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基于旋转矩阵的单位四分位运动预估算法
黄玉 黄宝宗
北京交通大学信息科学研究所，北京100044
摘要：基于旋转矩阵的四元数分解，本文提出了一种从3D特征点的空间位置向量预估运动参数的算法。旋转矩阵的表示与单位四元数没有奇异点，因此基于单位四元数的预估方法更为实际重要，与Horn（1987）提出的基于单位四元数的方法相比，本文算法不需要迭代计算）和Su等人（1989）。还提出了解决方案对算法和仿真实验结果的唯一性分析，可以看出我们的方法性能令人满意。
关键字：单位四元数分解；空间位置向量；运动参数预估；奇点
一、简介
从图像序列中辨别物体的运动对计算机视觉应用很重要。如果我们直接提取深度信息，即，通过立体视觉系统从摄像机到对象的距离，然后与2-D图像序列相反，该附加深度信息大大降低了运动预估任务的复杂性；此外，我们可以得到翻译矢量的绝对值。因此现在运动分析中基于立体视觉的方法已经被更加强调了，其中主要的问题是确定旋转矩阵R，然后可以获得平移向量。已经提出了几种直接推断R的方法，如基于SVD的方法，基于正交分解的方法和基于RS分解的方法等，但是我们知道R只有3个自由度（DOF），所以更多的数值计算可能会降低预估精度，预估的矩阵不能保证是一个旋转矩阵。因此，研究人员开始用R表示的较少的参数（如旋转轴及其角度，偏斜对称矩阵，三欧拉角度和单位四元数）等方法找出这些预估方法。由于单位四元数的旋转表达式不仅不会面对奇点，但也简要描述了几个旋转矩阵的计算，这将更具实际意义。霍恩等人和Faugeras等人分别提出了与单位四元数表示相似的运动预估方法，该方法是通过确定与最小特征值相对应的特征向量的迭代算法来计算的，以求解二次形式的最小化问题。这里基于单位四元分解定理（UQD），提出了一种无迭代运动预估的线性最小二乘法算法，运行速度更快。最终，其解决方案的独特性分析和仿真实验轮胎也给出了。
二、单位四元数的旋转表示
通过运动学理论，物体运动可以分为旋转分量和平移分量。让时刻t和t delta;t中物体的特征点的3-D位置矢量分别为pi = pirsquo;，i = 1,2，...，N
其中R是旋转矩阵，T是平移向量，Ni是加性噪声。
R为3times;3正交旋转矩阵的DOF为3，所以R可以用三个欧拉角（分别由右手规则分别绕x，y，z轴定向角），旋转轴和旋转角度，对应于Carly向量和单位四元数的偏斜对称矩阵。但是，当欧拉的角度等于90°时，其他两个不能唯一确定。当旋转角度等于0°时，旋转轴可以采取任何方向；当旋转角度等于180°时，没有与旋转矩阵对应的卡利矢量。同时，单位四元数的表示没有奇点。详细分析如下：
假设单位四元数Quater =（nT，q）T，其中n为3 x 1向量，q为标量，约束为|| n ||2 q2 = 1.然后我们有以下引理：
引理1 用单位四元数构造的4times;4正方形矩阵Q， Quater =（nT，q）T将是正交矩阵，即
其中I是3times;3单位矩阵，Sn是对应于矢量n =（n1，n2，n3）的偏斜对称矩阵。
证明
由于
定理1 对于旋转矩阵R，只有两个具有相反符号的单位四元数，即（nT，q）T，（-nT，-q）T，满足以下分解：
将方程（3）的右边与（nT，q）T相乘，我们有
对于上述方程，必须不存在（nT，q）T的零解，所以我们可以得到至少一个单位四元数来满足方程（3）。
现在我们假设两个单位四元数（n1T，q）T，（n2T，q）T满足方程（3），并且它们分别构成相应的方阵Q1， Q2。
（1）让n1=O3x1，然后q1=plusmn;1。现在R=I，Q1=plusmn;I4，Q2Q2=I4，所以Q2= Q2T，我们可以发现，n2= O3x1，q2 =plusmn;1。
（2）令n1ne;O3x1，则Q1Q2[n2T，q]T =[n2T,q]T和STn1.n2 = 03x1，所以n2 = kn1（kne;0），方程（3）确定k =plusmn;1，所以q2 =plusmn;q1，n2 =plusmn;n1。
定理1 给出旋转矩阵的UQD，现在我们可以推断出单位四元数和R之间的关系如下
引理2旋转矩阵R用单位四元数表示Quater =（nT，q）T =（n1，n2，n3，q）T如下
证明
方程式（3）我们可以推断出
单位四元数的表示可以代替旋转轴和旋转角（r，theta;），Carley向量（a，b，c）的表示如下：
从方程（6）可以看到奇点：当q = 0时，不存在对应于旋转矩阵的（a，6，c）T当n = 0时，旋转轴r可以取任何值。
三、单位四元数旋转矩阵预估
由于单位四元数可以代表旋转而没有任何奇异点，因此更加强调了基于该表示的运动预估算法的研究。 Horn和Faugeras分别提出了具有单位四元数表示的类似运动预估方法，该算法通过确定与最小特征值相对应的特征向量（即单位四元数）的迭代算法来计算，以求解二次形式的最小化问题。这里我们只是简单地描述参考文献[6]中的方法：首先运动预估问题是推断R和T最小化的总和平方残留如公式（7）：
