具有饱和发生率的乙型肝炎模型的 动力学分析外文翻译资料

 2021-12-12 09:12

英语原文共 20 页

具有饱和发生率的乙型肝炎模型的

动力学分析

刘丽雅

中国石油大学石油工程学院,山东青岛266580;

中国石油大学理学院,山东青岛266580

电子邮件:liuliya _1993 @hotmail.com

蒋达清

中国石油大学理学院,山东青岛266580;

阿卜杜勒阿齐兹国王大学非线性分析与应用数学研究组,沙特阿拉伯吉达

电子邮件:daqingjiang2010@hotmail.com

Tasawar HAYAT

阿卜杜勒阿齐兹国王大学非线性分析与应用数学研究组,沙特阿拉伯吉达

真纳大学数学学院45320,巴基斯坦伊斯兰堡44000

电子邮件:tahaksag@yahoo.com

Bashir AHMAD

阿卜杜勒阿齐兹国王大学非线性分析与应用数学研究组,沙特阿拉伯吉达

电子邮件:bashir_qau@yahoo.com

摘要 本文提出了一个具有饱和发病率的乙型肝炎传染病模型,研究了确定性和随机性系统的动力学行为。本文首先建立了确定性模型均衡的局部和全局稳定性条件;其次,通过构造合适的随机李雅普诺夫函数,得到了乙型肝炎存在遍历平稳分布和灭绝的充分条件。

关键词 乙型肝炎模型;李雅普诺夫函数;稳定性;平稳分布;灭绝

2010MR学科分类 34F05;60H10;92D25

1引言

乙型肝炎的防治是关系到人类健康和人民生活的重大问题[1, 2]。乙型肝炎是由乙型肝炎病毒(HBV)引起的一种传染病,可分为急性肝炎和慢性肝炎两个阶段。急性乙型肝炎是感染的前六个月,在这个阶段,感染者通常可以在几个月内康复。而慢性乙型肝炎是由病毒在体内长期存留引起的,可引起严重的健康问题,如肝功能衰竭和肝癌[3, 4]。乙肝病毒通过接触传染性血液或体液传播。它有许多具有高度传染性的传播途径。

近年来,传染病数学模型成为分析疾病流行关键因素的有力工具,为防控策略提供理论和定量依据[5-10]。许多学者在乙型肝炎传染病模型方面取得了重要进展[4, 11-13]。

本文在[14]工作的基础上,介绍了系统中处于潜伏期的宿主,急性肝炎感染者和慢性肝炎感染者。因此,将宿主人群分割为5个部分:易感人群、处于潜伏期的人群、感染急性和慢性乙肝人群、康复人群,每个部分的人数分别用表示。Capasso和Serio(1978)以及Brown和Hasibuan(1995)观察到,在人群中,感染通常是具有饱和性的。因此,我们提出了一个具有饱和发生率的确定性乙肝传染病模型,如下:

(1.1)

其中,代表人口的补充量,是处于潜伏期的患者发展成为传染性急性乙肝患者的转化率,表示从急性乙肝患者转变成为慢性乙肝患者的转化率,是从急性乙肝患者转变为康复人群的恢复率,是从慢性乙肝患者转变为康复人群的恢复率,代表自然死亡率,表示疾病死亡率,描述了乙肝疫苗接种率,而表示饱和发生率。在系统(1.1)中所涉及的参数均为正常数。

另一方面,生物种群不可避免地受到环境白噪声的影响,这是实际应用中的一个重要部分[15-22]。随机模型与确定模型相比更适用于传染病传播动力学的建模[17, 23, 24]。因此,许多流行病的随机模型得到了发展。在生物学和数学视角中,向系统中加入随机扰动的方法有很多种[25, 26]。

本文的乙型肝炎随机传染模型采用了[27]中的方法。这里考虑了与变量成比例的环境白噪声。则系统(1.1)的合理随机模拟可表示为

(1.2)

其中为标准的一维独立布朗运动,而是白噪声的强度,。其他参数与系统(1.1)中的相同。

本文组织如下。在第二节中,我们根据确定性乙型肝炎传染模型,推导出系统(1.1)的平衡点,并且证明了平衡点的稳定性。在第三节中,对于随机乙型肝炎传染模型,我们证明了系统(1.2)存在唯一的全局正解,证明了遍历平稳分布的存在性,并为乙型肝炎的灭绝建立了充分的条件。最后,我们对主要的研究结果进行了简要的总结和概括。

在本文中,设为一个完全概率空间,滤链满足一般条件(即,当包含所有P-null集时,为右连续递增的),并且是定义在完全概率空间上的。我们也可以将表示为。

2确定性系统的动力学分析

在本节中,我们将讨论确定性系统(1.1)的动力学性态。考虑到系统在现实生活中的意义,我们将研究在区域下的系统。

首先,我们证明系统(1.1)是有界的。我们假设时刻的总人口为,即。因此,我们得到了以下结果。

定理2.1 系统(1.1)的解是有界的。

证明 对关于时间求导,我们有

利用比较定理,我们有

其中是常数。让,

因此,系统(1.1)的解在如下区域中

在系统(1.1)中,令

基本再现数可表示为

为了得到可能的平衡点,把系统(1.1)所有方程组的右边都设定好等于零,得到如下平衡点:

