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基于蒙特卡罗模拟和神经网络的结构可靠性分析
Joatilde;o B. Cardoso*,Joatilde;o R. de Almeida,Joseacute; M. Dias,Pedro G. Coelho
里斯本新大学科学与技术学院，2829-516葡萄牙卡帕里卡
2003年9月10日收到；2007年3月13日以订正表格收到；2007年3月30日收到；2007年5月22日在线提供
摘要
本文研究了一种结合神经网络（NN）和遗传算法计算结构失效概率方法的蒙特卡罗模拟（MCS）。MCS是一个功能强大的工具，实现简单，能够解决广泛的可靠性问题。然而，它用于评估极低的失效概率意味着大量的结构分析时要花费大量时间了。所提出的方法利用神经网络逼近函数的能力来再现结构性能，允许以更低的成本计算性能指标。这种方法非常有吸引力，而且它的主要挑战在于神经网络能够精确地逼近复杂的结构响应。为了评估这个文中给出并讨论了测试方法、测试函数和两个结构实例。第二个例子也用来说明该方法可用于进行基于可靠性的结构优化。
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关键词：基于可靠性的优化；结构可靠性；蒙特卡罗模拟；神经网络
- 介绍
结构设计师必须在规定的安全水平内，验证通常由不平等表示的可用性和极限条件: , 其中代表作用效应和阻力。 欧洲规范[1,2]实际上考虑了材料特性和作用的内在随机性，将可用于处理这种随机性的方法分为三类水平：
bull; 半概率或1级方法，在一般实践中使用最多，通过定义特征值和应用部分安全指标间接考虑失效概率。
bull; 近似概率或2级方法，如一阶或二阶可靠性方法（FORM/SORM），其中失效概率为基于可靠性指标beta;[3]
bull; 精确概率或3级方法，其中失效概率由联合概率计算作用和阻力随机变量的分布。
近年来，结构可靠度理论和方法得到了长足的发展，它实际上是合理评价复杂结构或具有特殊设计的结构安全性的有用工具，近年来的发展使人们可以预见到其应用将逐步增加，即使是在普通结构的情况下。
蒙特卡罗模拟（MCS）是一种三级模拟方法，具有以下特点：它可以应用于许多实际问题，可以直接考虑随机变量的任何概率分布；它能够以期望的精度计算失效概率；它很容易实现。
然而，尽管它有很多优点，但是这种方法在结构可靠度方面并不普遍。因为与2级方法相比，它没有效率。实际上，MCS需要大量的分析，随机变量集的每个样本需要一个结构分析。以规定精度评估结构失效概率所需的分析次数取决于该概率的量级。根据Shooman[4]的说法，由于与极限状态相关的失效概率值通常在10-4和10-6之间变化，为确保95%的时机概率在计算概率的5%之内，所进行的分析次数必须至少为1.6x107到1.6x109。
这些分析经常借助于有限元程序进行。因此，计算时间可能非常高，特别是当结构表现出非线性行为或数值模型相当复杂时。
为了消除这一缺点，本文提出用神经网络（NN）来逼近结构响应。一旦经过适当的训练，神经网络就可以用很少的操作和相应结构分析的一小部分成本来确定结构性能。这种方法允许将MCS应用于非常复杂的实际情况，而直接使用这种方法不会可行。
为了说明所提出的技术，有三个例子分别考虑了功能和两种不同的结构。在第一个例子中，非线性分析函数的近似方法是NN。其次，根据欧洲规范1和3[1,2]设计了一个线性弹性钢框架，然后用蒙特卡罗方法计算了框架的失效概率，其中NN用于再现结构响应。第三，将遗传算法与神经网络近似和蒙特卡罗方法相结合，对对钢桁架结构进行可靠性优化。
- 蒙特卡罗模拟
可靠性问题通常用失效函数 ,其中,,...,是随机变量。定义违反极限状态的条件和失效概率,由一下表达式表示[5]:
(1)
其中是随机变量，是联合概率密度函数。
蒙特卡罗方法允许确定失效概率的估计值，由
(2)
其中是由下式定义
(3)
