离散优化 用于公共设施规划的分层位置模型外文翻译资料

 2022-08-09 03:08

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离散优化

用于公共设施规划的分层位置模型

摘要:在本文中,我们提出了一种用于公共设施规划的离散分层位置模型。 该模型的主要特征是:目标可访问性最大化; 需求和设施有数个层次; 设施的嵌套层次结构(即给定级别的设施可以满足相等或更低级别的需求); 最大和最小容量限制; 以及用户到设施的分配约束。 后者包括单一分配约束和最接近分配约束,以及一种称为路径分配约束的新型约束。 它们的目的是对分配的空间模式强制执行一些理想的属性。 如果不包括它们,则模型解决方案很难在公共设施规划环境中进行解释,用户不太可能接受该模型。 该模型的实用性通过在学校网络规划中的实际应用得以说明。

Oacute;2007 Elsevier B.V.保留所有权利。

关键字:位置;整数优化:分配约束;公共设施规划;学校网络

  1. 引言

在过去的二十年中,涉及学校或医院等公共设施的规划过程变得越来越复杂,尤其是由于它们开始涉及参与机制。确实,在利益相关者有不同观点和利益的情况下,只有透明,合理的计划过程的结果才能使计划解决方案得到广泛认可。当可能的规划解决方案数量很大时,优化模型是必不可少的决策辅助工具。 位置模型无疑是公共设施规划过程中要使用的主要优化模型之一。

这些模型基本上旨在根据某个或多个目标(成本最小化,可访问性最大化等)确定所有类型设施的最有效位置。根据设施可以位于飞机上的任何位置还是飞机上的某些点(预先指定),将它们分为连续的或离散的。 在实际应用中,计划人员经常求助于离散位置模型。

自1960年代以来,位置模型已在运筹学,管理科学,工业工程,经济地理和空间规划文献中得到了广泛的研究。ReVelle和Eiselt(2005)对连续和离散位置模型的主要类别进行了简要回顾。ReVelle(1987)以及Marianov和Serra(2002)讨论了公共设施选址的离散模型。Daskin(1995)提出了一本关于建模和求解离散位置模型的教科书。Labbe和Louveaux(1997)回顾了基本和扩展离散位置模型的专用解决方法。在本文中,我们提出了用于公共设施规划的离散分层位置模型,其中考虑了多个需求级别和多种设施类型。 该模型是众所周知的p中值模型的扩展,该模型适用于设施定位问题,其目的是最大程度地提高用户对设施的可访问性。

该模型是在2006-2015年科英布拉《教育宪章》的框架内开发的,以帮助做出关于重新部署葡萄牙科英布拉市小学网络的决定。根据法律,所有葡萄牙市政当局都必须有一份教育宪章,其中规定了学前,小学和中学所需的基础设施,设备,人力和财力。市政教育宪章的编制由市政教育委员会建议。 这个机构将地方行政管理部门,教育部,私立学校所有者,公立学校管理部门,教师工会和学生家长的代表等整合在一起,他们对于学校网络的发展常常有不同的观点和兴趣。这篇文章的结构安排如下。在第2节中,我们介绍了当目标是最大程度地提高用户对设施的可及性时适用的基本位置模型。 这些模型考虑了单一级别的需求和单一类型的设施。在第3节中,我们讨论了不同的用户到设施分配约束,包括一种称为路径分配约束的新型约束。 在第4节中,我们介绍了分层位置模型。在第5节中,我们将讨论使用该模型为Coimbra的小学网络获得的结果。最后,在第6节中,我们总结了本文的主要贡献,回顾了该模型在Coimbra中的应用,并确定了未来需要完成的一些研究。

