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二维Keller–Segel–Stokes系统中的全局存在性和有界性
Xie Li, Youjun Xiao
College of Mathematic amp; Information, China West Normal University, Nanchong 637002, China
摘要：
本文研究了主要研究的是Keller-Segel-Stokes系统（K-S-S），
并且在一个边界光滑的有界域中，n和c没有通量边界条件，u也没有滑动边界条件。当，Lorz（2012）证明了相应的初值问题对于低于某一规定值的单元初始质量具有全局及时解，这可能大于相应无流体系统的已知临界质量。而对于的情况，即抛物线-抛物线形式的Keller-Segel-Stokes系统，我们发现，通过与已知相关结果不同的一些新的能量方法，也存在一个特定的值。如果下面的单元的初始质量，那么相应的初始边值问题在时间上是全局的，并且有界的解。
一．引言
在本文中，我们考虑了以下二维Keller–Segel–Stokes系统经典解的全局存在性和有界性：
上面的等式中n表示细胞分布密度，c表示细胞自身分泌的化学吸引浓度，而u、P和分别代表流体的速度、流体的压力和引力场的势，则是一个有界域，其边界为。系统（1.1）通过术语定义的细胞运输、术语 定义的趋化性运输以及术语定义的细胞施加在流体上的外力，将经典的Keller–Segel系统和Stokes系统耦合起来。
为了说明我们的研究动机，我们首先回顾了一些有关系统（1.1）的一些工作。我们看到，在无流体的情况下，系统（1.1）恢复了经典的Keller–Segel 系统，因此，我们从它开始讨论
Keller–Segel系统：1970年Keller和Segel的著名工作提出了一种试探性的化学趋化模型，当化学物质由细胞自身分泌时，其经典形式如下：
系统（1.2）的显著特征是，当是整个空间或只是有界域时，无论是抛物-抛物情况还是椭圆-抛物情况，都会存在解的有限时间爆破。特别是，在N=2的情况下，有一个临界质量，从它下面的初始质量开始，有一个整体存在，从它上面的初始质量开始，该解在有限时间内爆炸。在的情况下，初始细胞密度n0也存在范数的临界值，从而发生类似的阈值效应（见[1,2]等）。但由于在实际的生物过程中我们没有观察到过爆炸现象，为了避免解的爆炸，引入了许多机制，如非线性多孔介质扩散、饱和等，以及逻辑源等（见[3-8]及其参考文献或调查[9-12]）。
当化学物质不是由细胞分泌而是由细胞自身消耗时，相应的最简化形式的趋化模型如下：
根据[13]，具有齐次Neumann边界条件和不依赖于极小条件的适当正则初始数据的系统（1.3）对于N=2应具有有界经典解，但对于N=3仍存在全局弱解，最后经过一段等待时间后，将会变得光滑有界。此外，在[14]中，对具有物流源的系统（1.3）也得到了类似的结果。
Chemotaxis-(Navier–)Stokes系统：在自然界中，粘性流体中存在大量的细胞，其中细胞与流体之间的相互作用可能会产生重大影响。例如，Tuval等人[15]在玻璃表面水滴中观察到的游泳细菌（枯草芽孢杆菌）的动力学，除了随机扩散外，细胞和化学基质也通过流体传输，流体的运动受细胞聚集产生的重力的影响。由于流体的运动服从不可压缩（navier-）stokes方程，他们提出了以下趋化性（navier–）stokes系统来描述这种动力学：
上面公式中(c),k(c)分别代表细菌的趋化敏感性和耗氧率，此外系数与非线性流体对流强度有关。特别是，在 =0的情况下，这意味着流体流动缓慢，对应的（1.4）系统是不可压缩的趋化性斯托克斯系统。在[16]中，根据初始数据和重力势
