广义线性指数分布
原文作者：M.AW Mahmoud：Farouq Mohammad A. Alam
单位：Al-Azhar University：King Abdulaziz University
摘要：本文讨论了线性指数分布的一个新的推广。这种分布称为广义线性指数分布。导出了矩、模、分位数等统计性质。讨论了失效率函数和平均剩余寿命。通过仿真研究，得到了参数的最大似然估计。实际数据用于确定在建模寿命数据时，GLE是否优于其他众所周知的分布。
关键词：线性指数分布：广义线性指数分布：故障率：平均剩余寿命；
- 介绍
线性指数分布具有指数分布和瑞利分布两种特殊情况，是可靠性和医学研究中寿命数据建模的一种非常著名的分布。它还模拟了随着失效率的增加而出现的现象。线性指数分布不能为非单调分布（如浴缸形分布）的建模现象提供合理的拟合，这在可靠性和生物学研究中很常见；例如Lai et al. (2001). 提出浴缸形失效率的模型在生存分析中非常有用。许多作者提出了推广指数分布、瑞利分布和线性指数分布的新分布。 Gupta和Kundu (1999) 提出了指数分布的推广。Burrtype x分布，也称为广义瑞利分布（GRD），由Surles和Padgett (2001)提出。Sarhan和Kundu(2009)介绍了广义线性失效率分布，而Sarhan et al. (2008)研究了广义线性失效率分布参数的估计。Mahmoud和Al-Johani (未出版结果) 提出了一种新的瑞利分布（GRay）的推广方法。
本文的目的是提出线性指数分布（线性失效率分布）的一个新的推广，并研究一些统计特性。给出了一些特殊情况以及与此推广相关的分布。讨论了参数的极大似然估计。最后，用一些寿命数据集说明广义线性指数分布（GLE）与已知分布相比，在分析时是一种好的拟合。
2. 一个广义线性指数分布
在这一部分中，我们提出了广义线性指数分布。
2.1. GLED规范
非负随机变量是一个有四个参数的GLED当且,这样,如果概率密度函数（pdf）如下：
, (1)
或者更简单地
(2)
这里
, (3)
(4)
是指示函数，且
利用（1），我们可以证明，GLE的累积分布函数（pdf）和可靠性函数（rf）可以分别采用以下形式：
(5)
(6)
备注 1. 这种分布的一个优点是它的CDF是封闭的，因此可以从以下得到
(7)
假定u是一个随机变量，遵循标准的均匀分布。i.e. U sim;Uni(0,1).
Making use of (1), (5) and (6), we obtain
(8)
备注2. GLED的PDF是单峰的，当或且。当且减少。并且没有其他模式，如图1（a）和（b）所示。
2.2. 特殊情况
GLED包含以下众所周知的特殊模型分布：
- 指数分布参数为，当且
- 瑞利分布参数为，当且
- 线性指数分布参数为当且
- 威布尔分布参数为 2k,当
- 广义瑞利分布(GRay)参数为当
(a) (b)
图1. 形状参数k对GLED PDF的影响
3. 统计特性
本节专门研究GLE的统计特性，特别是矩、模式、分位数、失效率函数和平均剩余寿命。
3.1. 矩
引理1. rth矩的形式如下：:
(9)
假设且
证明. 见附录
备注 3. 令GLED的rth矩减小为威布尔分布的rth矩，形状参数为2k，尺度参数为
引理 2.
(10)
证明. 见附录
备注 4. 替换r =1在(10)且整理为
因此，GLED的方差可以用以下形式表示：
(11)
这样micro;是GLED的均值, 当设置r =1在(9)中时获得。
3.2. 模式和分位数
引理 3. 按照GLED得出的非负连续变量X的模式为,可从以下方程的根获得：
(12)
这样
备注 5. 1. 从Fig.1可以看出，GLED没有模式或且GELD是单峰的，当或
2. 利用式（12）可以得到指数、瑞利、威布尔、广义瑞利和线性指数分布的模式。
引理 4. 按照GLED得出的非负连续变量X的Qth分位数，标记为, 由以下给出
(13)
备注6. 1. 很容易得到指数、瑞利、威布尔、广义瑞利和线性指数分布的Qth分位数。
2. 从(13),可以获得GLED的中位数。
3.3. 故障率函数
在本小节中，我们研究了失效率函数（FRF）的行为。.
