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基于分段线性成本结构的单仓多零售商问题的有效零库存订购策略

基于分段线性成本结构的单仓多零售商问题的有效零库存订购策略^lowast;

摘要

众所周知，协调库存控制和运输政策可以大大节省费用，提高服务水平。 在本文中，我们分析了依赖TL（Truckload）和LT L（小于卡车载重）运营商在整个供应链中分配产品的公司所面临的问题。 我们的目标是设计简单的库存政策和运输策略，通过利用运输成本结构中的数量折扣来最小化全系统的成本。为此，我们研究了在仓库作为跨坞设施的单仓库多零售商场景中，将库存策略限制为零库存订购（Z IO）策略的成本效益。特别是，我们证明了存在一种ZIO库存政策，其总库存和运输成本不超过最优成本的4/3倍。 此外，如果运输成本函数不随时间而变化，那么我们就会发现一个ZIO策略，其成本不超过

5.6乘以最优成本。然而，找到最佳的ZIO政策也是一个NP难问题..

4.6

因此，我们提出了两种算法来寻找一种有效的ZIO策略：一种精确的算法，其运行时间对于任何固定数量的零售商都是多项式的，以及一种基于线性规划的启发式算法，其有效性在一系列计算实验中得到了证明。最后，我们将本文开发的最坏情况结果扩展到仓库确实持有库存的系统。

导言

近年来，许多公司认识到，通过在整个供应链中整合库存控制和运输政策，可以实现重要的成本节约。 因此，这些公司面临的问题是找到一个最佳的补充计划，即库存和运输战略，以便在有限的规划范围内尽量减少总的库存和运输成本。然而，由于这些公司通常依赖外部第三方物流供应商将货物从供应商通过仓库运输到零售商，设计协调战略的困难更加严重。

这些问题不同于传统的网络流量问题，因为运输成本结构，也称为订购成本，通常是分段线性的，但不一定是凸的。 这种成本结构代表了数量折扣、基于数量的价格激励和其他形式的规模经济，对补充战略产生了重大影响。它通常反映增量或全单位折扣效应，导致以下类型的成本函数。

也就是说，如果订单数量大于某一价值，托运人就会支付，就好像他们正在装运一样。 _{i 1} 各单位。 这在行业航运中被称为Q，但宣布M_{i 1}.

这种常用的做法意味着真正的运输成本函数F（。），具有图3中实线所描述的结构。 如虚线所示，相关的实线起源于点（0，0）。

我们指的是这样的成本函数，如修正的全单位折扣成本函数.. 请注意，这样的成本函数满足以下属性：（一）它是一个非递减函数的数量，（二）单位成本是不增加的数量。 事实上，这两个性质足以得出我们的结果。

在本文中，我们研究了一类具有运输成本结构的多周期分布问题，该问题建模了增量和全单位折扣成本函数。 具体来说，我们考虑了一种经典的库存分配模型，其中单个仓库从单个供应商接收库存，并补充n个零售商的库存。每个零售商为仓库提供下一个T期的预测需求。当然，预测需求是不够的

图2：所有单位折扣成本结构

确定有效的库存政策；需求的不确定性也需要纳入分析。 在实践中，这通常是通过将问题分解为两部分来实现的：第一部分是确定一种库存政策，该政策在给定的规划范围内平衡持有和固定成本，假设预测需求，见Stenger（1994年）。 第二是确定安全库存水平，并将其纳入应在每个时期开始时保持的库存水平。 事实上，这正是我们熟悉的一些决策支持工具中使用的方法。因此，本文分析的模型有助于优化与实践中使用的分解方法的第一部分相关联的库存决策。

我们假设无论是在仓库还是在零售商，都不允许短缺和积压。 此外，我们假设仓库使用一种共同的后勤战略，称为交叉对接，在这种战略中，仓库只是作为供应过程的协调者，并作为供应商来货订单的转运点，但不持有任何库存。

在这些情况下，（大量）从供应商到仓库的货物往往由TL承运人交付，其成本可以用分段线性凹函数（例如，固定费用函数）近似。 今后，我们将假设从供应商到仓库的运输成本函数是增量折扣类型。相比之下，由于从仓库到零售商的装运规模相对较小，这些货物通常由LTL承运人交付，其成本遵循修改后的所有单位折扣成本结构。The

费用

₁



2

₃

M0 M1

M1lsquo;

M2 M2lsquo;

M3 数量

图3：修改所有单位折扣成本结构

目的是找到一个最优的装运计划，利用数量折扣效应，同时控制零售商端的库存持有成本。

观察到这里描述的单仓库多零售商问题也可以用来模拟联合补给问题，参见Joneja（1990）。 在这个问题中，一个单一的设施在有限的范围内补充一组项目。每当设施为项目的子集下订单时，就会产生两种类型的成本：联合设置成本和与项目相关的设置成本。 联合补给问题的目标是决定每件物品的订购时间和数量，以便在规划范围内尽量减少库存持有和订购费用。由于联合补货问题是NP-硬问题，请参阅Arkin、Joneja和Randy（1989），单仓库多零售商问题也是NP-硬问题，即使所有的运输成本函数都是固定费用函数。

显然，固定费用函数是本文所考虑的所有单位折扣成本函数的特例。这意味着本文所分析的问题一般都是NP难的.. 一个有趣的问题是，对于一个单一的，或固定数量的零售商来说，它是NP难的.. 这个问题由Chan等人回答。 （1999年b）谁显示了我们的问题的一个特殊情况，在这种情况下，一个零售商被一个单一的仓库补充，零运输成本的货物到仓库，并修改了全单位折扣运输成本的货物到