  1. 基本模型

在本节中,我们介绍构建层次模型的基本位置模型。这些模型中最简单的是p中值模型(ReVelle和Swain,1970),该模型可以这样表述。我们得到了一组需求中心Ifrac14;f1;...;ng,其中每个中心i都有需求ui(用户数),则是一组站点Jfrac14;f1;...;毫克,旅行成本cij满足站点j中心i的所有需求。差旅费定义为cijfrac14;uidij,其中dij是中心i与站点j之间的单位差旅费(如果距离不变,则为距离)。问题是找到应该开放的p个设施集合,并确定应该从哪个设施服务哪个中心,以便使满足所有中心的所有需求的旅行成本最小化。为了建立模型,我们定义了两组决策变量:二进制位置变量yj,如果设施位于(或“开放”)站点j2J处,则yjfrac14;1,否则,则yjfrac14;0;代表中心i2I的需求分数的分配变量xij代表在站点j2J上服务。p中值模型的公式如下:此混合整数优化模型的目标函数(1)表示最小化的旅行费用,可以看作是无障碍获取最大化的代理。约束条件(2)指出必须全面服务所有中心。约束(3)通过声明只能将中心分配给开放式设施来链接位置和分配决策。约束(4)将开放设施的数量设置为等于参数p。最后,约束(5)和(6)定义了决策变量。(PM)的最优解具有所谓的单一分配和最接近分配属性(Krarup和Pruzan,1983),也就是说,最接近的开放设施完全为中心服务(或者,如果出行成本不单单取决于距离,最低的差旅费用设施)。发生这种情况的原因是,由于没有容量限制,将给定中心的需求分配到多个设施中并不会获得任何收益,而将目标部队中心分配给最近的(最低成本)设施。

通过添加对设施的最小和最大容量的限制,并删除对开放设施数量的限制,从(PM)中得出第二个基本模型。请注意,由于容量的限制,开放设施的数量成为模型的输出而不是参数。令bj和Bj为站点j处设施的最小和最大容量。表示为容量中位数模型的该模型的公式如下:

表达式(10)和(11)分别是最小和最大容量约束。由于解决方案的最接近赋值和单个赋值属性不适用于容量模型,因此分别使用约束(12)和(13)明确实施它们。最近的分配约束(12)的工作方式如下。对于任何中心i和站点j,如果yjfrac14;0,则约束不起作用;如果yjfrac14;1,则必须从位于站点j的设施或距离相同或更低的设施充分服务中心i。GerrardandChurch(1996)全面回顾了公共部门和私营部门中出现的几种位置模型中最接近分配约束的公式和应用。

尽管作者指出,文献中经常使用不同的表述,即所谓的Rojeski-ReVelle(RR)约束,但出于两个原因,我们选择了约束(12)。首先,与RR约束不同,如果给定中心具有两个或更多个最接近的等距设施,则约束(12)仍然有效。其次,约束(12)提供了更紧密的线性松弛,因为(12)和(9)暗示了RR约束。因此,可以使用基于线性松弛的整数优化算法更有效地求解模型。最后,约束条件(13)迫使赋值变量为二进制。我们指出,如果所有中心都具有一个最接近的设施,则约束(12)将强制赋值变量为整数,即使(13)是放宽的也是如此。否则,如果一个中心有两个或两个以上等距的设施,这些设施是最接近的,则约束(12)允许在这些设施之间自由分配需求,并且(13)施加单一分配是必要的。与p中位数模型不同,有能力的中位数模型在文献中很少涉及。Carreras和Serra(1999)在没有最大容量限制的情况下使用它来表示农村地区的药房位置问题,并通过禁忌搜索启发式方法解决了该问题。Verter和Lapierre(2002)使用类似的模型来定位预防保健设施,目的是使人口覆盖率最大化,并使用商业优化器对其进行求解。Kalcsics等。(2002年)使用具有约束条件(4)的模型(CM)来设计平衡紧凑的销售区域,并通过可变邻域搜索启发式算法求解。

  1. 分配约束

在本节中,我们分析了由不同分配约束导致的用户到设施分配的空间格局。 如前所述,包含容量约束的位置模型解决方案没有单一和最接近的分配属性。之所以可能发生这种情况,是因为设施的容量有限,因此用户被转移到其他设施,或者用户被“捕获”以确保设施的最小容量。在公共设施规划的背景下,应防止来自同一中心的用户分散在不同的设施中;将相邻中心的用户分配到不同的设施;当有更近的开放设施时,将用户分配到一个远程设施; 用户到其分配的设施的路径越过分配给不同设施的中心。 如果违反了这些条件,解决方案将很难由决策者解释并向用户解释,并且肯定在实践中将难以实施。Gerrard和Church(1996)在他们的文章中提出了类似的论点,他们建议在人为拥挤的位置使用最接近的分配约束用于公共设施规划的模型因为它们有可能提高公众对相应解决方案的信心和接受度。

