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交通研究A部分34（2000）481-496
交通研究
A部分
过渡竖曲线的发展
Ⅰ特性
Said M. Easaa,*, Yasser Hassanb,1
a土木工程学系,Lakehead University, 955 Oliver Road, Thunder Bay, Ontario, Canada P7B 5E1
b土木及环境工程学系,Carleton University, Ottawa, Ontario, Canada P7B 5E1
于1998.9.21被公认，于1999年5月26日收到修订表格，于1999年6月1被接收
摘要
在水平圆曲线前后引入螺旋曲线已被广泛接受去加强交通安全、公路美学,视觉距离,和司机舒适度。尽管如此，垂直曲线仍然被设计作为抛物线的曲线，直接连接到切线(没有过渡)。在本文中,一个利用三次多项式被用来在抛物线垂直曲线前后发展垂直过渡曲线。由此产生的曲线，称为过渡垂直曲线，由过渡-抛物线-过渡段组成。详细的数学公式和推导的瞬时高度，等级，曲率，偏移来自于第一切线在任意一点被展现出来。最高(或最低)点在过渡垂直曲线的顶点(或下垂)，即瞬时等级等于0，是确定的，因为它是特别的重要在公路排水设计方面。过渡曲线的最小长度被导出是基于驾驶者舒适的标准程度。此外，还提供了指导方针去确定其中的情况，在过渡曲线上的地表水引流是一个值得关注的问题。最后，过渡垂直曲线的布局用两个数值例子说明和说明。新过渡垂直曲线与螺旋水平曲线有惊人的相似之处，应加强设计高速公路垂直线形。 爱思唯尔科技有限公司版权所有。
1.介绍
公路曲线代表了公路水平和垂直线形的整体部分。一个水平方向上使用水平曲线来提供高速公路的中心线方向的渐变。类似地，垂直曲线在高速公路纵断面等级上提供了一个渐变在垂直线形上。当在高速公路上行驶时，在曲线开始时，除非有一个过渡曲线，会产生离心力，并逐渐地应用。通过逐渐增加曲率，被引入在直线段和曲线之间。使用这样的过渡曲线在水平线形最初反对是基于相信使用高速公路的车辆并不局限于轨道和能够引起很大的变化，从直线逐渐向圆周运动(Barnett, 1940)。然而，随着车辆速度的增加，如果不占用相邻的车道，就无法实现令人满意的过渡。因此,在目前的设计中，水平线形的过渡曲线的使用已经得到了广泛的推荐，特别是对尖锐的水平线形(AASHTO, 1994;Krammes Garnham,
1995)。对于这些过渡曲线，已有一些数学公式可供参考。欧拉螺旋(即“回旋曲线螺旋”) 在公路设计中是最常用的过渡曲线 (Rektorys,1969)。
在垂直线形上，另一方面，垂直曲线是直接引入的，没有过渡。根据目前北美的设计实践，垂直曲线是简单的抛物线曲线，要求的计算相当简单。最近的研究尝试增加平滑和灵活的垂直曲线。Easa(1994)已经开发了一个不对称的(双弧)垂直的弧线，在传统的不对称的垂直曲线(Hickerson,1964)的情况下，具有相等的弧线。这条曲线不仅平滑，而且改善视觉距离，舒适和美学。还开发了三弧垂直曲线，提供灵活性满足垂直间隙约束，简单和双弧垂直曲线不能满足(Easa 1998)。
本文提出了一种新的垂直曲线，进一步提高了垂直线形的平滑度。在垂直方向抛物线曲线前后引入了一个过渡曲线(三次多项式)去提供了从垂直方向到抛物线的平滑过渡，反之亦然。由此产生的曲线由过渡-抛物线-过渡段组成，在这里被称为过渡的垂直曲线。与螺旋状的水平曲线相似，过渡的垂直曲线主要用于尖锐的垂直线形。过渡的垂直曲线的性质，包括它的数学特性，过渡曲线长度和曲线布局，被展现在本文中。过渡垂直曲线的视觉距离特征出现在一个同伴的纸上(Easa和Hassan, 2000)。在介绍新过渡的垂直曲线的性质之前，
描述目前简单的垂直曲线的性质是很有用的。
1.1．简单的竖曲线
