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利用滚动加权最小二乘法对中国经济增长和通货膨胀进行样本外预测
摘要
宏观经济预测对于政府在政府支出和货币供应等方面做出正确的决策至关重要。现存的中国宏观经济变量预测文献对进行样本外预测时如何选择最优窗口这一关键问题的认识较为模糊。为了解决上述问题，本文利用滚动加权最小二乘法(WLS)和交叉验证(CV)方法选择最优估计窗口，填补了预测中国经济增长和通货膨胀的空缺。本文对多达30个候选指标(主要是资产价格)的月度数据进行了为期17年的实证分析(2000e2017)。研究表明，滚动估计的预测性能对滚动窗的选择非常敏感。实证分析表明，在大多数情况下，基于交叉验证的滚动窗口生成方法在单变量回归上优于其他生成方法。对此的一种可能解释是，由于体制改革、政策、危机和其他因素的变化，这些宏观经济变量经常受到结构性变化的影响。此外，可以发现，在大多数情况下，资产价格是预测宏观经济变量，特别是产出增长率的关键变量。
1 简介
本方法对主要宏观经济指标(如国内生产总值(GDP)和居民消费价格指数(CPI))的准确预测对决策过程具有重要意义。它可以指导政府在政府支出、货币供应、贸易平衡等方面做出正确的决定。此外，它还可以为大多数长期投资发展和战略决策提供一个基础。不正确的预测可能会导致政策建议的误导，从而阻碍国家的发展，给企业造成巨大的损失。例如，与最近一段时间的高通胀，如果政府官员在未来几个月里低估CPI，然后实施量化宽松货币政策，通货膨胀水平将会加剧，从而增加金融政策的可变性。
在各种宏观经济指标中，GDP和CPI是宏观经济活动状态分析的关键汇总变量。通过这些指标对当前和未来经济状况的评估为货币政策、财政政策和国民经济核算的决策提供了重要的基础。一方面，gdp的走势和波动对政府收支、企业利润、居民收入和支出有很大的影响。其增长和周期性波动与中国宏观经济政策有关，包括促进房地产和基础设施投资。另一方面，CPI是与人们日常生活密切相关的重要指标，是衡量一个国家通货膨胀水平的重要指标。因此，中国未来的经济增长和CPI将走向何方，一直是政策制定者和研究人员激烈争论的问题。
结构不稳定性被广泛认为是宏观经济指标样本外预测中一个重要而长期存在的问题。长期的宏观经济时间序列很可能受到偏好、人口、技术、政策、危机和制度形式等方面变化的干扰。例如，有强有力的证据表明，美国名义产出、消费、价格和货币供应增长率的平均值发生了结构性变化，特别是在产出的时变方差中。这一发现与Kim和Nelson(1999)关于“大缓和”的结论是一致的，即自上世纪80年代以来，包括产出和消费在内的许多美国变量的波动性大幅下降。同样，中国也有自己的“大缓和”。正如Lin和Wang(2013)所指出的，中国在1995-2009年(2006-2007年除外)进入了“大缓和”，并在2010年进入了“低波动、高增长”的最佳状态。事实上, 我们发现，我国自1992年以来的年度GDP和1999年以来的年度通胀率均出现了“大缓和”现象，如图1和图2所示。另一个著名的例子是Lucas(1976)，他认为计量经济模型的结构是经济主体最优决策规则的结果。从本质上讲，如果一个人处于一种民族心理状态，我们就能预测政策的变化并预测他会怎么做。在此之后，我们可以汇总个人的决策来计算政策变化和模型参数变化的宏观经济影响。此外，正如Hansen(2001)指出，让结构性变化在一段时间内生效而不是立即生效似乎更合理。例如，经济主体和金融机构可能会以渐进的方式应对冲击，包括货币政策转变和技术变革。即使这些变化可能在单个级别上突然发生，它们也可能在总体级别上平稳运行。因此，平稳的结构变化更加现实。
在参数不稳定的情况下，使用滚动估计(如Stock和Watson, 2007;2012);Marcelino (2008);Kim和Swanson (2014);Higgins等人(2016);孙，王，张(2018))。滚动估计是时间序列样本外预测中常用的估计方法之一。这是一种更新样本信息的简单方法，它隐含地假定预测回归模型中的基础模型参数是时变的。现有的研究大多采用固定滚动窗和普通最小二乘估计作为线性预测模型。例如，在预测美国GDP增长时，StockandWatson(2003)将窗口调整为40，而Epesaranandtimmermann(2005)考虑使用最近的25个观测值作为一个短滚动窗口。然而，在滚动估计中选取多少观测值还没有理论指导。经验证据表明，滚动估计的预测性能对选窗口敏感(如RossiandInoue(2012))。例如，在美国gdp预测中，正如Marcelino(2008)指出的那样，15年滚动窗口的性能与10年滚动窗口不同。因此，可以提出一个关键的问题，即应该使用多少观测值来估计预测模型的参数，从而提高预测的准确性，获得最优的政策建议。
