具有非线性刚度和阻尼的振子外文翻译资料

 2022-08-11 11:08

英语原文共 228 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

5.4 具有非线性刚度和阻尼的振子

对于许多振动体系而言，在阻尼和刚度方面都存在非线性。这样一个系统的合适的运动方程的一般形式如下：

(5.112)

为简单起见，我们首先假设的均值为0，且是一个反对称函数，因此的均值也是0。

对于小幅振动，通常可以线性化，以得到一个很好的近似。因此很容易将函数分解为线性阻尼和刚度分量，分别为（其中）和。以及一个非线性分量，其中为标量。因此

(5.113)

运用统计线性化程序，非线性系统(5.112)由一个等效的线性系统代替，构成一个运动方程

(5.114)

其中.方程（5.112）和（5.114）之间的误差为

(5.115)

并且，与前面给出的分析相一致，要求和的值使得最小。显然，这些值必须满足以下关系

（5.116）

将（5.115）代入方程（5.116），并求出微分，得到以下两个关于和的联立方程

(5.117)

(5.118)

因为是一个零均值的平稳过程，由此得出以下结论（详见3.7节）

(5.119)

其中和分别是和的标准差。将这些值带入就很容易求解(5.117)和(5.118)的方程，得到和的表达式

(5.120)

如果按照前面描述的方法，假设和是联合高斯的，就可以找到和的可替换的更简单的表达式。再次使用第3章给出的高斯随机变量的结果(见式(3.56)，很容易发现

(5.121)

因此，和简单地等于方程分别关于和的梯度的期望

由于可以写成方程（5.113）的形式，运用方程（5.121）可得

(5.122)

以及

(5.123)

在只依赖于的特殊情况下，从以上推论可以发现，和式(5.123)仅与前面的非线性刚度结果一致(见式(5.47)，其中)。通常，在工程应用中，可以将非线性函数用可分离的形式表示如下

(5.124)

在这种情况下，式(5.122)和(5.123)简化为

(5.125)

(5.126)

根据上面的公式，和的取值取决于对和的认识。为了获得和，和之间的进一步关系，可以通过使用等效线性系统来计算和来得到。具体来说，依赖于谱的输入-输出关系

(5.127)

以及（见式（3.113））

(5.128)

其中

(5.129)

因此，对于四个未知数，，和可以得到四个联立方程。在特定的情况下，数值求解过程通常是必要的。

5.4.1 响应的标准差

为了得到具体的结果，当非线性函数是可分离的形式时，可以考虑表示为以下幂级数的形式

(5.130)

这里的和 (n= 3,5，···)是常数，对n为奇数整数值的限制确保了是反对称的。

假设和均为高斯分布，且均值为0，将式(5.130)代入式(5.122)和式(5.123)，得到和的表达式如下(见附录A，表Al)

(5.131)

(5.132)

其中

(5.133)

以及

(5.134)

这些方程必须与由等效线性系统导出的和的表达式结合起来。为了说明这一点，我们将考虑被建模为谱密度为的白噪声的情况。这里，使用式(5.127)至(5.129)，将得到

（5.135）

现在拥有包含四个未知数，，和的四个方程，利用这些方程可以将这些量被估计出来。这四个方程的组合能够建立起以下的两个关系式

（5.136）

以及

(5.137)

其中和分别为当时和的值。需要注意的是，由于只取决于，不用第二个方程就独立地求解第一个方程式可能的。这样就可以找到，从而找到。然后可以解出第二个方程得到，从而得到。

通常，在应用中，可以通过仅保留可分离形式的的三次项，并将其表示为一个级数，来实现良好的近似。那么，有一个Duffing类型的振动体系，其阻尼式线性叠合立方项的形式。相应的运动方程是

(5.138)

更进一步，与式（5.130）比较可以得到

（5.139）

当时，式（5.138）简写为先前考虑的运动方程的形式（在5.3.2节有提到）。

对于这个特殊的振动体系，可以从式(5.133)和(5.134)中得到

（5.140）

（5.141）

因此，从式（5.136）和（5.137）可得

（5.142）

以及

（5.143）

从这两个方程中的第一个可以推出

(5.144)

其中

(5.145)

有了这个结果，可以解出第二个方程

(5.146)

其中

(5.147)

值得注意的是，的结果和以此得到的与非线性刚度参数，而和以此得到的取决于非线性阻尼参数。在的情况下，以及的结果和以此得到的与先前发现的线性阻尼的Duffing振动体系相同（见式（5.62）和（5.63））。

5.4.2 微小非线性的情况

对于非线性刚度和阻尼相结合的振动系统，如果非线性参数 足够小，即二阶项或更高阶项可以认为忽略不计，那么解可以大大简化(就像在仅存在刚度非线性的情况一样)。

作为一个例子，当是由式（5.130）所给出的可分离的级数形式时，并且认为激励时白噪声情况。首先和被表示成 的摄动级数的形式，也就是

(5.148)

以及

(5.149)

接着代入方程（5.136）和（5.137），并略去二次项以及更高阶的项，可以得到

(5.150)