简单的垂直曲线通常被视为抛物线曲线，这很容易应用而且提供比圆形曲线更好的等级变化(Allen, 1920)。图1显示简单的波峰和凹陷抛物线垂直曲线连接第一和第二级，g1和g2(在小数部分)分别。在等级中代数的不同A,
，（1）
因为曲线是抛物线，它有一个恒定的等级变化r，
，（2）
其中L0为曲线长度，对于凸曲线r为负，对凹曲线为正。
最高点
凸曲线
简单抛物型竖曲线
凹曲线
最低点
同时，曲线的方程相对于坐标轴，X和Y，位于tangent-to-curve(TC)点是(图1)：
2．新曲线的特点
2.1.过渡竖曲线
过渡的垂直曲线
抛物型曲线
缓和曲线
缓和曲线
图1中简单的垂直曲线可以转化为一个，通过引入两个过渡曲线在抛物线曲线前后 (图2)。每个过渡曲线的长度是l，在切线到过渡曲线(TS)点和过渡到切线(ST)点时，的变化率等于零。在过渡到曲线(SC)和曲线到过渡(CS)点时，的变化率等于r。
过渡的垂直曲线
对于过渡曲线提供这样一个逐渐变化的，曲线必须至少是一个三次多项式。让过渡曲线由以下三次多项式来表示，关于坐标轴、X和Y，位于TS。
，（3）
其中a、b、c是待定参数。注意，在图2中使用了凸形垂直曲线，但这里所开发的特性适用于凸形和凹形曲线。
公式3中的y关于x的一阶导数是
，（4）
在x=0,过渡曲线的斜率dy/dx=。因此,公式(4)收益率a=。区别于公式(4)对x,y的二阶导数是，
，（5）或，（6）
在x=0, =0,此时b=0。同时，在x=l,=r,此时c=r/6l。因此,方程式(3)和(4)成为
，（7）
，（8）
右边的第二项公式(7)代表了过渡曲线的偏移,这是第一切线和过渡曲线之间的垂直距离在任意一点x:
，（9）
在x=l，偏移是
，（10）
因此，和之间的关系基于公式（9）（10），
，（11）
将b和c代入式(6)，得
，（12）
这意味着过渡曲线的变化率年级逐渐增加从0(在x=0)到r(x=l)。注意，和对凸曲线为负，对凹曲线为正。在前面的几何系统中，导出的三次多项式是很明显的独一无二的。
2.2．总体特征
考虑图3所示的简单抛物线凸形垂直曲线(无过渡曲线)，曲线有一个长度和一个等级变化率。引入一个抛物线的过渡曲线，对于这个抛物线曲线，抛物线曲线必须向下移动以确保过渡和抛物线在SC和CS中有相同的斜率(公切线)。过渡曲线的斜率在SC(例如)基于公式(8)是，
，（13）
过渡垂直曲线的几何要素
简单抛物线
对于这个斜率等于原始简单的抛物曲线的斜率,(g1 rx), 转移抛物曲线的SC必须位于超出TC 的l / 2处 (图3)。因此,第一切线和常见的切线在SC之间的转角(或第二切线与常见的切线在CS), ,等于rl / 2(图4)。也就是说,
，（14）
同时，由于每个原始抛物线的切线和新的抛物线段在曲线中点的交点处相交，垂直相交点，，在SC和CS的两个切线之间的点必须位于的同一位置。过渡曲线的垂直变化,Q,是过渡曲线的偏移和简单的垂直曲线偏移之间的不同。基于公式(10),过渡曲线SC的偏移为,简单的抛物曲线在超过TC l/2之外的偏移,基于简单的垂直曲线的特点,是。因此,
，（15）
这与螺旋式循环曲线的近似变化非常相似，, Ls为螺旋长度，R为曲线半径(Meyer和Gibson, 1980)。这两个表达式是等价的，因为1/r是抛物线的平均半径。
第一切线和在SC处切线相交一点距离SC得距离P，能由转角除在SC处的偏移得出，即
，（16）
因此，在第一个切线和连接TS和SC的直线之间的角，等于除以 (图4)。因此，
过度竖曲线的偏向角
，（17）
基于公式（14）和（17）：
，（18）
公式(18)与螺旋水平曲线偏转角的近似关系惊人的相似。(Barnett, 1940)
代数的差值在转移抛物线曲线的等级是在处的切线和在处的切线之间的差值。即
，（19）
因为,抛物线的长度是由
，（20）
同时，基于公式（20）
，（21）
