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复数模量模型表征沥青混凝土的线性黏弹特性
摘要：本文提出了表征沥青混凝土黏弹性（LVE）行为的一种新方法。本文提出的方法是使用原始Havriliak-Negami（HN）模型的函数来建立材料的复数模量。分两步确定模型系数。首先，在Cole-Cole域中求解与复数模量的复平面表示相关的系数。其次，确定与时间-温度位移有关的系数。结果表明，该方法可以准确地表征复数模量，整个数据集中包含沥青混凝土的LVE性能。该方法通过将S形函数拟合到测试结果中来克服构造粘弹性函数主曲线的常规方法中的几个缺点。所提出的方法中的每个模型系数在解释沥青混凝土的LVE行为时都有明确的物理意义。相同的模型系数值可用于构造存储模量、损失模量、动态模量和相位角的主曲线。此外，由于理论上从同一复模量模型推导了各种粘弹性函数的数学形式，因此自动满足了Kronig-Kramers关系，且结果符合LVE理论。所提出的方法为表征沥青混凝土的LVE性能提供了统一、一致的方法。DOI:10.1061/(ASCE)MT.1943-5533.0000688.copy;2013美国土木工程师学会。
CE数据库主题词：沥青；混凝土;粘弹性。
作者关键词：沥青混凝土线性粘弹性；复数模量；Havriliak-Negami模型；主曲线。
1.引言
沥青混凝土力学性能的准确测定在路面结构响应分析和性能预测中起着至关重要的作用。一些研究表明，即使在较小的应变水平下，沥青混凝土也表现出非线性行为和粘塑性变形(Shields et al. 1998; Uzan and Levenberg 2007; Levenberg 2009).由于材料性能的复杂性，通常将沥青混凝土的线性粘弹性（LVE）表征更多的用于工程应用中 [Levenberg 2011; Applied Research Associates (ARA) 2004; Chehab et al. 2003]。由于LVE范围内的沥青混凝土在热流变方面很简单，因此，可以采用时间-温度等效原理（TTSP）来构建各种响应函数的主曲线，例如存储模量或动态模量(ARA 2004; Chehab et al. 2003;Ferry 1980)。通过应用TTSP，可以将在各种温度下测得的测试结果水平移动到任意选择的参考温度，以形成一个平滑的主曲线。偏移量称为时间-温度位移因子。通过主曲线以及时间-温度位移因子，可以在比实验室测试更大的时间和温度范围内预测材料特性。
复模量测试可以提供有关沥青混凝土的完整LVE信息，并且已广泛用于表征材料的性能。从复数模量测试获得两个量，即动态模量和相位角，或者存储模量和损失模量。当加载频率接近无穷大时，动态模量和存储模量接近最大值（上渐近线）。当加载频率接近0时，它们接近最小值（下渐近线）。因此，可以通过使用S形函数（ARA 2004; Chehab et al. 2003)模拟。但是，在高频和低频两端，相位角和损失模量都接近0，并且主曲线显示为钟形。随意在开发用于相位角和损失模量的主曲线的数学模型方面，只能进行有限的研究。
动态模量和相位角，或者存储模量与损失模量之间彼此并不独立。相反，他们是通过Kronig-Kramers关系相互关联，这实际上是来自于希尔伯特变换（Tschoegl 1989).从理论上讲，如果已知一个量的主曲线的数学模型，例如，代表动态或存储模量主曲线的S型函数，则可以通过执行希尔伯特变换来推导其他量的主曲线的函数形式。不幸的是，执行积分变换是一个严峻的挑战，并且可能无法始终获得封闭形式的解决方案（Tschoegl 1989）。
动态模量主曲线通常是通过将S型函数拟合在各种温度和频率下测得的动态模量数据而构建的。通过执行非线性最小化算法，可以同时求解系数和时间-温度位移因子。但此过程忽略了提供有关材料的重要LVE信息的相位角数据。在构建存储模量主曲线时也使用了相同的过程，其中忽略了损失模量数据。使用这种方法获得的主曲线可能会偏向于表征材料的行为，并且可能导致不符合LVE理论，如前所述。对于热流变简单的材料，相同的时间-温度移位因子必须叠加到所有粘弹性函数中（Ferry 1980).但是，传统方法可能会为各种响应函数主曲线产生不同的时间-温度位移因子。例如，用于构建动态模量主曲线的时间-温度等效因子可能不同于存储模量主曲线的时间-温度位移因子。S形参数主要控制主曲线拐点的陡度和位置(ARA 2004)。然而，就解释粘弹性材料的松弛机制而言，它们的物理意义并没有被很好地解释。一个粘弹性函数获得的形状参数不能应用于另一个函数，这表明这些参数可能与基本材料特性无关。本研究旨在开发一种统一和一致的方法来表征沥青混凝土的LVE行为，所提出的方法源于材料复模量的建模，从该模型中可以导出各种粘弹性函数。