以及

(5.151)

其中

(5.152)

(5.153)

显然，从这些表达式，和可以直接求值，不需要求解非线性代数方程。同样，，的表达式也很容易找到，精确到的一阶项。对于受式(5.138)控制的系统特殊情况，式(5.150)和(5.151)可简化为

(5.154)

其中

(5.155)

这些结果与公式(5.144)和(5.146)是一致的，对于任意的和值，可以很容易地得到。

通过回代公式(5.131)和(5.132)可以找到合适的和表达式。因此，对于由式(5.130)给出的可分离形式的例子，通过忽略比高阶的项，可以发现

(5.156)

在具有线性加三次项阻尼的杜芬振子的特殊情况下，且在白噪声的激励下，可以得到

(5.157)

精确到的一阶项。

5.4.3 响应的功率谱

由等效线性系统方程(5.114)，容易得到以下的响应过程的功率谱表达式

(5.158)

对于非线性参数值较小的情况，可以很容易地推导出的近似值，并将其精确到一阶项。当由式(5.130)的可分离级数形式给出时，我们发现

(5.159)

其中

(5.160)

方程(5.159)右边第一项的是线性的结果(取)，以及第二项代表了由于非线性而做的调整，精确到一阶项。在白噪声激励和线性阻尼的特殊情况下,方程(5.159)可以简化为更早发现的结果(见方程(5.71))。

5.4.4 非零均值的输入与输出

对于具有非线性阻尼和刚度组合的振动系统，本小结给出的分析可以推广到更一般的情况，即输入的均值和输出过程的均值都是非零的。像仅为刚度非线性（见5.3.6节）的情况一样，和分别写成方程（5.73）和（5.74）的形式。相应的方程（5.112）的等价线性方程为

(5.161)

从等式两边的期望来看，很明显

(5.162)

从而，线性方程可以写成

(5.163)

与方程（5.114）比较得到

(5.164)

其中和具有和前面相同的含义。

通过与5.4节相似的分析，假设和为高斯分布，我们发现最小二乘法准则给出了如下，和的表达式

(5.165)

以及

(5.166)

这些表达式，以及从等效线性系统推导出的和的表达式，为5个未知数，、和和提供了5个方程(注意的均值为0)。可以看出，上面给出的和的表达式没有明确地涉及,然而是通过和的分布函数隐含在其中的。

5.5 高阶线性化

在目前的讨论中，通过用零记忆线性项代替运动方程中的非线性项，实现了非线性振动体系的线性化。正如第5.2.2节所指出的，如果输入是高斯的，这个过程实际上对应于最优线性化。然而，对于非线性振动体系，方程(5.112)中与非线性项相关的“输入”是响应过程，它通常是非高斯的。因此，当处理非线性振动体系时，传统的零记忆线性项代替非线性项的方式并不是最优的。通过明智地在线性代替项中引入记忆性可以获得更好地精度。

最近Iyengar(1988)提出了一种引入记忆性的简单方法。假设振动体系从运动方程(5.112)的一般形式出发，由方程(5.113)表示。当非线性为可分离形式时(见式(5.124))，则控制方程可以写成

(5.167)

其中

(5.168)

如果式(5.168)关于时间求导，则有

(5.169)

消去式（5.167）和（5.169）之间的得到

(5.170)

方程（5.170）可以被替换为以下的等效线性方程

(5.171)

其中至是使得方程（5.170）和方程（5.171）之间的均方差最小的常数。为了实现这个目的，一个一般性的方法将在下一章给出。将方程（5.167）和方程（5.171）组合后，形成的三阶等价线性系统，比原来的非线性系统阶数还要高一阶。

通过对上述过程的推广，即可得到高阶线性化的方法。Iyengar(1988)提出，对于白噪声作用下的Duffing振动体系，四阶等效线性系统可以使得响应的均方估计值得到明显的改善。此外，由四阶线性替代方程得到功率谱得出的响应的功率谱估计值出现了两个峰值，反映了系统次谐波的存在。次谐波发生在大约三倍的主共振频率处，该现象与数值模拟的结果是合理一致的。

发展一种得到比普通系统更高阶的等效线性系统的通用方法，目前似乎尚无可使用的文献，这正是值得进一步研究的领域。

5.6 应用

5.6.1 结构在基础上的摩擦滑移

Williams(1973)提出的一种保护结构不受地震地面运动影响的方法，就是允许建筑物在摩擦地基上滑动。如果是摩擦系数， 是重力加速度，那么结构将免受大小超过的加速度影响。显然，设计这样一个摩擦隔离系统时，有必要对一系统给定概率模型的地震激励时，预测其滑动位移的统计特性。最近，一些学者（Crandall et al.,1974;Crandall and Lee, 1976; Ahmadi,1983; Constantinou and Tadjbaksh,1984; Noguchi, 1985）解决

剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料

资料编号：[237406]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word

原文和译文剩余内容已隐藏，您需要先支付 30元 才能查看原文和译文全部内容！立即支付

以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。

您可能感兴趣的文章