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一种两段式水下拖曳系统的水动力模型
摘要
本文研究了两段式水下拖曳系统的三维模型。在该模型中，基于Ablow和Schechter方法建立了电缆的控制方程，得到了两段式水下拖曳系统的边界条件。本文采用潜艇模拟的六自由度运动方程对拖曳体的水动力性能进行了预测，然后用中心有限差分法求解所建立的系统控制方程。本文用几种算法求解这种特殊形式的有限差分方程。研究结果表明，两段式水下拖曳系统改善了拖曳体的动力性能，是拖船与拖曳体运动解耦的一种简便方法。由于该模型采用隐式时间积分，对长时间步长具有稳定性，所以是大型水下拖曳系统仿真的有效算法。
关键词：两段式拖曳；水下；拖曳系统；数值模拟；电缆
1.介绍
水下拖曳系统是许多海洋应用的基本工具，包括海防、海底测绘和海洋环境测量。这些系统可以简单到只有一条电缆和它的拖曳体，也可以由多条拖曳电缆和多个拖曳体组成。
在模拟水下拖曳系统的水动力性能时，拖曳船与拖曳系统之间的耦合作用被通常忽略，并且水动力模型通常由电缆和拖曳体两段组成。众所周知，电缆和拖曳体的运动方程是非线性的，并且它们在各种运行过程中的动力学表现是相互依赖的。因此，这些方程是强耦合的。为了研究完整的问题，必须把它们作为一个整体同时解决。对于这样一个复杂的问题，通常采用解析法和数值方法来求解。
目前用于确定水下拖曳系统中电缆水动力性能的最常用方法是集中质量法（Walton and Polachech，1960）和有限差分法（Ablow and Schechter，1983）。然而，根据Howell（1991）的观点，集中质量法中使用的显式时域积分方法使该方法在条件上稳定。Burgess（1991）指出，该算法中所使用的时间积分要求选择时间步长，以使集中质量系统的最高固有频率满足Courant-Friedrichs-Levy波条件，所以这限制了使用非常小的时间步长。然而，Hearn和Thomas（1991）认为，该方法中数值程序在大时间步长下的崩溃并不是由于数值格式的不稳定性，而是由于Newton-Raphson迭代程序的失败导致的，该迭代程序用于确定求解非线性运动方程的正确张力水平。集中质量法中数值程序崩溃的原因可能不清楚，但该方法中的时间步长必须选择得非常小，以避免基于经验的数值程序失败（Burgess，1989；Hearn和Thomas，1991）。
在有限差分法中，水下电缆的控制方程是由电缆点的力平衡导出的。在各种有限差分方法中，Ablow和Schechter（1983）提出的模型值得注意。在该模型中，电缆被视为一个任意运动的细长柔性圆柱。它假设电缆的动力学由重力、水动力载荷和惯性力决定。在局部切向法坐标系中建立了控制方程，该坐标系具有沿电缆的无应力距离。然后用以时间和空间为中心的有限差分方程来逼近微分方程。通过求解方程，可以在时域内确定水下电缆的运动。该方法的主要优点是采用隐式时间积分，对于大的时间步长是稳定的。这是一种很好的大型水下电缆运动仿真算法。
在描述水下航行器的水动力特性时，可以采用潜艇模拟的六自由度运动方程。近年来，水下拖曳系统的水动力模型得到了许多学者的研究。Chapman（1984）提出了一个描述水下拖曳系统动力性能的模型。该模型主要用于模拟拖船在圆轨道上航行时的行为，但不完全是三维的。Koterayama等人（1988）建立了单电缆拖曳系统的三维模型，模型中的电缆的性能由集中质量法确定。
目前水下拖曳系统的流体力学研究主要集中在单电缆系统上。由于拖船作业的需要，这些系统需要具有在波浪作用等海洋环境中以稳定姿态运动的能力，而拖船一般要求将波浪引起的扰动最小化。一种简单的方法是使用两段的水下拖曳系统来将水面舰艇的运动与拖曳体分离。Ranmuthugala和Gottschalk（1993）提出了两段式水下拖曳系统的二维水动力模型。在该模型中，没有讨论拖曳体的运动特性。
本文提出一个三维水动力模型来模拟一个由两段组成的水下拖曳系统。在该模型中，基于Ablow和Schechter（1983）方法建立了电缆的控制方程。采用潜艇模拟的六自由度运动方程对拖曳体的水动力性能进行了预测。然后用中心有限差分法求解所建立的控制方程。本文用几种算法求解这种特殊形式的有限差分方程。
数值计算结果表明，两段式水下拖曳系统改善了拖曳体的动力特性。由于该模型采用隐式时间积分，所以对于大时间步长是稳定的。它为不同的机动问题提供了灵活的时间步长选择，是大型拖曳系统仿真的有效算法。该模型可方便地推广到多拖曳电缆和多拖曳体的仿真中。
2.控制方程和边界条件