在使用（1）和（6）时，我们得到FRF以以下形式
(14)
微分（14）的两边得出
(15)
容易证明
(16)
- For ,利用(15)和(16)得出且这意味着是递增函数当
-
当利用 (15)和(16)两边根据
因此有浴缸的形状。 -
当和形式(15),可以得出因此是递减函数。
Fig. 2(a). (b)和(c)表示具有不同k值的FRF。- 平均剩余寿命
在这里，我们考虑了GLED的平均剩余寿命（MRLT）的行为。
令表示GLED的MRLT，则
(17)
这里和是GLED 的PDF的 RF。
(a) (b)
(c)
图2. 形状参数k对GLE失效率函数的影响。
式(17)能被写作以下形式
(18)
这里是FRF。见Waston and Wells (1961).
从式(18)，显然是减少（增加）当。当，它一开始增加，然后开始减少。
4. 最大似然估计
在本节中，我们考虑了GLED参数的最大似然估计（MLEs）。
随机抽样，标记为大小为n,利用(1)写出最大似然函数。
表 1
MLEs的均方误差
(19)
含theta;, lambda;, k和gamma; 的微分方程式（19）令其为0得出：
(20)
(21)
(22)
(23)
和的MLEs表示为和可通过求解非线性方程(20), (21), (22),和(23)得到。我们使用MapleTM 11去估算和，通过从选择的GLED模型中，生成大小为15(10)75 的10,000随机样本.表1表示MLEs的均方误差(MSEs)。
表1显示，所有MSE都随着样本大小的增加而减少，而随着实际参数的增加而增加。
5. 数据分析
在本节中，我们考虑了两个真实数据集来说明，与许多已知分布（如指数分布、瑞利分布、威布尔分布、线性指数分布、广义瑞利分布和广义线性失效率分布(ED, RD, WD, LED, GRD, GLFRD)相比，GLED是一个很好的寿命模型。为了检验每个例子中所选分布的拟合优度，我们计算了Kolmogorov–Smirnov（k–s）距离检验统计量及其对应的p值。
例5.1. 考虑Abouammoh et al. (1994)等人给出的数据。数据代表了沙特阿拉伯卫生部医院之一的40名白血病患者。表2给出了排序后的寿命（以天为单位）。
从表3可以清楚地看出，除了指数分布外，所有建议的分布都可以被视为给定数据在显著性水平alpha;=0.05和alpha;=0.01下的良好寿命模型。
表 2
白血病患者的寿命
表 3
K–S距离测试统计和相应的P值
图3. 基于40例白血病患者生命周期的模型分布的经验可靠度函数与理论可靠度函数。
表 4
50台设备的使用寿命
图3比较了经验可靠性函数与模型分布的理论可靠性函数。采用Kaplan-Meier（k-m）估计量对经验可靠度函数进行估计。
例5.2. 表4给出了（Aarset，1987）提供的50个设备的寿命。
从表5中，在显著性水平alpha;=0.05时，ED、GLFRD和GLED被视为给定数据的良好寿命模型。在alpha;=0.01时，除了瑞利分布外，所有建议的分布都可以被认为是对给定数据的良好拟合。
图4是用来比较经验可靠性函数与模型分布的理论可靠性函数。
6. 结论
A new generalization for the LED is一种新的LED通用化方法被提出，即广义线性指数分布（GLED）。GLED的一些统计性质被推导并讨论。参数的最大似然估计为
图4. 基于50台设备寿命的模型分布的经验可靠性函数与理论可靠性函数。
表 5
K–S距离测试统计和相应的P值
用蒙特卡罗方法给出。同时，对两组实际数据进行了分析，结果表明，新的分布可以作为所有实例的一个良好的寿命模型。
致谢
作者感谢副编辑和裁判员的帮助性评论，从而改进了论文的呈现。
这项研究工作是Farouq M. Alam硕士论文的一部分，在King Abdulaziz大学统计系Mohamed A.W.Mahmoud教授的指导下进行。
附录. 引理的证
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