图1 1960年至2017年中国GDP年增长率
图2 中国1978年至2017年的年度CPI
最近，Inoueetal(2017)提出了一种方法来选择最优的滚动窗口预测模型，该模型最小化了样本末端的二次损失函数。该方法选择最近观测值的最优窗口，在每个时间点估计模型参数，并随着时间的推移进行调整。然而，这种最优窗口选择是通过滚动OLS估计来确定的，滚动OLS估计为滚动窗口中的每个观察值分配了相同的权重，因此可能不是完全有效的。一种可能的解释是，窗口中每个数据点的权值相等不是最优的。正如恩格尔(1982)所指出的，最近的信息比遥远的过去的信息对今天的影响更大。为了解决这个问题，Hong等人(2018)提出了一种实际可行的数据驱动CV程序，在时变预测回归中选择最佳滚动窗口。该方法基于加权最小二乘(WLS)估计，其最优窗口大大大于Inoue等(2017)。从理论上证明了基于cvf的最优窗口渐近等价于最小化无条件均方预测误差(MSFE)的不可行最优窗口过程。此外，最优加权函数是利用数据反射进行局部线性估计的Epanechikov核。它优于均匀核或滚动OLS估计。
为了捕捉我国GDP和通货膨胀的结构性变化，本文考虑了一些合适的时变线性预测模型。Robinson(1989,1991)首先提出了一种非参数时变参数模型，该模型对时变参数的函数形式几乎没有限制，只要求随时间平滑变化。由于其灵活性，我们遵循Hong等人(2018)的例子，使用非参数方法来估计时变参数。假设模型参数为时间的光滑函数，形式未知。这种结构变化可能在每个时间点平稳发生的设置与Hong等人(2017)的发现一致。
由于在样本预测中使用单边预测，当我们估计模型参数时，我们在每个时间点都遇到了众所周知的边界问题。本研究使用“关于边界的反射”来减少局部线性平滑参数估计的偏差和方差。特别地，我们增加了偏置的阶数，从而提高了参数的收敛速度。因此，我们使局部线性估计在边界点上的行为类似于在内部点上的行为。
在实证预测比较中，我们使用月度宏观经济和金融预测数据，研究了具有不同滚动窗口的时变预测模型来预测中国的经济增长和通货膨胀。如Stock和Watson(2003)所示，一个预测器在一个时期有用并不保证它在其他时期的良好预测性能。在我们的实证分析中，预测性能是敏感的滚动窗口的选择。在大多数情况下，我们发现滚动样本外预测与基于心血管的窗口选择从Hongetal。(2018)表现优于已有的滚动窗，包括递归法、固定滚动窗、井壁OLS优化滚动窗等(2017)。一种可能的解释是，基于cvf的方法是基于WLS的，WLS对最近的观测结果的权重更大。另一个原因是该方法消除了参数估计的偏差，提高了算法的收敛速度。
本文的其余部分组织如下。第二节给出了变系数的预测回归和非参数估计，并用洪等人(2018)提出的WLS方法对最优滚动窗进行了综述。第三部分讨论数据，第四部分使用不同的滚动窗口来预测中国的经济增长和通货膨胀。第五节总结。
2 方法
本节回顾Hong等人(2018)提出的时变预测模型、非参数估计和基于CV的最优窗口的方法。
2.1 预测模型
经济增长或通货膨胀的h-step超前线性预测模型为
（1）
其中为因变量，y为时刻的经济增长率或月度CPI通胀率，为外生预测因子。此外, 表示滞后多项式, ,L是滞后的数量。我们称为滞后值是因为它相对于待预测的因变量是滞后的。适用于相同的定义。
2.2 非参数估计
为简单起见，(1)可以改写为
（2）
其中为经济增长率或通货膨胀率，, 。我们采用Robinson(1989,1991)的例子考虑光滑时变参数预测模型:
（3）
是一个上除可数个点外未知的光滑函数。这一要求对于获得一致的非参数估计是很重要的，它基于随着样本大小T的增加而增加的局部信息量。实现这一目标的一个方便的方法是将看作是平滑函数在[0,1]区间上等间距网格上的纵坐标，当变得更细，并考虑在固定点上的估计值。