本文所述系统由主电缆、副电缆和降压电缆组成，拖曳体和降压电缆分别连接在副电缆和降压电缆的末端（图1）。主缆和降压电缆为负浮力，拖曳体和副缆为中性浮力。
方程推导中使用了三种不同的坐标系，即固定惯性坐标系（X，Y，Z）和局部坐标系如电缆（t，n，b）和拖曳体（X，Y，Z），如图1所示。首先给出了电缆的控制方程，然后分别对三根电缆进行建模，并在连接处进行动态连接。以拖船在水面上的航速和拖曳体及降压器的动力学方程作为电缆控制方程的边界条件。对于本文给出的结果，计算从稳态解开始，稳态解作为整个系统的初始条件。
图1 由两段组成的水下拖曳系统
2.1 电缆模型
电缆被当作一个又长又细的柔性圆柱。电缆的动力学被认为由重力、水动力荷载和惯性力决定，本研究不考虑弯曲或扭转刚度。
这些方程是用正交坐标（t，n，b）写的，在电缆的每个点上都有。正交坐标（i，j，k）表示固定惯性系，i，j在水平面上，k向下。系统（i，j，k）和（t，n，b）的起源是一致的。选择局部框架的方向，使t在非应力电缆长坐标s增加的方向上与电缆相切，b在i和j的平面上，t和n在垂直平面上。在电缆的任何一点上，两个框架（i，j，k）和（t，n，b）通过方程
（1）
其中
式（1）表示通过角theta;绕k轴旋转使i轴进入t和n平面，通过pi;/2绕新i轴旋转使k与b重合，通过绕旋转使i和j与t和n重合。两个坐标系的相对位置如图2所示。
类似于Ablow和Schechter（1983），在电缆的任何一点上，控制方程可以写成：
图2 两个坐标系的相对位置。
, (2)
,
,
式中，T表示电缆的张力，，和分别沿t、n和b方向的速度分量，m是电缆单位长度的质量，m1等于m （是水的密度，A是未拉伸电缆的横截面积），e等于1/EA（E是电缆的杨氏模量），w为单位长度电缆的浸没重量，d为电缆直径。
2.2 系统的边界和初始条件
连接点处三根电缆的速度分量必须相同，且该点处三根电缆的合力必须为零。因此
, (3a)
, (4b)
或者
, (3b)
, (4b)
其中下标P、D和S分别表示主电缆、减压电缆和副电缆，下标0和N表示第一个和最后一个节点，电缆的方向如图1所示。
拖曳船速度与主缆拖曳点速度的关系是
(5)
式中Sx,Sy和Sz是惯性坐标系中拖船的速度分量
本文假设压块是一个重球，因此，在降压电缆（节点DN）的末端，边界条件是
(6)
式中CDD为减压器阻力系数、SD减压器投影面积、C1减压器附加质量系数、∆减压器体积、m0减压器质量和w0减压器潜重。节点DN处的T、theta;和psi;的值由式（6）确定。
副电缆末端（节点SN）与被拖曳体拖曳点之间的速度耦合关系为
(7)
式中VV = (u,v,w)T和omega;=(p, q, r) 是拖曳体在拖曳体固定坐标系中的平动速度和角速度，rT=(xT, yT, zT)是拖曳体固定框架中的拖曳点坐标，VSN表示为电缆的局部坐标和
式中，theta;，phi;，psi;是拖曳体的俯仰角、侧倾角和偏航角。
拖曳体在喘振、摇摆、垂荡、横摇、纵摇和偏航时的六自由度运动方程可写成(Gertler and Hagen, 1967)
其中左侧表示惯性力和力矩，右侧表示拖曳体上的外力。下标H反映了水动力贡献、W浮力和重量效应、控制面（控制翼、襟翼等）产生的C力和T拖曳力。方程式中的符号以标准符号为基础。
本文所研究的拖曳体假定为一个圆柱体，其均匀质心对称于拖曳体的中点。这种类型的拖曳体会没有控制面。因此不存在控制力。作用在拖曳体上的水动力由以下方程给出
式中，CDv为摇摆和垂荡时拖曳体的阻力系数，Dv为拖曳体的直径，以及
（20）
上述方程中的积分是在拖曳体的长度上。
车辆重量W和浮力B产生的静水恢复力和力矩由下式给出
在拖曳体的局部坐标系中，拖曳体上的拖曳力和力矩为
（27）
（28）
为了完成拖曳系统的水动力模型，拖曳体的欧拉角变化率的表达式为
（29）
（30）
（31）
对于本文给出的结果，拖航船的恒定速度Vts假定为初始状态，即Vts =-V0i 和
（32）
3. 有限差分近似
在第2.2节所述条件下，电缆的控制方程（式（2））完全确定了拖曳系统参数。在这项研究中，偏微分方程（2）被一个以时间和空间为中心的有限差分方程近似。将三根电缆分为一系列长度段∆Sj，将时间分为一系列时间步长∆t，三根电缆的节点数分别为0 ~Np, 0 ~ ND, 0 ~ NS，每根电缆节点包含6个节点变量Yj =(T, vt<!-- 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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