根据（2），基于每个随机变量的概率分布得到N个独立的值,,...,集合，并计算每个样本的失效函数。使用MCS，通过
(4)
其中是发生故障的案例总数。
- 神经网络
神经网络是受生物神经元功能启发的数值算法。这个概念是由McCulloch和Pitts[6]提出的，他们提出了一个数学模型来模拟神经元的行为。NN已经广泛应用于工程领域，如结构力学[7,8]和结构可靠性[9]。Papad，Rakakis[10]等人 提出了一种将神经网络与MCS相结合以获得结构失效概率的方法。本文提出了一种类似的方法。
在图1中示出的模型，表示从L输入通道接收输入信号向量的神经元M。然后，它计算x的分量的加权和，将每个分量乘以反映输入通道k重要性的系数。神经元m激活，，由表达式给出
(5)
应注意，式（5）包括校正项，称为偏差，允许在所有为零时具有非负激活的可能性。
神经元m,的输出信号是一个激活函数的计算结果。在目前的工作中，采用了传递功能。此函数在sigmoid函数表达式中取alpha;=1，其形式如下：
(6)
可以将多个神经元组装成一个网络，研究了这种组装的不同网络结构，以及确定和系数的算法，参见Rosenblatt[11]和Rumelhart等人[12] 。在这项工作中，决定采用一种众所周知的网络结构，即多层感知器[10]，它由多层排列的几个神经元组成，如图2所示。
图2表示具有三层的NN：由三个神经元组成的输入层，其中不执行转换；一个隐藏层具有四个神经元；一个输出层具有三个神经元。我们有可能证明[13]这种在隐层和输出层具有sigmoid激活函数的网络，只要它在隐层中有足够的神经元，就能以令人满意的精度逼近任何连续函数。
获得近似于给定函数所需的未知系数和的过程称为训练，这是一项有挑战性的任务。最常见的训练过程称为监督训练[12]包括对系数提出一些初始值，然后对这些值进行调整，以最小化由神经网络产生的预测输出与函数的精确值之间的误差。因此，要执行此训练，必须知道指定的一组输入值（称为训练集）的函数的确切值。
训练集的误差使用以下公式计算：
(7)
其中t是训练集的元素个数，r是输出层的神经元个数，和分别表示训练集的j神经元和i元素的函数的计算值和精确值。
由于网络结构的原因，需要最小化的误差（7）往往表现为多个局部和全局极小值，与基于梯度的算法可能陷入局部极小值不同的是，遗传算法通常能够成功地进行多模态优化。在这项工作中，采用了一种混合算法，结合基于梯度和遗传算法。在初始阶段用遗传算法进行最小化，然后用共轭梯度算法将得到的解作为起点。
由于要确定的系数和是非整数的，因此遗传算法适合于处理这类值。遗传算法使用二元染色体，其中与隐藏层和输出层相关的每个系数由八个基因表示，这意味着它可以假设个不同值中的一个。与整数z表示的八个基因的任意组合相对应的实值r取决于z和r之间的以下转换：
(8)
其中和分别是r的下限和上限。为了对一个实变量函数进行优化，所遵循的策略包括依次重新启动遗传算法、修改区域边界和逐步进行，以便将优化限制在前一次迭代中获得的最优解的更近范围内。
- 例1：测试功能
为了评估神经网络精确逼近非线性函数的能力，首先考虑了分析测试函数：
(9)
,。x 2[3.5，5.5]和y 2[2.0，4.0]。函数在图3中用图形表示。据观察，试验指定域中的函数值始终在逻辑函数[0，1]的范围，因此不需要标准化。可以假定非线性结构响应通常用比这一个更简单的函数来描述。因此，如果（9） 是通过神经网络实现的，这表明该方法可以成功地应用于结构问题。
考虑了几种不同的神经网络，使输入层和输出层的神经元数目和分别等于2和1，并改变隐藏层的神经元数目。值得注意的是，训练集中更多的元素既提高了神经网络的响应精度，又增加了神经网络的训练时间，因此它的大小必须是时间和逼近质量之间的折衷结果。在这个例子中，考虑到每个变量14个点的等距网格，得到了一组196个不同的函数值，然后提交给网络进行训练。训练后，通过以下误差测量来评估每个网络的性能:
for and (10)
