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基于存在不合格产品的两级供应链管理的生产-库存模型研究
摘要
在本文中，针对两级供应链管理(SCM)的不合格产品情况的生产库存模型研究。用代数方法求出与整个供应链中的最小费用。我们考虑三种类型的失效连续概率函数，以找到相关的成本。本研究的目的是为三种不同的模型获得最小成本下的最佳的交付量以及最佳的批量。并且用一些数值例子、灵敏度分析和图形呈现该模型，同时，也给出了三种模型的数值比较。
引言
在现实生活中，对于所有的制造部门来说，很难保存诸如酒精、液体药品、血液等易挥发的物品。这些物品可能随时间流逝而失效。因此，讨论这类物品的失效是非常必要的。在这个方面，Ghare和Schrader[1]是第一个考虑到库存模型中不断失效的物品影响的学者。他们研究一般的EOQ(经济订货批量)模型基于直接失效和指数失效形式下的情况。Covert and Philip 将Ghare和Schrader的成果拓展了Wei-bull 分布 伽马分布. Philip [3] 推到了关于失效时间的三参数的Weibull分布的情形。Misra [4] 研究了在没有积压订单和有限生产率的条件下的不同失效形式的最优生产批量。Shah [5] 讨论了一种基于订单水平在指数分布以及Weibull 分布的失效情景的模型。Dave and Patel [6] 拓展了具有时间需求以及失效情形的策略。Raafat [7]给出了关于劣化物品库存模型的现有文献调查。然而Goyal [8]在无限的时间范围内采用经济订购策略来处理恶化的项目。在这方面，一些研究人员喜欢Goyal [9]，Datta和Pal [10]，Goswami和Chaudhuri [11]，Hariga [12]，Chang和Dye [13]，Goyal和Giri [14]，Skouri和Papachristos [15 ]，Skouri等。 [16]，Sarkar [17]等用不同类型的劣化率扩展了库存模型。
哈里斯[18]在微分学的帮助下首先引入了基本的众所周知的EOQ公式。 Wilson [19]再次推导出同样的公式。 不同研究人员通过微分算法帮助优化大部分库存成本。 此后，许多研究人员已经在SCM环境下讨论了不同类型的库存模型算法。 SCM包含许多不同形式的客户的采购商和供应商，生产商和分销商，分销商和零售商等。 考虑SCM的意图是一次优化整个系统。
在这个方向上，Goyal [20]为单一供应商单一买方问题开发了一个综合库存模型。 Banerjee [21]为购买者和供应商找到了一个联合经济批量模型。 Hill [22]将单一供应商单一购买者综合生产库存模型扩展为一般化策略。 Viswanathan和Piplani [23]讨论了通过共同补给时期协调供应链库存。 Yang和Wee [24,25]提出了无需衍生工具的综合供应商 - 买方库存系统的经济批量，以及用于多品种批量库存模型的JIT环境中变质物品的经济批量。 Caacute;rdenas-Barroacute;n[26,27]讨论了在多阶段多客户供应链中优化库存决策的注意事项，并使用解析几何和代数提出了带两个退货成本的EOQ / EPQ库存模型的推导。在那篇文章中，Caacute;rdenas-Barroacute;n[27]讨论了在基本代数的帮助下优化不同类型的代数函数的过程。 Yan et al。 [28]用不断恶化的模型扩展了SCM模型。 Khouja [29]提出了在多阶段多客户供应链中优化库存决策。 Caacute;rdenas-Barroacute;n[30]在单级生产系统中开发了带有返工的最佳生产批次。 Chung和Wee [31]通过考虑不完善的生产，检验计划，保修期和库存水平相关需求，讨论了定价政策的综合生产 - 库存恶化模型。 Widyadana等人[32]派生出一个优秀的EOQ模型，用于计划延期交货。关于质量和数量折扣不完善的EOQ模型的注释由Caacute;rdenas-Barroacute;n开发[33]。Garca-Laguna等人。 [34]和Caacute;rdenas-Barroacute;n等人。 [35]发现了一些优秀的想法，以发现基本的EOQ和EPQ模型中大量的完整性。 Caacute;rdenas-Barroacute;n等人。 [36]用算术几何不等式扩展了供应商 - 买方库存模型。 Wee和Widyadana [37]发现了带有返工和随机预防性维护时间的恶化物品的EPQ模型。 Caacute;rdenas-Barroacute;n等人[38]讨论了EPQ模型中关于部分积压协调计划的说明。 Widyadana和Wee [39]采用预防性维护策略和机器随机故障制定了一个用于恶化物品的EPQ模型。滕等人。 [40]推导了综合卖方 - 买方库存系统的经济批量而不使用任何衍生工具。 Tenget al。 [41]扩展到买方 - 分销商 - 供应商供应链的经济订货数量，没有衍生工具的积压。 Chung和Caacute;rdenas-Barroacute;n[42]发现了EOQ和EPQ库存模型的完整解决方案，其中包含线性和固定延期费用。
在这个模型中，我们试图找出每批生产批次的最优批量和完整的交货次数，通过不同的概率劣化函数的代数过程，使整个SCM的总成本最小化。本文是Yan等人的延伸。 [28]与Caacute;rdenas-Barroacute;n[27]的代数过程在不同类型的概率劣化函数下。我们想找出总成本的表达式，并使用代数过程使成本最小化，除了使用微积分。整个SCM的成本以简化的形式被发现并且使用代数过程被最小化。不需要使用微积分来最小化整个SCM的成本。本文设计如下：第1节给出了介绍。第2节给出了符号和假设。第3节讨论了不同类型的劣化函数的模型表达式和不同的推导。数值例子，模型之间的比较和敏感性分析，以说明第4节的模型。最后，模型的结论和未来的扩展已经在第5节中做出了。
符号和假设
以下符号和假设被用于讨论该模型：