且有

利用Vieta定理,我们得到如果,存在唯一的正平衡点,但如果,没有正平衡点。也就是说,如果,系统(1.1)具有唯一的无病平衡点 ,而如果,则系统(1.1)具有两个正平衡点:一个无病平衡点和一个地方病平衡点。

2.1无病平衡点的性态

在这一部分中,我们将讨论系统(1.1)的无病平衡点的稳定性。

定理2.2 当时,系统(1.1)的无病平衡点是局部渐近稳定的。而如果, 是不稳定的。

证明 的局部稳定性是由Jacobian矩阵决定的

矩阵的特征方程为:

(2.1)

其中

(2.1)具有两个负实部的特征值和。因此,我们只需要考虑剩下的三个特征值,剩下的三个特征值可由下式得到,

(2.2)

根据Routh-Hurwitz准则[28],当且仅当且时,(2.2)的特征值具有负实部。显然,当且仅当时,有且。而当时,(2.1)具有正特征值和负特征值,这说明是不稳定的。

这就完成了证明。

定理2.3 如果,则系统(1.1)的无病平衡点是全局渐近稳定的。

证明 定义 为

的时间导数是

对于有,也即。而且当且仅当。因此,根据LaSalles不变原理[29],无病平衡点是全局渐近稳定的。证毕。

备注2.4 定理2.2和2.3表明,如果,乙肝疾病将会消失。

2.2地方病平衡点的性态

在这一部分中,我们将讨论系统(1.1)的地方病平衡点的稳定性。

定理2.5 如果,则系统(1.1)的地方病平衡点是局部渐近稳定的。

证明 在处,Jacobian矩阵的形式为

并给出了的五个特征值之一

的其他四个特征值是下式的根

(2.3)

其中

根据Routh-Hurwitz准则,(2.3)的特征值具有负实部当且仅当和。当时,利用,通过直接计算,我们可以推出和。因此,如果,是局部渐近稳定的。证毕。

定理2.6 如果,则系统(1.1)的地方病平衡点是全局渐近稳定的。

证明 定义为

因为

我们发现的时间导数是

因为当时,,所以有

对于, 有。我们还可以得到当且仅当。因此,根据LaSalles不变原理,地方病平衡点是全局渐近稳定的。证毕。

备注2.7 定理2.5和2.6表明,如果,乙肝疾病将在人群中流行并持续。

3随机性系统的动力学分析

这里我们首先介绍下随机微分方程的一些基本理论。

一般情况下,考虑d维随机微分方程,对于,有

(3.1)

初始值为。表示定义在完全概率空间上的一个n维标准布朗运动。用表示在上定义的所有非负函数的集合,这些非负函数在上二阶连续可微,在上一阶连续可微。

式(3.1)的微分算子由[30]定义

如果作用于函数,那么

其中。由伊藤公式[30],如果,那么

研究一个随机传染病模型的动力学,首先它需要存在一个全局正解。以下结论是关于模型全局正解的存在唯一性的研究。

定理3.1 对于任意初值,在上系统(1.2)存在唯一的正解,且解保持在中。

证明 因为系统(1.2)的系数满足局部Lipschitz条件,那么,在上,对于任意给定的初始值,系统(1.2)几乎肯定有唯一的局部解,其中是爆炸时间[31]。因此,我们只需要证明当时几乎肯定表明这个解是全局的。令足够大,使得都位于区间内。对于任意整数,定义停止时间:

在本文中,我们设定(像往常一样表示空集)。显然,当时,是递增的。设,由此几乎肯定。很容易证明几乎确定时意味着几乎确定,且对于任意,几乎确定。接下来,要完成证明我们只需证明几乎确定。

如果这个断言不成立,则存在一对常数和,使得。因此有一个整数对于任意的,有

(3.2)

定义一个二阶连续可微函数为

利用伊藤公式,我们有

其中

其中是一个合适的常数,它独立于和。

因此,

(3.3)

对于时,令并且由(3.2),有。注意到对每一个,和中至少有一个等于或,因此不小于

所以,

又由(3.2)和(3.3)可得

其中是的指标函数。令得到矛盾。所以我们必有几乎确定。证毕。

在考虑传染病模型时,我们感兴趣的是该疾病何时在人群中流行并在多长时间内会被根除。

3.1平稳分布和遍历性

在确定性模型中,我们可以通过证明地方病平衡点是全局渐近稳定的来得到持续性。但对于随机系统,不存在地方病平

资料编号:[5615]

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