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煤柱强度的数值模拟
Ashok Jaiswal，B.K. Shrivastva
（贝拿勒斯印度教大学采矿工程技术研究所 印度，221005）
摘要：本文描述了一种通过校准标准化的实际数值模型来预测煤体应变软化本构行为的方法。这种方法使用三维有限元模型，其中，所述煤体被认为是一个霍克 - 布朗应变软化材料，煤炭扩张行为被认为是限制和塑性剪切应变的函数。该数值模型能在各种失败/稳定的情况下校准印度煤矿的煤柱以及通过开展现场测试帮助研究人员确定大规模的失败后的煤柱，该模型的校准通过取各种置换和应变软化参数组合进行。它差不多包括了屈服支柱在高峰强度的2/3。对于印度煤矿故障后的弹性模量支柱强度估计的统计表达已通过分析模拟的结果开发。对于宽度与高度之比（W / H）不到五的印度煤柱，支柱强度几乎是与W / H的值成线性关系，而和煤试样的单轴抗压强度成非线性关系。煤柱的弹性模量与W / H的值成非线性关系而与其单轴抗压强度没有较为明显的关系。
关键词：矿柱；数值模拟；扩容角；应变软化；支柱强度；后失效模量
文章编号：779-788（2009）
1.简介
煤矿井下的煤柱在给自上而下的阶层提供支持中发挥关键作用。煤柱在传统上是用常规方法设计的，基于这样的原则，该支柱的强度必须大于强加于它的负载。这是矿柱设计的唯一标准。然而目前矿柱设计技术不仅要基于支柱的力量，同时也要考虑矿柱失效后的行为，特别是在长壁和边坡开采中。因此，煤柱的应力 - 应变行为是安全和最佳设计的必要参数之一。对于煤柱应力应变行为估计，最好的办法是进行原位测试。很多研究[1-5]进行了对煤炭的大量现场试验，通过煤柱宽度与高度的比率（W / H）的不同来估算支柱的应力应变。全面煤测试在原则上是非常昂贵和麻烦的。另一方面，实验室测试易于进行。然而，由于煤体内固有的不连续性，现场和实验室调查的结果是在强度和后失效模量方面有所不同。所以，对于煤样的实验室测试并不适合测定煤柱的全应力 - 应变行为。因此，其它方法如数值模拟方法已发展到分析支柱行为。数值方法在煤柱设计里很受欢迎并且经常被采纳。它们很灵活，并且可以快速地分析材料的众多几何和土工变量的影响。数值模拟在矿柱设计中应用的最关键、最重要的一步是分配阶层，特别是构造适当的煤炭模型。
在本文中，描述了一种基于计算煤体构成的背景分析的替代方法。在这种方法中，煤体被作为一个霍克 - 布朗应变软化材料，并且扩张行为被认为是约束应变和塑性剪切应变的函数。
2.本构模型
数值模拟使用由作者写的三维有限元法（三维有限元）代码，用于研究煤柱的应力应变行为，煤表现为应变软化材料。典型的应力 - 应变行为如图1所示。主要有三种机制：预破坏区，应变软化区，和残留区。峰值强度被命名为峰失效准则。它依赖于应激条件的状态。应变软化行为的特征在于破坏准则和塑形势两者。完美的塑料最后阶段是随着塑形势碳含量的衰减准则来判定的。
2.1失效标准
霍克 - 布朗应变软化模型[6]是大多数岩土材料研究最为广泛应用的模型。许多研究者[7-10]在煤柱设计上考虑霍克 - 布朗应变软化模型。它是下列形式的经验非线性破坏准则：
其中sigma;1和sigma;3为主应力的最大和最小值，sigma;C为单轴抗压强度，m和s为强度参数，a为固定参数，这里取0.5。
失败准则的规定取决于给定的约束材料的强度。如果材料失败，那么强度参数（m和s）记为mi和si，在这里，i代表完整岩体。材料失效之后，强度参数逐渐从峰强度参数降低到残余强度参数。此时，强度参数（m和s）相应的被记为mr和sr，其中r代表残留相位。
应变软化区从峰值到残余破坏准则的过渡是通过软化参数支配的。软化参数通常被定义为内部变量的函数。最广泛使用的内部变量是塑性剪切应变，定义为gamma;p，计算公式：
其中，和为主要的塑性应变。然后在软化阶段的霍克 - 布朗强度参数可以使用指数递减功能逐渐收缩完好残余的强度参数进行估计，如下：