2.修正的Havriliak-Negami模型及其理论背景
Havriliak和Negami (1966)提出了以下模型来表征聚合物alpha;-分散体的复杂介电行为：
（1）
其中 =单位虚数；=角频率；=分别接近和0时的复合介电常数；=瞬时行为； =平衡行为；是沿频率轴的实虚部的水平位置；alpha;和beta;分别控制损失峰的宽度和偏斜度。Havriliak和Negami (1967)进一步证明，描述聚合物的机械和介电行为的函数之间基本上没有很大的差异。Havriliak-Negami（HN）模型已被广泛用于表征聚合物、过渡金属、沥青粘合剂和其他材料的力学行为(Szabo and Keough 2002; Hartmann et al. 1994; Matteo et al. 2008; Vargas et al. 2007)。本研究旨在通过HN模型表征沥青混凝土的复平面行为。
复数模量测试是指对材料样品施加谐波或正弦稳态的力，从而在测试中获得其动态模量和相位角phi;。复数模量定义如下：
（2）
其中和分别为存储模量和损失模量。复数模量的成分之间存在以下关系：
（3）
HN模型的原始形式，如等式(1)所示.用来表征聚合物分散体的介电性能。高频获得的介电值位于Cole-Cole图的左侧(Havriliak and Negami 1966)。这与沥青混凝土的预期结果相反。因此，Tschoegl（1989）在本研究中对用于沥青混凝土的复数模量模型进行了修改，修改后的HN模型具有以下形式:
（4）
其中；为当分别接近和0时的复数模量。因为弹性模量随着或而接近0，所以可以从方程（3）中导出以下关系：
（5）
其中分别为动态模量和存储模量的最大值；分别为动态模量和存储模量的最小值。Havriliak和Negami（1966）从等式（1）中分离出所示复数的实部和虚部。然后将De Moivere定理相继应用于分母以提取复数根，然后对分母进行合理化。基于它们的解和等式（3）中复模量模型的实部和虚部的解析形式，获得如下关系：
（6a）
（6b）
（6c）
动态模量和相位角的数学模型可以通过结合（3）和（6）方程式获得。因为先前获得的存储模量，损失模量，动态模量和相位角的数学模型从理论上都是从等式（3）中所示的同一复数模量模型得出的，则自动满足Kronig-Kramers关系（Tschoegl 1989）。
根据TTSP理论，对于LVE范围内的沥青混凝土，温度和加载频率的影响可以组合为一个联合参数，即降低的频率。降低的角频率定义如下：
（7）
其中为时间-温度位移因子。可以使用将在各种温度下测得的测试结果水平移动到预先选择的参考温度，以形成平滑的主曲线。对于热流变简单的材料，工程可以通过将物理频率替换为缩减频率，从主曲线确定各种温度下的特性，如下所示:
（8）
3.确定模型参数
3.1修正的HN模型参数
本研究中使用了三种热混合沥青（HMA）混合物，即标称最大骨料尺寸（NMAS）为12.5 mm的石乳香沥青（SMA）和两种分别具有19和25 mm NMAS的Superpave混合物。这三种混合物分别称为SMA 12.5，Superpave 19和Superpave 25。SMA使用了SBS改性的PG 76-22粘合剂和Superpave 19混合物，而纯净的PG 64-22粘合剂用于Superpave 25混合物。通过使用Superpave旋转压实机将所有样品压实，并去芯切成100毫米的直径和150毫米的高度进行测试。按照AASHTO TP 62-07中指定的一般准则，以应力控制的压缩模式进行了测试。在五个温度（4、15、25、40和55°C）和七个频率（25、20、10、5、1、0.5和0.1Hz）下测量复模量。