的一些小条件以及和k之间的一些结构条件，该chemotaxis-Stokes 系统在整个空间中具有全局解。Liu和Lord[17]进一步得出，仅在和k之间的某些结构条件下，Chemotaxis-(Navier–)Stokes系统的全局存在。而对于相应的初边值问题也有许多结果，如在[18]中，证明了光滑边界的二维有界凸域中存在经典解，且初始数据没有任何小的条件，并在[19，20]中对解的大时间行为进行了较全面的描述。此外，在三维情况下，斯托克斯（Stokes）和纳维尔-斯托克斯（Navier-Stokes）都存在全局弱解，最终变得平滑和经典[22]。此外，有关使用纳米多孔介质 而非线性介质的非线性扩散模型的更多结果，可参考[23–26]等。
正如我们目前所知，与标准的Keller-Segel模型（1.2）相比，对于涉及化学信号消耗的系统（1.3）或系统（1.4），即使包括（Navier-）Stokes流体，也不会发生代表细菌聚集最极端方面的有限时间爆炸现象。一个主要原因可能是化学品的消耗起了关键作用，这确保了化学品浓度的衰减。然而，如果这种化学物质是由细胞自身分泌的，则可能有一些不同。
Keller–Segel–(Navier–)Stokes 系统:我们发现有些细胞可以在液体中游动并分泌一些化学物质。例如，大肠杆菌可以游动和排泄天冬氨酸[27]。其他例子出现在broadcast spawning 现象的背景下，如珊瑚受精[28,29]。当然，我们可以将经典的Keller-Segel系统与(Navier–) Stokes系统结合起来，来描述这种游动细菌的动态。例如，最近，Tao和Winkler提出了Keller–Segel–Navier–Stokes系统：
在一个物理域，中，当N=2且 =1 时，当mu;gt;0，和初始数据非常平滑地满足，系统（1.5）没有n和c的通量边界条件，u的无滑移边界条件具有有界的全局经典解。此外，在 r=0 [30]的假设下，还得到了较大的时间特性 。当N=3且 =0时，在显式条件下得到类似的结果mu; 23。我们注意到，在[31]或[30]中使用的方法严重依赖于n的二次退化，这显然不适用于我们的问题。
对于的Keller–Segel–Stokes系统（1.1），即由椭圆-抛物线Keller–Segel系统通过运输和重力力耦合到Stokes系统的组合系统，在[32]中建立了 N=2或N=3的小的初始范数解的全局时存在性。与椭圆-抛物线Keller–Segel系统相似，对于椭圆-抛物线Keller–Segel–Stokes系统，在[32]中，作者还调用了 而不是来获得所需的熵估计。然而，在=1的情况下，还有一个术语 不能直接处理。此外，对于具有次线性分泌的Keller–Segel–Stokes系统，即（1.1）中的第二个方程被替换为，如[33]所示，如果是有界凸域，则存在全局经典有界解。我们注意到lt;1对于[33]中的证明是必不可少的，因此我们不能直接将该方法应用于系统（1.1）。此外，对于具有非线性扩散或旋转趋化敏感性的Keller–Segel–Stokes系统，可以参考[34–37]等。
主要结果：除非另有说明，我们将始终考虑抛物线-抛物线Keller-Segel-Stokes系统，即在续集中系统（1.1）的。我们将重点研究这个系统的初边值问题在时间上的全局存在性。为此，我们需要用适当的边界条件和一些初始数据来补充系统（1.1）。这里，我们假设n和c满足无通量边界条件，u满足无滑动边界条件，即：
上式中表示上的向外法向量。我们还需要提供初始数据：
我们进一步假设他们满足
其中A表示螺线管子空间中斯托克斯算子的实现|。至于引力势，我们要求它只依赖于空间并满足
在上述框架中，我们可以建立系统（1.1）的全局有界经典解的存在性，并将初始质量小于某一特定值的边界条件（1.6）和初始数据（1.7）耦合起来。为了状态的清晰，让我们回顾一下二维情况下的Gagliardo–Nirenberg不等式：
其中和L是一些正常数，仅取决于。
利用手中的常数，我们可以在上建立一个满足的小条件。确保解决方案的全局存在性和有界性。精确地说，我们有下面的全局时间存在定理。
定理1.1：设为边界光滑的有界域，满足（1.9），并假设初始数据满足（1.8），以及