符号：为了研究模型，我们使用了与Yan等人几乎相似的符号。[28]。
P production rate (unit/unit time)
P 生产率（单位/时间）
C setup cost for a production batch ($/batch)
C 生产批次的设置成本（$ /批）
holding cost for the supplier ($/unit/unit time)
持有供应商的成本（美元/单位/单位时间）
area under the supplierrsquo;s inventory level
在供应商的库存水平下
A ordering cost for the buyer ($/order)
A 为买家订购成本（$ /订单）
D constant demand (units/unit time)
D 需求不变（单位/时间）
holding cost for the buyer ($/unit/unit time)
为买家持有成本（$ /单位/单位时间）
area under the buyerrsquo;s inventory level
买方库存水平以下的区域
F constant transportation cost per delivery ($/delivery)
F 每次交货的运输成本不变（$ /交货）
d deterioration rate
d 失效率
deterioration cost per unit ($/unit)
每单位退化成本（美元/单位）
N numbers of deliveries per production batch, N1
N 每个生产批次的交货次数，N1
Q production lotsize per batch cycle (units)
Q 每批生产批量生产（单位）
q delivery lotsize (units)
q 交货批量（单位）
V the unit variable cost for order handling and receiving ($/unit)
V 订单处理和接收的单位可变成本（美元/单位）
T duration of inventory cycle
T 库存周期
production time duration for the supplier
供应商生产时间
non-production time duration for the supplier
供应商非生产时间
the duration between the two successive deliveries
两次连续供应的时间间隔
TC the total cost of the system
TC 系统总成本
假设：
1.生产库存系统生产单一类型的物品。
2.需求被认为是不变的和确定性的。
3.买方的需求信息和库存状况被提供给供应商。
4.假设供应商的生产率恒定，Pgt; D。
5.不考虑数量和现金折扣。
6.恶化遵循连续概率分布函数，如（a）均匀分布，（b）三角分布，和（c）beta;分布。
7.不允许缺货和积压。
8.买方支付运费和其他处理费用。
模型陈述
在这个模型中，我们考虑一个单一设置多次交货（SSMD）生产模型，其中买方的订单数量是在一个步骤中生产的，并且在恒定的时间间隔后在多次交付时以固定数量的产品交付。 假设是两次连续交付之间的持续时间。 总时间T可以分为两个时间跨度：一个是供应商生产产品的，另一个是供应商不生产任何产品的。 我们假设每个交付都是以这样一种方式进行分配的，即每次交付都是在来自之前交付的所有物品刚刚耗尽的确切时间到达的。
买方库存成本
- 每单位时间订购成本=A/T
- 每单位时间持有成本=
- 每单位时间损失成本=
- 每单位时间运输和处理成本
在期间，让y为恶化项数量，那么。由于恶化率很小，我们可以忽略其平方和更高次幂。 因此，在期间可以被视为单位的恶化。
因此，
又因为最终损失来源于买方，，所以得到
因此，买方成本函数如下
供应商库存成本
成本类型如下：
- 每单位时间安装成本
- 每单位时间持有成本=
- 每单位时间损失成本
现在，我们假设x代表供应商恶化单位的数量，即，这意味着.
因此，整个SCM的劣化单元总数为.。 因为，批量和，我们可以表示为
Hence,
所以，
因此，供应商的总成本函数可写为
整个SCM的综合库存成本
整个SCM的生产库存模型的平均总成本为（参见Yan et al.[28]）
在我们的模型中，我们认为恶化d遵循三种不同类型的概率分布函数的期望，其中f（x）遵循（1）均匀分布，（2）三角分布和（3） 贝塔分布和一种不同的代数方法来找到最佳解决方案。 我们还展示了三种模型之间的数值比较。
服从均匀分布
我们假定d 服从如下均匀分布
那么从方程1可得出
当d服从均匀分布时，d=E{f(x)}=(a b)/2
则，
对每一个给定的N，
上述方程可以以写成
其中，
那在
时取得最小值
同理对N
在
处取得最小值
那么可以得到求得范围
d服从三角分布
所以，
对任意的N
所以，
当q满足如下条件时取到最优化
最优情况如下
同理对N
所以和上面采用相同的方法
则
且
并且q是在如下范围
当d服从beta;分布时
和上述方法相同
对每一个确定的N
取的最优
对每一个确定的q
时取得最优
且
求解过程
在这个模型中，我们必须找到q的最佳范围和值以及N的整数值。我们首先计算每个模型的q的最优范围。 然后，我们开始从每个模型的不同组值中找出q和N的最优值。
如果在每个模型中（如等式（8），（15）和（20））不是整数，则我们不在之中选择N 在上述3个模型（如方程（3），（10），（17）），其中和 表示比最优大或者最小的最接近的整数。 代入T中的和的值，我们得到最优的最小成本。
数值实验
在本节中，我们考虑数值例子，通过图形演示比较三个模型，并对模型的关键参数进行灵敏度分析。
数值样例
例子1.以下参数的值应以适当的单位表示：a = 0.15，b = 0.25，P
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