：0.29/65536=1/227000，因为量化误差是随机噪声，数模转换的位数决定了数据的精确性。例如，你可以这样描述，我们把测量精度从8位提高到12位。这个模型很有说服力，因为随机噪声只是简单叠加在已经混杂了其他噪声的模拟信号上。例如，假设有一个最大幅值为1.0v的模拟信号和一个1.0mv的均方根随机信号。对其进行8位的模数转换，则1.0变成数字量255，而1.0mv变成0.255LSB.正如第二章中所讨论的，随机噪声信号是真值发生波动的总和，就是说，信号以正交的方式叠加：。在本例中数字信号的总噪声为LSB.这相当于在模拟信号已有的0.255LSB噪声的基础上又增加了50%。对同样的信号进行12位的数字化实际上不会增加任何噪声，而且量化也不会造成任何损失。当需要决定一个系统需要数字化为多少位时，需要搞清楚两个问题：模拟信号已经含有多少噪声？数字信号中能允许多少噪声？
什么情况下量化模型不是有效的呢?只有当量化误差不能被当作随机误差处理的时候。当多次连续的抽样中模拟信号保持相同数值时，这种情况容易发生。如图3-2a所示，即使模拟信号上下变化plusmn;1/2LSB，输出的抽样结果仍然保持同一个值。量化误差看起来就像一个阈值效应或者是突然的扭动，而不是一个随机噪声。
加抖动是改进这些缓变信号数字化效果的常见技术。如图3-2b所示，在模拟信号中叠加了少量的随机噪声。在这个例子中，附加的噪声通常是以2/3LSB标准偏差分布的，峰峰值大约3LSB.图3-2c表示了叠加的抖动噪声对信号的数字化所造成的影响。即使原始的模拟信号变化小于plusmn;1/2LSB，叠加的噪声仍能够引起数字输出在相邻级别之间随意变化。
为了理解加抖动技术是如何改善这种情况的，假设输入信号是3.001v的常值模拟电压，将其扩大1000倍，在数值3000和30001之间。如果未加抖动，对这个信号进行10000次抽样会产生10000个相同的数字，每一个的值都是3000.下面，增加一个微小的增量信号再重复这个实验。这10000个数值现在将会在两个（或更多）数值之间震荡，其中大约90%的值仍是3000，剩下的10%将会变成3001.所有的10000个值取平均值接近3000.1。即使单词测量固有的plusmn;1/2LSB限制。但大量的统计将会产生更理想的结果。这是一种相当奇怪的情形：增加噪声反而提供了精确的信息。
产生抖动信号的电路可能相当复杂，就好像使用一部计算机产生一组随机数，然后使它们经过数模转换来产生附加噪声。在数字化之后，计算机能使用浮点算法从数字信号中减去随机数。这种技术叫做消抖动，但是只能被用于大多数精细系统中。最简单的方法（尽管这可能并不适用于所有情况）是将已在模拟信号中出现的噪声当抖动信号。
3.2抽样定理
定义适当的抽样相当简单。假如你用某种方式对一个连续信号进行抽样。只有以适当的方式抽样，你才能通过抽样信号精确地恢复原始模拟信号。即使抽样数据显得混乱或者不完整，只要采集到了关键信息，那么就能颠倒这个过程。
图3-2 加抖动的示例，图a表示在数字化过程中一个波动小于plusmn;1/2LSB的模拟信号将维持同一量化值。加抖动技术通过在模拟信号中增加一个很小的随机噪声来改善这种情况。如图b所示。此例中，附加的噪声通常是标准偏差为2/3LSB的正态分布。如图c所示，附加的噪声引起对相应的数字信号在相邻的量化数据之间变化，提供了原始数据的更多信息
图3-3是一些在数字化之前和之后的正弦曲线。图中的连续曲线表示进入模数转换器的模拟信号，而方形标记表示模数转换后的数字信号。在图3-3a中，模拟信号是一个常值的直流信号，可认为是0频率的余弦波。因为模拟信号是在连接各个抽样点的直线，恢复重建模拟信号所需的全部信息必须被包含于数字信号中，根据上文定义，这就是适当的抽样。
图3-3b中显示的正弦波频率为抽样频率的0.09倍。这就表示，例如一个频率为90HZ的正弦波以1000Sa/s的速率被抽样。用另一种方式表达，就是在每个完整的正弦周期抽样11.1次。这种情况比先前的情况更为复杂，因为模拟信号不能仅仅通过在数据点之间简单地连接直线来恢复。那么这些抽样点能够合适的表述模拟信号么？答案是能，因为没有其他的正弦曲线货正弦曲线的组合，能够产生同样的抽样点图样（在下文所述的合理限制下）。这些抽样点仅仅对应一个唯一的模拟信号，因此模拟信号能够被准确的恢复，这也是一个适当的抽样的例证。
图3-3c中，将正弦波的频率提高到抽样率的0.31倍，则恢复模拟信号的难度增加。这造成每一个正弦波周期只有3.2个抽样点，抽样太过稀疏以至于它们不能追踪模拟信号的总体变化趋势。那么它们能够准确地表示原始的正弦波吗？答案仍然是能。也是因为同样的原因，抽样信号是模拟信号的特定唯一的表现。恢复模拟信号所需的所有信息都包含在数字数据之中，至于具体的做法将在本章的后面讨论，不过显然，它一定比数据点之间连直线要复杂。尽管看起来比较复杂，按上文的定义，这仍然是适当的抽样。