调整每种测试条件的垂直载荷，以产生大约50–80的应变幅度，并将总累积应变限制在1,500以内。对于每种混合物，重复测试三次。动态模量和相位角使用AASHTO TP 62-07（2007)。有关材料测试的详细信息可以在Zhao和Bai（2007)中看到。通常使用几张图在复杂平面上显示复杂模量测试结果。例如，科尔-科尔图（Cole-Cloe 1941），其中损失模量相对于存储模量绘制，或者称为Wicket图（Jones 2001），其中损失因子（定义为 ）和存储模量被交叉绘制，或用Black绘制（Ferry1980），其中对应于动态模量绘制了相位角。在这些图中，与这些温度和频率相关的曲线位于唯一的曲线上(Jones 1992, 2001; Szabo and Keough 2002)。对沥青混凝土也进行了同样的观察（Levenberg 2011)。在这项研究中，Cole-Cole曲线用于分析沥青混凝土的复平面行为。
复数模量的复数平面表示与不相关。这是正确的，因为存储模量和损失模量取决于与的比值，如等式（4）所示。因此，模型系数的确定分两个步骤完成。首先，通过使用非线性最小化算法将解析的Cole-Cole曲线拟合到测试结果来求解四个模型系数，即。其次，通过最小化在各种温度和频率下的复模的预测误差来确定和时间-温度等效因子函数。第一步的详细过程在下面介绍，第二步的详细过程在下一部分介绍。
图1 测试结果的Cole-Cole图和拟合的Cole-Cole曲线
Superpave 19混合物的整个测量数据集的Cole-Cole曲线如图1所示。该图表明，在各种温度和频率下测得的所有存储模量-损失模量点都位于一条独特的曲线上，这证实了其他研究人员所做的观察，如前所述。
对于模型系数的每组试验值，使用等式（6）计算存储模量和损失模量在omega;的800个预选值处，以对数刻度均匀分布，范围为10minus;20 rad/s。通过交叉绘制在相同加载频率下获得的存储模量和损失模量值，获得分析的Cole-Cole曲线。复数模量的实部和虚部也可以根据等式（4）中所示的数学形式直接计算，使用Microsoft Excel中提供的复杂的代数函数或Matlab的数值分析表明，该方法与式（6）产生相同的结果，表明方程（6）的推导是正确的。由于Cole-Cole曲线与无关，因此使用100 rad/s的任意选择的生成Cole-Cole曲线。存储模量是加载频率的不变函数。因此，可以通过对计算的存储模量与频率曲线上的数据点进行插值，为每个测得的存储模量值识别单个频率，随后可以确定相应的计算的损失模量。非线性最小化算法的目标误差函数定义如下：
（9）
其中，分别为第i个温度和频率条件下测量和计算的损失模量值；N是测得的数据点总数。在Matlab的使用软件包中提供的Nelder-Mead单纯形算法确定相应的损失模量并执行非线性最小化。表1列出了三种沥青混合料的模型系数。图1还显示了为Superpave 19混合物生成的分析Cole-Cole曲线。该图表明，改进的HN模型可以相当准确地描述沥青混凝土的复杂平面行为。对于SMA 12.5和Superpave 25混合物也有类似的观察结果。
表1 修改后的HN模型系数
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Mix type |
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|
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|
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SMA 12.5 |
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51.1 |
0 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 资料编号：[238866]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word |
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