其中所有符号的含义与式(7)中相同。由于测试集中的大量元素并不表示不方便，因此考虑了1024个函数值的测试集，对每个变量使用32个点的等距网格。为了对精度进行良好的评估，采用了如此多的测试点在整个领域实现。由式（7）计算的训练误差和由式（10）给出的测试误差见表1。
图4以图形方式示出由表1中所考虑的前四个净功中的每一个计算出的函数的近似值。可以看出，随着隐藏神经元数量的增加，近似值逐渐收敛到精确的函数。考虑到这，点的训练集似乎已经足够了。因此，没有作出进一步的努力来完善训练集。
5.例2：单层钢框架
作为提出的计算失效概率的方法的一个例子，图5所示的单跨钢框架采用欧洲目前采用的结构方法进行了考虑和分析设计。施加的作用（恒载、活载和风）根据欧洲规范1[1]定义，钢结构根据欧洲规范3[2]设计。设计必须满足与使用性能和极限状态有关的安全条件。这是根据一级方法完成的，结构响应是用有限元程序确定的。在选择合适的轧制型钢后，再次检查极限状态的安全条件，但现在遵循3级方法，即使用NN来近似结构响应，使用MCS来计算失效概率。
5.1结构设计符合欧洲规范（1级）
考虑的框架是一个尺寸为m的工业仓库的一部分。仓库的结构由五个相互间隔5 m的独立且相同的框架组成。它们的几何结构框架如图5所示。应用动作根据欧洲规范1定义，其特征值为：
恒载–0.5kN/m2
活载–2kN/m2
风–对于将要建造结构的区域（葡萄牙海岸），规定的风动压力等于0.456 kN/m2。根据该压力，按照欧洲规范1[1]中规定的程序获得风荷载。
根据欧洲规范1中遵循的1级方法进行荷载组合，其中荷载的特征值乘以组合系数（以反映同时发生的荷载）和部分安全系数（间接确保每个极限状态的适当安全水平）。表2显示了根据欧洲规范3考虑的可用性和极限状态功能。在这个表，和是设计轴向力和弯矩；A和是横截面积和塑性弯曲模量；是材料（钢S235）的标称屈服应力；，和是下列情况下的折减系数：平面外屈曲，平面内和平面外屈曲系数与横向扭转屈曲系数之间的最小值。
构件截面采用标准轧制型钢。由此可以得出结论，由HEA 260柱和HEA 300梁组成的框架验证了所有极限状态函数的安全性。使用作者开发的线弹性有限元程序获得的相应位移和内力为：
5.2概率模型
随后，评估上述框架的失效概率。为此，必须为涉及的每个随机变量定义统计模型。因此，假设杨氏模量和恒载为正态分布，而活载为风考虑了荷载和屈服应力的对数正态分布。根据欧洲规范1和使得到的特征值与之前进行一级设计时使用的一致。这样，就可以比较两种方法（一级和三级）。
随机变量采用的统计参数见表3。在该表中，活载和风载的特征值是所用概率分布的百分位98。关于收益率应力，其特征值对应百分位5。对于杨氏模量和恒载，其特征值被认为等于各自概率分布的平均值。
为了确定极限状态函数，有必要知道柱的临界截面（右柱顶部）和临界截面上的轴向力和弯矩的值梁的截面（右端）。由于柱和梁的最大弯矩相同，计算这些函数只需要三个内力。
5.3神经网络
逼近结构响应的神经网络有输入层、隐藏层和输出层。每层神经元的数目分别由、和指定，输入神经元的数目等于影响结构响应的随机变量。由于本例中假设了线性应力-应变关系，只有随机荷载和杨氏模量影响结构响应（屈服应力仅在极限状态函数），所以。输出层的神经元数量等于计算极限状态函数所需的位移和内力的数量，即。
首先训练一组神经网络，然后进行蒙特卡罗模拟。结果表明，与容许值相比，正常使用极限状态的失效概率微不足道（a值得到，容许为量级。因此，可以忽略考虑的两个正常使用极限状态函数，从而简化问题。这是预料之中的，由于第5.1节中获得的水平和垂直位移值、远低于表2所示的限值。也知道线性弹性结构中的内力单个材料不依赖于材料杨氏模量，该变量从概率模型中删除，因为它对所考虑的极限状态函数没有任何影响。
用代表结构响应的训练集训练的简化网络。分布的上极端值更具相关性，因为获得这
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