零售商，是NP难。 因此，上面描述的单仓库多零售商问题是NP难的，即使对于固定数量的零售商来说也是如此。

我们在本文中的重点是一类政策，称为零库存订购（Z IO）政策，其中订单是由零售商只有当他们的库存水平下降到零。 可以看出，在凹形运输成本函数的情况下，单仓库多零售商问题存在一个最优的ZIO策略。 不幸的是，Arkin、Joneja和Randy（1989）的结果意味着找到最好的ZIO本身就是NP难的。 当然，我们的模型更一般，如Chan等人所示。 （1999b）对于单一仓库单一零售商的情况，最佳政策可能不是ZIO政策。

在第3节中，我们表明有一个零库存订单政策，其相关成本不超过最佳补充计划成本的4/3倍。 此外，如果订购成本函数不随时间而变化，则最优Z IO策略的成本不超过^5.6 乘以最优成本。这就导致了高效算法的发展。 第四节描述了一种精确的算法，它找到了最佳的ZIO策略，并且对于固定数量的零售商来说，它的运行时间是多项式的。 第二种算法，在第5节中描述，是基于制定问题，寻找最佳ZIO策略作为整数程序。 从而求解了该模型的线性规划松弛，并利用该解生成了ZIO策略。 计算结果表明，见第6节，启发式算法计算效率高，生成的解非常接近最优Z IO策略。最后，第七节将这些结果扩展到传统库存分配系统的情况下，其中仓库可以持有库存，并在文献中描述相关的现存模型。

4.6

记法及主要结果

让n是由仓库服务的零售商的数量，T是正在考虑的规划范围的长度。每t=1，2，.。。，我们让K^t 与从供应商到仓库的运输项目在时间t相关的分段线性凹运输成本函数。同样，对于每个i=1,2，.。。，和t=1,2，.。。，我们用K表示^t（·）修改所有与从仓库到

0

i

最后，对于每个i=1，2，...，n和t=1，2，...，，，T2让hⁱ

t

表示成本

在t期末和d期末在零售商i持有一个项目。ⁱ 零售商i在时间t的需求。

t

我们的目标是找到装运的规模和时间，以尽量减少总运输和库存成本，同时满足所有需求，而不短缺。 在下面，我们将把这个问题称为单一仓库多零售商问题。Let Z^lowast; 是单仓库多零售商问题的最优解，对于任何启发式H，让Z^H 是由启发式H生成的解决方案的成本。

我们首先证明的是，除非NP存在^{O（log） log n）} 我们不太可能找到一种算法，它在多项式时间内运行，并为问题的任何实例生成一个解，该解在最优性的O（Logn）因子范围内。

定理2.1假设对于单仓库多个零售商问题存在一个ogt;0和一个多项式时间启发式，H，这样对于所有实例都是如此

ZH

Z lowast; le;1月1日

然后NP等时间（n）^{O（log） log n）}).

证据。证明了集合覆盖问题可以归结为单仓库多零售商问题。 众所周知，Feige（1998）不可能为最坏情况下有界的集合覆盖问题开发多项式时间算法

大于（1-ε）logn，对于ogt;0，除非NP偶式时间（n）^{O（log） log n）}）.

Sigma;m

考虑集合覆盖问题的一个实例：min（ t=1x_t ：轴ge;1），其中A=（a）_i，t)

是一个ntimes;m0-1矩阵。 它可以简化为具有n的单仓库多零售商问题

零售商和m1期间如下。 Let





K^t（x）=

i 

Mdelta;（x）如果a_i，t =0如果_i，t=1.

所有I和t=1,2，...，米；

K^{m 1} （x）=所有I项的Mdelta;（x）；

i

K^t （x）=delta;（x）=1，2，...，米，m 1；

0 



dⁱ=

t



如果t=1,2，...，米，

1. if t=m 1，

为所有我；

hⁱ =对我来说，

t

其中M是一些不小于m的大数，当xgt;0时delta;（X）=1，否则为0。

时间m 1的高设置成本迫使零售商在早期订购..此外，零售商i的订单是在时间上下的，而不是在时间上下的。_i，t=一，因为有一个很大的固定费用与运输有关，在这段期间，_i，t=0. 因此，在这种情况下找到最佳的库存订购策略相当于找到最小的订购周期数，这是通过将在一定时间一起服务的零售商进行聚类来确定的。

因此，在本文的其余部分中，我们重点分析了一类被称为零库存订货（Z IO）政策的政策。 在这一类中，只有在手头库存完全耗尽时才下订单。 Let Z^ZIO 是与最优Z IO策略相关的成本。当然，单仓库多零售商问题的最优策略可能不是ZIO策略。不过，我们有，

定理2.2对于单仓库多零售商问题的每个实例，我们有

Z ZIO le; 4Zlowast;,

3

这种束缚很紧。

在实践中，订购成本函数不因周期而变化，即对所有t，K^t（·）=K₀（·）和K^t（·）=K_i（·），i=1,2，.。。，在这种情况下，我们证明了

0 i

最佳ZIO政策对最优成本的成本不超过^5.6 asymp;1.22. 就是，

4.6

定理2.3对于运输成本函数是平稳的单仓库多零售商问题的每一个实例，我们都有

Z ZIO le;5. 6Zlowast;.lt;

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