通过将r从公式(21)代入公式(15)，可以得到垂直位移的典型值Q。使用,，,Q从0.0004-1.0米取值。对于螺旋的水平曲线,根据卡文纳(1997),对Ls=50米范围的转变从0.368-1.271米对应于D=7.5-26°(R=232.85m和67.17 m),分别地,D是曲线角度和R是曲线半径。较小的Ls和D转变变得越来越小,反之亦然(例如,这种转变是0.009m，Ls=33 m和D=30#39;)。显然，垂直位移范围可以与水平位移范围相比，但小于水平位移范围。
抛物曲线点x的高程y等于SC的高度加上垂直距离SC到各自的点在SC切线上距离加上竖曲线与切线SC的偏移距离，即
，（22）
在竖曲线x点与第一切线的偏移，由
，（23）
对于凸曲线，是负的，对于凹曲线是正的。
中点的高程和偏移，和可由代入到公式（22）和（23）中得出。对于，，这是众所周知的简单抛物线的中点偏移。过渡的垂直曲线的总长度，L，是，
，（24）
给定A、r和l，过渡垂直曲线可以被完全定义。垂直曲线通常在设计指南中使用K值来定义，其中K是垂直曲率的速率(垂直曲线的长度每1%的变化值)。因此,在公式(2)中,r是K的倒数,然后考虑这里使用的单位制,。由于过渡的垂直曲线改善了视线距离，因此K的值比相应的简单垂直曲线的值要低。在其他地方提供了基于视线距离需求的过渡垂直曲线的最小长度的计算细节(Easa和Hassan, 2000)。过渡曲线的长度，，可以确定为下一个讨论。
3．过渡曲线的长度
3.1．司机舒适的考虑
垂直曲线的长度取决于驾驶员舒适度、地表水引流、公路美学和视线距离等因素。对于驾驶员的舒适性，当车辆在没有过渡的情况下在垂直的曲线上行驶时，在TC中瞬时产生的离心力会引起驾驶员的不适，特别是在离心力和重力方向相同的凹曲线上。在安全方面，这一问题甚至可能更严重。这是因为向上的离心力在穿过切线和波峰曲线之间的边界时，会抵消一部分重力，这将导致垂直反应的突然减少，从而导致制动车辆上的摩擦力。抛物线段前的过渡曲线的引入使反应和摩擦力逐渐减小。
由于高速公路抛物线垂直曲线与圆形曲线(Allen,1920)基本一致，因此可以估计向心加速度，
，（25）
其中v为车速(m/s)。
类似地，如果使用了一个过渡曲线，瞬时向心加速度，，将是一个瞬时的曲率速率的函数，，也就是
，（26）
从公式(12)中替代：
，（27）
因此，向心加速度的变化率与时间，C，是
，（28）
因此，过渡曲线(米)的最小长度是
，（29）
其中V为车速(km/h)。如果r表达的K(r=0.01/K),公式(29)成为了
，（30）
对于公路水平曲线,C的最大值范围从1到3 (0.3-1)(AASHTO,1994)。然而，由于竖向曲线的最大允许向心加速度为0.3 ，对应于水平曲线的C值可能过大。因此，需要进行实验测试，以估计垂直曲线C的合适最大值。为了便于说明，表1和表2显示了过渡凸曲线和凹曲线的最小长度对应于C=0.05和0.1和K值的范围在AASHTO设计指南基于停车视距需求(AASHTO,1994)。
表1
过渡凸形竖曲线的最小长度
a值四舍五入为下一个整数
a值四舍五入为下一个整数
表2
过渡凹形竖曲线的最小长度
3.2．排水方面的考虑
地表水排水是公路设计中另一个重要的考虑因素。应保持最低的纵向等级，特别是在限制高速公路上。然而，一个水平点和一个接近于零的相邻节段，可以在垂直曲线上发展，从正到负，反之亦然。在这种情况下，如果在一个点达到最小的等级0.3%，从水平点达到这个点约15米，可以达到适当的排水能力，这是凸曲线上的最高点，或者是凹曲线上的最低点(AASHTO, 1994)。在简单的垂直曲线,如果（）满足这个条件。对于过渡垂直曲线,曲线的总长度,L,满足这个条件的最小值可以被计算通过代替公式(20)最小值r和指出。然而，只有当水平点位于抛物线曲线上时，这个长度才是有效的。
如果水平点位于过渡曲线上，则可以用同样的准则计算出适当排水
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