其中，alpha;为恒定的软化速率。在零塑性剪切应变（gamma;p）时，霍克 - 布朗强度参数为mi和si，而在高塑性剪切应变（gamma;pgt;gt;0）时，霍克 - 布朗强度参数为mr和sr。
2.2塑形势
当务之急是要了解塑性应变在复杂应力条件下的方向，它可以通过流动规律的可塑性的经典理论来理解。根据可塑性的经典理论中，塑料势面的衍生物取决于提供塑性应变率的相对大小。表达式如下：
其中εpi代表增量塑料的六个组成部分应变，g是塑形势函数，lambda;为标量乘数。
公式5被称为塑性流动法则，它表明形变对塑料的体积、强度以及应力应变有显著影响。这有两种可能性：塑料势函数可以取为屈服功能，或者它可以是一个不同的功能。在前者的情况下，流程规则被说成是“相关联的”，在这种情况下，增量塑性应变矢量是正常的屈服表面。如果流规则非关联，则材料不遵循正常条件。已经从实验室研究发现，煤遵循非关联流动法则[8]。塑性势面的理解可以等同塑性势面的梯度以主要和次要的塑性主应变的比值进行：
主要和次要的塑性主应变的比例可通过进行三轴测试来估计。塑料表面的应力可以采取类似与不同常数（强度参数）的屈服函数来确定。这些常数可以是任何管理参数的函数。屈服函数，霍克 - 布朗和莫尔 - 库仑破坏准则的塑性势函数的细节在表1中给出。
由于K和的复杂性，霍克 - 布朗塑形势函数可能无法提供他们之间最合适的相关性。（见表1）已经从煤样的强度服从霍克 - 布朗破坏准则的实验室研究观察到，流动法则不遵循塑形势函数[8]。在另一方面，莫尔 - 库仑塑性势函数在本质上是简单的，由于它只涉及一个单变量psi;，因此，可能找到K和之间一个合理的相关性。
由于这些困难，阿里加罗和阿隆索[11]通过考虑非线性莫尔 - 库仑破坏准则和非关联莫尔 - 库仑塑性势函数提出了一个理论。从霍克 - 布朗破坏包络线的瞬时莫尔 - 库伦强度参数可以估算如下：
基于三轴试验分析，阿里加罗和阿隆索已经提出了莫尔 - 库仑塑性势面的扩容模型。它表明扩张角是瞬时内摩擦角（Phi;inst）、主应力（sigma;3）以及塑性剪切应变（gamma;p）的函数 [11]。在塑性剪切应变为0时（gamma;p），内摩擦角处于峰值。表达式如下：
表1
屈服函数、塑形势函数以及K对于莫尔 - 库仑和霍克 - 布朗破坏准则的详细情况：C和Phi;分别为凝聚力和内摩擦角。
在塑性剪切应变为0时，系数K的表达式为：
它进一步指出K随塑性剪切应变呈指数变化，如下式所示：
其中sigma;p是从莫拉煤三轴试验分析所确定的不变的塑性参数[11]，根据煤的平均质量，它的值约为20m。这个数值可以用于煤柱数值模拟。对于给定的屈服强度和塑性剪切应变，扩容角可以通过下式来计算（图12）：
这里所提出的扩容模型可以在数值模拟过程中使用。
3.煤柱的数值模拟方法
合理的本构行为是数值模拟的基本要求。而测定煤体的本构行为的根本途径是三轴测试。通过实验，已经观察到，由于固有的不连续性的影响，煤的应力 - 应变是由它的大小决定的，这些不连续不仅影响支柱强度，而且影响到失效后的行为。因此，小规模的标本并不代表真正的煤体。因此，使用大尺寸的煤试样（比一些临界尺寸更大）进行三轴测试是必不可少的。然而，大尺寸试样的三轴试验非常繁琐。麦都思一直试图进行直径达300毫米的不同大小的圆柱形煤样来测定煤质构参数的实验研究。[9] 研究发现了霍克 - 布朗强度参数和煤样的直径之间的相关性，并且临界尺寸试样的霍克 - 布朗强度参数已经被推算出来。这项工作是相当困难的，而且需要许多标本。因此，研究人员尝试通过校正数字模型来确定煤体参数的本构模型。[12-14]一旦确定了煤体参数的本构模型，那么它就可以容易地在支柱设计中并入数值模型。
表2 印度煤矿的失效案例
表3 印度煤矿的稳定案例
3.1煤柱失稳和稳定的案例
本文描述了一种基于反分析法，来针对各类失稳/稳定的印度煤柱案例的方法。表2和表3分别列出了印度煤矿煤柱在失稳和稳定的情况下的细节。这些案例来自于注释[12]。
3.2初步研究
