关于实数的β-展开外文翻译资料

 2022-08-27 10:08

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关于实数的beta;-展开

介绍

A.RENYI已经证明[1]:

a)如果beta;gt;1,则每一个非负数x有一个beta;-展开:

(1)

这里等。(这里以及接下来的[x]和(x)表示的是实数x的整数部分和小数部分。)

b)是一个从[0,1)到自身的反身变换,并且对于任意的,我们都有几乎所有的x满足:

(2)

这里的M(g)是一个常数仅仅取决于g(x)。进一步说这里存在一个独特的标准化测度v等同于T下的勒贝格测度和不变量,例如对于任意[0,1)下的可测子集E满足:

(3)

这里h(x)是一个可测函数,并且

c)如果beta;是方程 的正数解,则对应于beta;的唯一归一化不变测度可以表示为:

这里

我们称那些有递归“尾”(例如:)的beta;beta;-展开,beta;-数。那些没有“尾”的数我们称之为平凡的beta;-数。(RENYI的案例c)就是一个平凡的beta;-数的例子。)

在第1节中,我们发现,对于每个beta;gt;1,在一个乘法的常数因子内,在变换T(x)=(beta;x)下的唯一测度不变的显式确定,等价于勒贝格测度。关于该测度的勒贝格测度的导数是一个纯跳函数([3],第14页),在beta;-数的情况下,它精确地简化为一个具有有限步数的阶跃函数。

beta;-展开中的数字不是随机(即独立)出现的,在第2节中,我们精确地确定了对beta;-展开中的数字序列的限制。我们通过展示每个beta;-数关于其“特征方程”的“共轭”必须都有小于2的绝对值来结束本节。

平凡的beta;-数到处都是(1,infin;)稠密的。第3节证明了这一点。

尽管我们有对应于每个beta;gt;1的不变测度的显式公式,但它一般不会产生标准化测度。因此,我们在第4节中的注意力集中在归一化因子作为beta;的函数的性质上。

我们证明了这个函数是从右连续的,并且从左开始的不连续点集与平凡的beta;-数集重合。而且,当beta;趋向于1时,规格化函数趋向于无穷,当beta;趋向于无穷时,规格化函数趋向于1。

感谢YAWL NAlM DOWKER和H. HALBERSTAM提供的许多有帮助的建议。

第1节 不变测度

对于每一个beta;gt;l,都有一个唯一的归一化测度v,它等价于勒贝格测度,且在T(x)=(beta;x)下不变。因此,通过Radon-Nikodym定理[4],存在一个可测函数hv(x),本质上是唯一的,对于每一个勒贝格可测集E有:

(1.1) .

在(1.1)中的是一个零测集。x(m)表示.

定理1.设v为一个等价于勒贝格测度的规格化测度,且对beta;gt;1时,设T(x)=(beta;x).给出了所有勒贝格集E满足vE=vT-1E的一个充分必要条件:

(1.2)

证明:假设对于所有的勒贝格可测集EvE=vT-1E,

.

只要[beta;—b]是a(m)和b(m)都小于1的最大整数m,并且alt;(beta;)和blt;(beta;),或者agt;(beta;)且bgt;(beta;),在这种情况下,因此

我们让a接近b,并且几乎所有b满足([5],第284页)

另一方面,让几乎所有的x满足

(1.3)

我们接下来证明对于所有的勒贝格可测集EvE=vT-1E.

我们可以假设(1.3)在任何地方都成立,只要在必要的地方将hv(x)的值改变为0.

如果[beta;—a]= [beta;—b],则

因此v[a, b) = vT-1[a, b)每间隔 [a, b) 满足[beta;—a] = [beta;—b],会出现a,b都大于(beta;)或小于(beta;)。这是足够的可列可加性的T-1不相交集和hv(x)建立的有界性定理。

为了方便起见,我们定义为,并归纳地定义当 时.因此,对于当 时,且

(1.4)

这里,由a),

我们表示由hbeta;(x)决定的纯跳函数对于每一个beta;gt;l,有.

定理2. hv(x)=hbeta;(x) p.p.

证明:令让

显然是一个与m相关的数,在0,1,hellip;,[beta;—x]之间,且满足.因此

推论. hbeta;(x)是一个具有有限步长的阶跃函数当且仅当它的beta;-展开中有一个循环尾.

证明. beta;beta;-展开中有一个循环尾,通过a), Tm(1)=Tn(1)对于某些mne;n.显然,对于某些mne;n,纯跳函数hbeta;(x))简化为阶跃函数,当且仅当Tm(1)=Tn(1).

第2节 beta;-数及其特征方程

如果 和是具有相同项数的有限或无限非负整数序列,记:

当第一个n满足()时,我们也记是

引理1.如果这里是一个非负整数序列,如果是一个非负整数序列,且对于所有的 有,则

(2.1)

除非有一些q,且{bn}的尾部与{cn}重合.

证明.首先证明当时:

(2.2)

在这个情况下r=0,猜测.因此(2.2)对所有m, n都成立,其中r=0。我们假设(2.2)当rlt;k时,对所有m, n都成立。

如果,同时,(在这个情况下通过假设可知)或者在最新的情况下,只要,由假设可以得到:

(2.3) .

(2.3)中的中心不等式通过这个关系成立

我们注意到等式贯穿始终(2.3)当且仅当

然而,对于所有nge;l这被条件排除在外.

因此(2.2)被证明,紧接着

假设,则对于一些p,q,p-n=q-mge;0

取等号当且仅当

在这个情况下这里

并且当.但是由可以猜测要么的尾与的尾相同,要么.

这就完成了证明.

定理3.如果beta;gt;1且beta;beta;-展开是

如果是一个非负数序列,当beta;beta;-展开是有限的时,其尾部与{cn}(参见引理1)不重合,这是x具有beta;-展开的一个充要条件

是对于所有的有.

特殊的,对于所有的有.

证明.如果x存在beta;-展开

对每一个,

.

因此对于每一个,

k是满足的第一个整数,则

且当,我们有,例如

通过引理1,对于每一个,猜测

x存在beta;-展开

在以下推论中是一个非负整数序列,其中对于每一个有 和.

应该注意的是,在这个条件下,有一个唯一解beta;gt;1的方程

有一个beta;-展开

当且仅当对于每一个,.

我们省略了以下推论的证明:

推论2.含唯一解beta;gt;1的方程

(2.4)

(这里 )有

对于它的beta;-展开当且仅当

(2.5)

推论3. 含唯一解beta;gt;1的方程

(这里 )有

对于它的beta;-展开当且仅当(2.5).

推论4. 含唯一解beta;gt;1的方程

beta;-展开

当且仅当

(2.6)

(2.6)等价于

(2.7)

如果非平凡的beta;-数beta;beta;-展开是

(这里 )有方程

beta;的特征方程.

同样,如果beta;是一个beta;-展开的平凡的beta;-数

方程

beta;的特征方程.

引理2.如果beta;是一个beta;-展开的平凡的(非平凡的)beta;-数的特征方程是

关于beta;特征方程的共轭项满足

(2.8)

证明.这很容易验证在(2.8)的两边乘以(z-beta;)并在两边加上。这给出了beta;特征方程。

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