我们的分析集中于三种约束类型:最接近的分配约束(12);单一分配约束(13); 以及一种称为路径分配约束的新型约束(15)。后者是最接近分配约束的替代方法。 尽管他们不要求将中心分配给最近的设施,但他们保证,如果将中心分配给给定的设施,则所有中心都必须“靠近”用户到达该设施所经过的“路径”也被分配给它。“附近”的定义取决于模型的应用环境。 路径分配约束的公式如下:

其中Pij是中心k 2 I的子集,它是从i到j的最短路径“近”,而jPijj是该集合的基数。 表达式(15)表明,如果对于所有k 2 Pij,xijfrac14;1,则xkjfrac14;1。

分区模型中使用的某些约束类似于路径分配约束。 根据某些目标,这些模型适用于将一组空间单位(即城市街区,人口普查区域或其他地理实体)划分为子集,称为区域。与位置模型一样,空间单位由通过基础网络连接的离散中心表示。区域的所需属性通常包括紧凑性和连续性,即它们应该是圆形的而不是散布的,并且应该连接在一起。Kalcsics等人(2002年)使用模型(CM)进行销售区域划分,包括最接近的分配,以产生相互联系的区域。Zoltners和Sinha(1983)制定了销售分区模型,其中预先定义了分区中心(即分区的种子单位)。

如果将单元i分配给区域j,则考虑二进制决策变量xijfrac14;1,否则考虑零,则在约束条件下强制连续性,其中Aij是在从区域中心j到单元的最短路径上紧接在单元i之前的单元k 2 I的集合k 一世。 表达式(16)指出,只有在连接到区域中心的路径上与i相邻的至少另一个单元也被分配给j时,才可以将单元i分配给区域j。 为了减少分配的“刚性”(因为沿最短路径构建区域可保证连续性,但排除某些连续配置),作者建议通过考虑第二,第三等最短路径或 由专家用户手动修改。Mehrotra等人采用了严格的最短路径方法。(1998年),以确保在一个政治区划模型中的连续性。卡罗等人于(2004年)提出了一个学校分区模型(具有预定义的学校位置),其约束类似于(16),其中集合Aij被定义为与单元i相邻且比区域中心j更近的单元k 2 I的集合。 单位i(但不一定在最短路径上)。将使用用于测试模型(CM)的随机实例之一说明在位置模型中包括不同分配约束的影响。实例的构建如下。首先,在单位正方形中均匀生成一组nfrac14;20个中心,其坐标按1000缩放。假定站点与中心重合,然后通过计算Delaunay三角剖分(Weisstein,1999)创建平面网络,其边长设置为等于欧几里得距离。距离dij是通过找到所得网络上所有最短路径来计算的。 需求ui在5–95间隔内均匀生成。 所有站点的最小容量bj设置为200。 最大容量Bj设置为总需求(即它们没有约束力)。 最后,通过添加从i到j的最短路径中的所有中心,加上该路径中任何节点半径100以内的所有中心,来创建路径分配集Pij。 由于总需求为809,因此最多四个设施可以满足最小容量200。

该实例使用模型(CM)的四个变体解决了:无分配约束,即(12)拆除,(13)放松; 仅一次分配,即(12)被删除; 具有单路径分配,即(12)替换为(15); 并具有单个 最接近的分配,即完整模型(CM)。

图1.随机实例的解决方案。(略)

解决方案如图1所示(其中面板(ii)–(vi)中的数字表示容量)。为了进行比较,包括了p中位数模型(PM)解决方案,与pfrac14;4作了比较。在此解决方案中,中心完全分配给了最近的设施,但是其中一个设施不满足最小容量限制。另一方面,模型(CM)变体的

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