图3-3 合适和不合适的抽样的例证，如果抽样信号能够无失真地恢复原来的模拟信号，这就是合适的抽样，图a，图b和图c描述了3个正弦波的适当抽样。当然，这不是显而易见的。因为在图c中甚至不能获得原始波形的形状，尽管如此，每一个连续信号都对应一个独特的，唯一的抽样信号。这保证了能够不失真地恢复原始模拟信号。图d中，模拟正弦波的频率超过了奈奎斯特频率（抽样率的一半），这就造成了频率混叠，则抽样数据的频率变成了另外的连续信号的频率。因为频率混叠破坏了信息。所以原始的信号已经不能通过抽样信号不失真的恢复
图3-3d中模拟信号的频率高达抽样率的0.95倍，每个正弦周期有10.5个抽样点。这些抽样结果还能准确地表示原始数据吗？答案是否定的！从一个模拟信号抽样的结果是另外一个完全不同的新正弦信号。这种在抽样过程中频率改变的现象叫做混叠。正如一个犯罪的可能改用的名字或者身份（一个频率混叠），正弦曲线变成了不是它自身频率的信号。因为数字信号不再唯一代表与之相对应的模拟信号，所以要准确地恢复原始信号是不可能的。没有任何抽样数据信息可以表明最初的模拟信号频率是0.95倍抽样而不是0.05倍，在这种情况下正弦波完全隐藏了它的真实身份，真是一个完美的罪行！按照上文的定义，这不是一个适当抽样的例子。
抽样定理 是DSP技术的一个里程碑，通常叫做香农抽样定理。1940年以后关于这一主题的论文发表之后被称为奈奎斯特抽样定理。抽样定理指出，只有当一个连续信号不包含大于抽样频率一半以上的频率成分时，才能认为是一个适当的抽样。例如，2kHz的抽样频率要求被抽样的模拟信号由频率为1kHz以下的信号组成。如果包含有在此频率限之上的信号，它们将会被混叠为频率在0和1kHz之间，和那里原本合理存在的信号叠加起来。
讨论抽样定理时，有两个概念应用广泛，奈奎斯特频率和奈奎斯特速率。但是二者的定义不够标准化。为了理解这一概念。假设模拟信号所包含的频率在直流和3kHz之间。这里面有4个重要的频率，信号的最高频率3kHz，2倍于这个频率的6kHz，抽样频率8kHz，还有抽样频率的一半3kHz。这4个中哪个是奈奎斯特频率，而哪一个是奈奎斯特速率呢？视情况而定，所有的组合都是可能的。幸运的是，多数作者会小心地定义这两个概念。在书本中它们都被用来表示一半的抽样率。
图3-4表示频率是怎样在混叠期间被改变的。关键是要记住数字信号不可能包含频率大于抽样频率一半的信号（即奈奎斯特频率/速率）。当连续波的频率在奈奎斯特频率以下时，被抽样的数据是相匹配的。然而，当连续信号的频率在奈奎斯特频率以上时，频率混叠使得抽样数据可能代表其他的频率。就像在图3-4中的折线所示，在奈奎斯特频率之上的每一个连续的频率都在零和一半的抽样率之间有个对应的频率。如果在那个对应的较低频率处恰巧是一个正弦曲线频率。混叠频率的信号将会和它叠加在一起，造成部分信息的丢失。频率混叠变的越发严重。信息可能在较高和较低频率处被遗失。假如有一个数字信号包含0.2倍抽样率的频率，如果这个信号是通过适当的抽样获得的，则最初的模拟信号一定包含有0.2倍抽样频率这一频率。如果在抽样时发生频率混叠，数字频率0.2倍抽样频率可能来自模拟信号中的0.2，0.8，1.2，1.8，2.2倍抽样率等无限多个频率。
图3-4在抽样期间进行模拟频率到数字频率的转换。频率低于抽样率一半的连续信号能够被直接转换到相应的数字频率。当频率超过抽样比率一半时，频率混叠发生，造成数字频率的偏差，频率混叠总是使比较高的频率叠加到一个比较低的在0和0.5之间的频率上。除此之外，频率混叠也可能使信号的相位改变180°
正如频率混叠在抽样期间能改变频率一样，它也能改变相位。例如，回头看图3-3d中发生频率混叠的信号。被频率混叠的数字信号来源于原始的模拟信号，一个是正弦而另一个是反相的正弦波。换句话说，频率混叠不仅改变了频率而且产生了180°的相位反转。只有两个相位反转是可能的：0°（无相移）和180°（反相）。零相移在模拟频率的0-0.5，1.5-2.0，2.5-3.0倍抽样率等处发生。
现在我们将会对抽样和频率混叠是如何发生的进行更为详细的分析，我们总的目标是了解当信号从连续形式转换到离散形式时将会发生什么。问题是，两者是差异很大的事物，一个是连续的波形而另一个是数组。这一苹果-橙子的对比使得分析变的非常困难。解决的办法是引入一种理论上的概念：脉冲序列。
图3-5a表示一个示例的模拟信号。图3-5c表示对其通过脉冲序列进行取样。脉冲序列是包含一系列与原始信号抽样时刻相对应窄尖峰（脉冲）的连续信号。每个脉冲都无限窄，这个概念第13章将会讨论。在这些抽样时刻之间波形是0.但要记住脉冲序列仅是一个理论上的概念，而不是实际在电子线路中存在的波形。因为原始模拟信号和脉冲序列信号都是连续的波形，我们能够在二者之间进行”苹果-苹果“式的比较。
现在我们需要弄清楚脉冲序列和离散信号（数
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