假设有连续的二阶导数。对于一个固定时间点t附近的所有时间点s，我们可以用一个固定时间点上的线性函数来近似，如下:
(4)
其中表示一阶泰勒近似，, ，是在时刻的一阶导数。因此，对于固定时间点t附近的任意s，(4)近似为以下回归模型:
(5)
其中，。
在这里，我们使用局部线性平滑来估计，它受到众所周知的边界问题的影响。这是因为在样本外预测中只使用片面的观察。如Cai(2007)研究表明，虽然边界区域的局部线性估计量与内部区域的线性估计量具有相同的数量级，但其尺度是不同的。我们遵循Hall and Wehrly(1991)和Chen and Hong(2012)的方法，使用所谓的“关于边界的反射”方法，当时生成伪数据，结合原始数据估计。因此，用合适的增广样本(即，原始数据和伪数据)为
（6）
其中和是和时确定使用多少观测值来估计参数的窗口，为和时的带宽。
令，则的局部线性估计量为
（7）
(7)中的局部线性估计器本质上是利用反射增广数据的WLS估计器。通过数据反射，获得了更高阶的局部线性估计的偏置，使得MSFE的收敛速度比Inoue et al.(2017)更快。此外，没有数据反射的WLS估计器比Inoue 等人(2017)使用的滚动OLS估计器更通用，因为后者相当于前者具有统一的核(即，每个观测值的权值相等)。
2.3 滚动窗口选择
人们普遍认为，潜在的经济结构可能受到偏好、政策、技术等方面变化的影响。直观地说，最佳估计窗口抵消了由于使用与当前数据生成过程无关的最早数据而产生的偏差，抵消了由于使用较长窗口而减少的预测误差方差。因此，在结构发生变化的情况下，最好使用最优窗口进行样本外滚动预测，这样可以适当地减少平均寿命。
Hong等人(2018)提出了一种实际可行的数据驱动CV程序，该程序不涉及任何滚动窗口。基于cvf的最优窗口是通过最小化未加入样本的加权平均样本外损耗得到的:
其中, ，为t时刻不考虑观测得到的局部线性估计量, 和为预先指定的两个常数。
实际上，WLS确定的基于cv的最优滚动窗口与通过反射得到的增广数据具有阶，因此MSFE的收敛速度为，对于井上等人(2017)的最优窗口，其收敛速度快于。该方法在不涉及导频滚动窗口的情况下，采用一种实用可行的CV法求解，而基于未知参数的导频滚动窗口则采用带有初始窗口的局部线性平滑法进行估计。此外，在前一种方法中使用了一般的非均匀加权，而后一种方法使用滚动OLS，它为滚动窗口(即均匀加权核)。滚动最小二乘法可能比滚动最小二乘法更有效，因为滚动最小二乘法不仅覆盖滚动最小二乘法，而且如果加权核是一个降权函数，则滚动最小二乘法对最近观测值的加权也更大。此外，Hong等(2018)研究发现，WLS中的最优加权函数是Epanechnikov核函数，而不是均匀核函数。因此，局部WLS比局部OLS好得多。
3 数据
3.1 数据分析
宏观经济时间序列是基于上海万得有限公司创建的数据信息系统——万得数据库。该数据库的主要来源是中国国家统计局和中国人民银行。图1和图2报告了年度国内生产总值增长率和年度通货膨胀率，为这些变量的时变方差提供了有力的证据。自1992年以来，GDP增长率的波动性随时间的推移而减小并平稳变化，同时伴随着90年代初通货膨胀的大幅起落。随后，CPI的大幅波动在1999年后有所回落。这一发现为中国的“大缓和”提供了可能性，因为许多变量的波动性大幅下降。因此，随着经济改革和宏观经济政策的成功实施，中国进入了一个稳定、高增长的经济时期(Chen, Quan, and Liu(2013))。
图3 1992-2017年中国季度经济增长率
表1 主要变量的数据表述
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变量 |
描述 |
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消费者价格指数 |
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Makl |
上证综合指数成份股公司总股本(市值 |
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