各种案例研究的反分析是非常繁琐的，需要太多的排列组合，并测定最合适的强度参数。因此，初步的研究已进行调查强度参数的支柱力量和后失效模量的影响。初步研究结果在限定的强度参数范围内对考虑排列和组合很有帮助。而峰值强度参数的范围已根据合理的方法确定。表4提供了这种方法的概要。
峰值霍克-布朗强度参数Si取0.01。由于材料完全失稳后解体，残余霍克-布朗强度参数Sr取0.000001。mi和mr的取值范围分别为1.25到1.75和0.1到0.5，alpha;的取值范围为50到100。
表4 确定强度参数的方法
3.3煤柱参数变化的数值模拟
值得注意的是，如果顶板系统的刚度（Kr-f）小于煤柱的失稳后刚度（Kc），那么只能得到煤柱失稳后的行为。煤柱的失稳刚度和顶板系统刚度的表达式分别如下：
其中KC和Epost分别为煤柱失稳刚度和煤柱模量，Kr-f和Er-f分别为地底和地表的刚度和模量，hc为支柱高度，hr和hf分别为顶层和底层支柱模型的长度，A为支柱截面积。
大型支柱(w/hlt;1)的弹性模量约为2GPa。顶板和底板的弹性模量约为10GPa。获取煤柱破坏所需的条件可以通过限制底板和顶板上的长度以7.5米来实现。根据上述逻辑，底板和顶板列的长度保持在每个6.0米。
经过初步研究，对于w/h值为1和3的两个矿柱，已经建成他们的数值模型。由于支柱的对称性，只要建成模型的四分之一。图2展示了w/h值为3的矿柱模型的典型有限元离散型分析。应变软化模型的结果是取决于元件尺寸。[11]因此，所有模型都使用相同大小的元件（0.3m*0.3m*0.5m）。而印度煤的典型开采支柱高度和长度分别为3.0和4.0m，其平均抗压强度及弹性模量分别为35MPa和 2.0GPa。因此，这些值已在模拟过程中使用。模型的底部在垂直方向上被限制，而模型的两侧分别在垂直于它的边被限制。这两种对模型的限制模拟了煤炭强度参数八种不同的组合。（表5）对于没有关于煤系详细土工数据的模型，我们采取了杨氏模量和泊松比的值分别为10.0GPa和0.2。通过在在支柱的顶部施加增量位移，这样整个顶层的支柱的平均应力 - 应变就已确定。
3.4初步研究的结果与讨论
对于峰值强度和各个情况下的失效模量方面的初步研究的结果总结于表6中，它有四个基本特征：预破坏模量，峰值强度，后失效模量和残余强度。
预破坏模量：术语预破坏模量被定义为在弹性区域中的应力 - 应变曲线的切线。所有模拟支柱元素屈服的预破坏弹性模量约为2.0 GPA，这显然是等于煤模量为2.0GPa。达到这一值时，作为模型中的元素开始屈服，煤柱的预破坏弹性模量降低，直到样品达到其峰值强度。屈服元素的系数为负而弹性元素的系数为正。因此，所有的元素的平均弹性模量降低。
峰值：支柱的强度显著取决于宽度与高度的比率。它可以通过煤柱屈服的力学机制来解释。在w/h值较高的案例中，支柱的中心没有找到自由空间扩张。因此，对于内部中心高度受限的支柱，这又反过来增加了它的承载能力。此外，特定几何形状的支柱的强度对于强度参数的选择也有影响。从表6我们观察到模型强度随着mi和mr的增加，alpha;的减小而增加。
后失效模量：我们观察到w/h值为1的支柱的后失效模量比w/h值为3的要低。对于w/h值为1的支柱，大多数元素在经过峰值后瞬间产生。这些元素都集中在高负后失效模量应变软化区。而对于w/h值为3的支柱模型，只有一些朝支柱两侧的元素在经过峰值后产生屈服。这些元素具有负的后失效模量。朝向芯柱的某些部分是在正模量的弹性区域。因此，所有元素组合后的后失效模量降低。mi值对后失效模量的影响很小，这是由于后失效模量随着mr值的增加而增加。残余强度随着alpha;值的增加而增加，这是因为霍克-布朗系数m值的显著减小。强度系数m的快速减小表明了后失效模量的增加。
残余强度：残余强度显著取决于材料宽度与高度的比值。w/h比率高的支柱有高的残余强度。对于w/h比率高的支柱，它使得支柱中心高度受限，这又反过来增加了支柱的承重能力。从我们的结果中可以见到残余强度也取决于mr。w/h值为1和3的大型支柱的后失效模量通常分别为1000-2000MPa和300-700MPa。[1
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