令，则方程（7）重述为
当获得R时，T将通过以下方程计算：
现在我们定义如下：
矩阵M的所有元素都在这里，符号mij指矩阵的轨迹。然后我们给出一个对称矩阵如下：
所以方程（8）可以改为：
现在解决的问题是4-D单位特征向量Qu对应于H的最小特征值，以最小化二次形式QTuHQu。
特征向量的计算是一个迭代过程，这里我们将问题改为基于UQD的线性LS最小化，然后推断出非迭代线性算法。其定义如下：
将方程（3）代入方程（8）产生
它可以作为简化形式重述
其中ui=qirsquo;-qi，SU作为对应于ui = q irsquo; qi的偏斜对称矩阵。现在我们讨论如何解决方程（13）：
（1）当qne;0时，方程（13）变为以下形式：
方程（14）等价于以下正则方程的解：
其中。一旦获得n/q，我们可以确定n，q（||n||2 q2 = 1）的两个解与相反的符号。根据定理1，它们各自可以对应于相同的旋转矩阵。
（2）当q = 0时，方程（13）变为如下形式：
与（||n||2= 1）同样，方程（16）等价于下式的解：
这里（平行）立体视觉系统使z轴坐标方向，系统为光轴方向，物体的位置始终在摄像机前方受限；由于方程（1）中的旋转中心被选为坐标系的原点，因此我们可以假设旋转轴的z分量n =（n1，n2 n3），n3ne;0，即旋转轴线将与x-y平面相交。现在让A = [A1，A2，A3]，方程（17）可以重述为：
一旦n1/n3，n2/n3被确定，则只能得到具有相反符号的n（||n||2 = 1）的两个解。由于旋转轴不考虑标志，所以我们选择其中之一。
关于方程（15）和方程（18）的解的唯一性分析如下：首先让
它产生 此外，如果预估单位四元数（nT，q）T对应于旋转矩阵R，则来自引理2，我们有
和U =（R I）P，V （R-I）P。
（1）考虑方程（15）当qne; O。首先我们有
引理3 rank（U）ge;2 rank（Us）= 3。
证明：UUT是半正正数，其中lambda;i是其本征值，lambda;ige; 0，。那么rank（U）ge; 2 rank（UU）Tge; 2 lambda;i lt;alpha;rank（UsUsT）= 3 rank（Us）= 3。
定理2 如果rank（P）ge; 2，则可以从方程（15）获得唯一的旋转矩阵。
证明：如果q ne;0，rank（U）=rank（P），则rank（A）=rank[Us，V]ge;rank（Us），因此rank（P）ge;2，rank（A）=rank（Us）= 3），因此可以保证n/q的唯一解，通过约束|| n || 2= 1，可以得到两个单位四元数相反的符号，即独特的旋转矩阵。
（2）考虑方程（18）当g = 0时，我们有
定理3如果N ge;2，则可以从方程（18）获得唯一的旋转矩阵。
证明rank（A）=rank[Us，V]ge;rank（Us）gt; 2，当rank（A）= 2时，可以从方程（17）获得具有相反符号的两个旋转轴，所以任何一个都是足够的当rank（A）=3时，n1/n3，n2/n3的唯一LS解也可以从方程（18）确定，同样我们可以推断出独特的旋转矩阵。
R的最终解是从方程（15）和（18）的两个解中选择，以使方程（8）最小化。
四、模拟实验结果
从以下情况生成仿真数据：从（-2,2-2）到（2,2,4）随机获得一组3-D特征点{pi},i = 1,2，...，10， ，旋转轴n是（0,0,1），并且旋转角度theta;从[0°，180°]生成，平移矢量的三个分量随机选择在1和3之间的实数；通过上述这些运动参数，由方程（1）得到{pi}，i = 1,2，...，10。现在立体视觉系统描述如下：两个透镜中心在x轴上，其中点位于摄像机居中坐标系的原点，两个透镜轴平行与c轴平行，两个图像平面平行于具有焦距f= 1和基线长度B=5的xy平面。其次，通过投影成像模型，我们可以获得左和右图像点对{Pi1, Pi2}，i = 1,2，...，10。然后将高斯噪声添加到2-D图像点对：最后通过立体三角测量。我们重建受污染的3-D特征点。
参考文献[8]与本文有一些相似之处，这里我们比较后者的预估结果与前者的预估结果。 SNR从20dB变化到40dB，两种方法的预估误差见图1和图2。图1示出了翻译向量的预估误差，其中dT = || T-To ||；图2为旋转角度（1°），其中dtheta; = ||theta; -theta;o || 。从预估结果可以看出，前一种方法的精度与后一种方法的精度非常接近，预估我们的方法有点准确。 （由于单位四元数组分的归一化方便数值计算，特别是对于更大或小于90°的旋转角度）。另外，参考文献[8]中的方法，可能会面对旋转矩阵表示中的奇点问题（详见第二部分）。
五、结论 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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