从（1.10）中取 gt;0。然后，与边界条件（1.6）和初始数据（1.7）耦合的系统（1.1）具有全局时间经典解，其正则性为：
此外，这个解是有界的，在这个意义上存在一个正常数c，因此对于所有tgt;0，都存在
备注1.1：我们知道，对于具有均匀Neumann边界条件的二维Keller–Segel系统（1.2），存在一个临界质量现象，当单元的总初始质量超过临界质量时，解在有限时间内爆炸，否则所有解都保持有界。对于Keller–Segel–Stokes系统（1.1），由于流体流动缓慢，我们还预计会出现类似的现象。因此，我们必须在（1.11）的最佳范围内保持开放。
备注1.2：对于三维Keller–Segel–Stokes系统（1.1），类似于二维情况，我们推测还应该存在一个特定的值 ，在该值下，对应系统的解存在于全局。
二．准备工作
在这一部分中，我们首先说明经典解的局部存在性以及可拓性准则，这些准则可以用抛物正则理论和适当的不动点定理来证明。有关详细信息，可以参考[18，引理2.1]或[6，引理2.1]。
引理2.1（经典解的局部存在性）：设为边界光滑的有界域。假设
满足（1.9），初始数据满足（1.8）。然后存在]和经典解（n，c，u，p）到系统（1.1）（1.6）和（1.7），使得
此外，如果 ，则
对于任何），在满足（1.12）的所有函数中，该解是唯一的，直到P中增加常数。
接下来，我们将说明N和C的非负性和质量性质，这将在续集中经常使用，尽管它是非常基本的。
引理2.2：在引理2.1的假设下，（1.1）的结果实现了
和
还有
证明：根据（1.8）和最大值原理，可以得到解的非负性，其给出了（2.2）。质量守恒恒等式（2.3）则是由（1.1）的第一个方程在上的积分得出。此外，通过将（1.1）的第二个方程在上积分并调用质量恒等式（2.3），我们得到
然后通过ODE的比较可以直接推导（2.4）。
有了n的估计，我们可以调用[36，引理2.4]和Sobolev嵌入定理（[38，定理5.6.6]）来获得任意 空间中u的正则性，关于证明，我们参考[33，命题4.1]。为了方便读者阅读，我们在下面陈述它们。
引理2.3：让] 且]，则有
那么对于所有kgt;0，存在c=c（p，r，k，），这样如果tgt;0，我们有
推论2.1：对于所有rlt;2和所有qlt;;，存在cgt;0，这样
三．解的全局存在性和有界性
在本节中，我们将重点讨论解决方案的全局存在性和有界性。为此，我们将建立一系列先验估计。首先，我们建立了一个熵泛函不等式，在此基础上，我们可以推导出和dx的时间无关估计，以及N的spatial–temporal 。其次，我们调用N的spatial–temporal 估计进一步推导出Du和空间项的time independent估计。然后利用这些估计，我们调用一个线性微分不等式来获得n和 的与time independent 的 估计，然后利用得到任意空间中n的估计。最后，我们证明了可拓准则（2.1）中涉及的三个量都是有界的，从而得到了全局的时间存在性和解的有界性。
3.1。熵泛函不等式
为了建立熵泛函不等式，我们首先介绍
其中，是从插值不等式（1.10）得出的正常数。此外，因为
对所有ygt;0有效，那么gt;0。接下来，我们描述熵函数不等式。
引理3.1（熵-泛函不等式）：假设是从插值不等式（1.10）中得到的正常数，而引理 2.1中的假设成立。如果
当存在正常数时，
证明：证据分为几个步骤：
步骤1，我们从的演化估计开始。用lnn检验（1.1）中的第一个方程并应用杨氏不等式，这样我们会有,
然后，引用质量恒等式（2.3）和Gagliardo–Nirenberg 不等式（1.10），我们得到
将（3.6）代入（3.5），并使用 ，则我们得到
步骤2, dx的演化估计。为了取消（3.7）右边的最后一个周期，我们用 检验（1.1）的第二个方程，并用杨氏不等式推导出
lt;
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